素數(shù)（質數(shù)）之于整數(shù)就像原子之于分子，在這個意義上，每一個大于1的整數(shù)都可以寫成質數(shù)的唯一乘積形式。

素數(shù)

素數(shù)是大于1的正整數(shù)，不能寫成兩個較小的正整數(shù)的乘積，如2，3，5，7，11，…

2300年前，歐幾里得證明了素數(shù)有無窮多個，這是一個具有里程碑意義的證明。自那時起，人類對素數(shù)的研究就從未停止過。縱觀歷史，數(shù)學家們一直為表面上看似容易的難題所困擾。正如我們將在本文中看到的，有些質數(shù)比其他質數(shù)更特殊。

當偉大的數(shù)學家卡爾·弗里德里?！じ咚故畮讱q的時候，他得到了一本包含對數(shù)表的書。那個時候，對數(shù)表真的很方便，在某種程度上相當于現(xiàn)代的計算機。高斯對這些值非常熟悉且敏感。

在開始本文的主題之前，讓我們先回顧一下什么是自然對數(shù)餓。在18世紀，歐拉定義了數(shù)字e≈2.718281828…下面的公式可以讓你得到e的任意精度的值，

e是一個非常重要的數(shù)，我們都知道以e為底的指數(shù)函數(shù)的性質：d/dx f(x) = f(x)。對數(shù)函數(shù)ln（x）是e^x的反函數(shù)。對數(shù)最重要的性質是ln(xy) = ln(x) + ln(y)，也就是說，我們可以把乘積問題轉化為求和問題，使問題更簡單。

高斯研究了自然對數(shù)的值，他還有一本關于數(shù)論的書（尤其是關于素數(shù)的）。年輕的高斯靈光一閃，發(fā)現(xiàn)了他的兩本書之間的聯(lián)系。他看到了自然對數(shù)和素數(shù)之間的聯(lián)系。高斯的發(fā)現(xiàn)是，

定義質數(shù)計數(shù)函數(shù)π(x)為小于等于x的質數(shù)的個數(shù)，例如，π(10) = 4，因為有4個小于等于10的質數(shù)（2、3、5和7）。高斯注意到，函數(shù)x/ln(x)和π(x)似乎隨著x的增大以相同的速度增長。

更準確地說，高斯推測π(x) ~ x/ln(x)，這意味著當x趨于∞時，π(x) / (x/ln(x))趨于1。

后來，高斯發(fā)現(xiàn)了π(x)的一個更好的近似，即1/ln(t)從2到x的積分。如下圖所示，

1859年，高斯的一個學生，波恩哈德·黎曼，發(fā)表了數(shù)論中最重要和最有影響力的論文之一。這篇短小的文章，激發(fā)了一個全新的主題，給當時的數(shù)學家們提供了一個研究素數(shù)分布的新工具。這個工具現(xiàn)在被稱為黎曼zeta函數(shù)，它用希臘字母ζ表示。

對于Re(s) > 1，我們可以通過以下無窮級數(shù)定義黎曼zeta函數(shù)：

Re（s）表示復數(shù)s的實部。

黎曼的思想是，用復數(shù)作為這個函數(shù)的參數(shù)。zeta函數(shù)已經為當時的人所熟知，在黎曼之前，歐拉和切比雪夫對其進行了深入的研究，但都是以實數(shù)為參數(shù)。歐拉發(fā)現(xiàn)了這個函數(shù)和質數(shù)分布之間的聯(lián)系，但他沒有發(fā)現(xiàn)，真正的聯(lián)系隱藏在另一個維度中（復數(shù)）。

事實證明，解開這種聯(lián)系的關鍵是復數(shù)。黎曼發(fā)現(xiàn)，如果有人能證明：對于所有實部為1的復數(shù)（Re(s) = 1），zeta（s）≠0，高斯在15歲時所做的關于對數(shù)和質數(shù)的猜想就能成立。

在研究這些所謂的zeta函數(shù)的非平凡零點時，黎曼發(fā)現(xiàn)最初的幾個零點位于復平面上的一條直線上，即Re(s) = 1/2這條直線。但對于高斯猜想來說，只要證明當Re(s) = 1時，zeta（s）≠0就足夠了。

這個結果現(xiàn)在被稱為素數(shù)定理。素數(shù)定理描述了正整數(shù)中素數(shù)的漸近分布。它通過精確量化質數(shù)出現(xiàn)的速率，形成了質數(shù)越大，質數(shù)就越不常見這一直觀觀點。1896年，阿達馬和德·拉·瓦萊布桑利用黎曼的思路，各自獨立證明了素數(shù)定理

實際上，當臨界帶0<a<Re(s)<b<1向Re(s) = 1/2方向不斷縮小時，素數(shù)定理會得到相應的改進。因此，黎曼猜想是關于素數(shù)計數(shù)函數(shù)的一種終極表述。這就是為什么它如此重要。

孿生素數(shù)

孿生素數(shù)是指一對差為2的素數(shù)，如(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)，(29,31)，…孿生素數(shù)在數(shù)軸上越來越稀疏。維戈·布倫在1915年證明了孿生素數(shù)的倒數(shù)和是收斂的。相比之下，素數(shù)的倒數(shù)和是發(fā)散的。

孿生素數(shù)的猜想是：存在無限多對孿生素數(shù)。盡管張益唐、梅納德和陶哲軒等數(shù)學大師一直在研究孿生素數(shù)猜想，并在取得了一些突破，但這個猜想仍未被證明。

目前而言，我們已經清楚孿生素數(shù)的一些基本性質，例如，關于素數(shù)的威爾遜定理說，當且僅當4（p-1）！+p+4能被p（p+2）整除時，p和p+2是孿生素數(shù)對。

即上述條件是p和p+2為孿生素數(shù)對的充要條件。例如，孿生素數(shù)對(5,7)，根據(jù)上面的條件是35除105，結果是3，顯然成立。

上面的條件可以用模運算的符號寫得更簡潔：4((p-1)!≡-p (mod p(p+2))。

孿生素數(shù)還有一個非常有趣的條件。

對于所有的自然數(shù)n和m，當且僅當 k ≠ 6nm ± n ±m(xù)時，6k±1均為素數(shù)（因此是孿生素數(shù)）。

相差2的素數(shù)叫作孿生素數(shù)。相差4的素數(shù)叫作表親素數(shù)，相差6的質數(shù)稱為性感素數(shù)。1849年，法國數(shù)學家波林那克推測，對于每個自然數(shù)k，有無限多個素數(shù)p，使得p + 2k也是素數(shù)。這顯然是孿生素數(shù)猜想（k=1）的一個推廣。

另一個被稱為為第一哈代-李特伍德猜想 （first Hardy-Littlewood conjecture）的是由兩位杰出的數(shù)學家哈代和李特伍德提出的。這個猜想是，

設τ（x）是素數(shù)p≤x的個數(shù)，并且p+2也是素數(shù)，那么存在一個常數(shù)C（稱為孿生素數(shù)常數(shù)），使得

這有點像素數(shù)定理，只是對象是孿生素數(shù)。這自動引申出了另一個問題，能否把第一哈代-李特伍德猜想推廣到表親素數(shù)和性感素數(shù)，乃至更一般的情況。

答案是肯定的，但它附帶了一個重要的條件。讓我們先看看結果。

P和P + 2k是一對素數(shù)，當且僅當P (P + 2k)能整除2 k (2 k) !((p?1)!+ 1) + p (2k)!?1)，且gcd(p, (2k)!) = gcd(p + 2k, (2k)!) = 1。

這里gcd(n, m)表示n和m的最大公約數(shù)，gcd(n, m) = 1表示n和m是互質的。

結論是，這個條件是必要而不是充分的。當條件滿足時，我們不能確定p和p + 2k都是素數(shù)。有時滿足這個條件但不是素數(shù)的數(shù)被稱為偽素數(shù)。

我相信孿生素數(shù)猜想是能被證明的，但何時能被證明還很難說。也許我們需要另一個黎曼出現(xiàn)。