有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來光明。 

這是1859年由德國(guó)大數(shù)學(xué)家黎曼提出的幾個(gè)猜想之一，而其他猜想均已證明。這個(gè)猜想是指黎曼 函數(shù)：
         
的非平凡零點(diǎn)都在 的直線上。
    在數(shù)學(xué)中我們碰到過許多函數(shù)，最常見的是多項(xiàng)式和三角函數(shù)。多項(xiàng)式 的零點(diǎn)也就是代數(shù)方程 =0的根。根據(jù)代數(shù)基本定理，ｎ次代數(shù)方程有ｎ個(gè)根，它們可以是實(shí)根也可以是復(fù)根。因此，多項(xiàng)式函數(shù)有兩種表示方法，即
         
    當(dāng)s為大于1的實(shí)數(shù)時(shí)， 為收斂的無窮級(jí)數(shù)，歐拉仿照多項(xiàng)式情形把它表示為乘積的情形，這時(shí)是無窮乘積，而且也不是零點(diǎn)的形式：
         
    但是，這樣的 用處不大，黎曼把它開拓到整個(gè)復(fù)數(shù)平面，成為復(fù)變量s就包含非常多的信息。正如多項(xiàng)式的情形一樣，函數(shù)的信息大部分包含在其零點(diǎn)的信息當(dāng)中，因此， 的零點(diǎn)就成為大家關(guān)心的頭等大事。 有兩類零點(diǎn)，一類是s=-2，-4，…-2n，…時(shí)的實(shí)零點(diǎn)，稱為平凡零點(diǎn)；一類是復(fù)零點(diǎn)。黎曼假設(shè)就是講，這些復(fù)零點(diǎn)的實(shí)部都是，也就是所有復(fù)零點(diǎn)都在 這條直線（后稱為臨界線）上。
    這個(gè)看起來簡(jiǎn)單的問題并不容易。從歷史上看，求多項(xiàng)式的的零點(diǎn)特別是求代數(shù)方程的復(fù)根都不是簡(jiǎn)單的問題。一個(gè)特殊函數(shù)的零點(diǎn)也不太容易找到。在85年前，哈代首先證明這條臨界線上有無窮多個(gè)零點(diǎn)。10年前我們知道有2/5的復(fù)零點(diǎn)都在這條線上，而且這條線外至今也沒有發(fā)現(xiàn)復(fù)零點(diǎn)，因此，黎曼假設(shè)是對(duì)是錯(cuò)還在未定之中。
    這個(gè)簡(jiǎn)單的特殊函數(shù)在數(shù)學(xué)上有重大意義，正因?yàn)槿绱?，黎曼假設(shè)總是被當(dāng)成數(shù)一數(shù)二的重要假設(shè)。在這個(gè)假設(shè)上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素?cái)?shù)定理就是在100年前由于黎曼假設(shè)的一個(gè)重大突破而證明的。當(dāng)時(shí)只是證明復(fù)零點(diǎn)都在臨界線附近，如果黎曼假設(shè)被完全證明，整個(gè)解析數(shù)論將取得全面進(jìn)展。
    更重要的是，在代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、微分幾何、動(dòng)力系統(tǒng)理論等學(xué)科中都引入各種 函數(shù)和它們的推廣L函數(shù)，它們各有相應(yīng)的“黎曼假設(shè)”，其中有的黎曼假設(shè)已經(jīng)得到證明，使得該分支獲得突破性的進(jìn)展。可以設(shè)想，黎曼假設(shè)及其各種推廣是21世紀(jì)的中心的問題之一。