其實我的公眾號有很多內(nèi)容想寫，但是最近沒什么時間，寫一篇文章要花不少時間。所以一直沒動筆，今年年底應(yīng)該會多更新一些。一般我是懶得追蹤熱點來寫文章的，這次破例，追一下熱點。

這篇文章盡量淺顯易懂，但是猜想還是會有很多人覺得燒腦。但是如果太簡略又沒啥意思了。大家如果不想看細節(jié)，可以略過一些具體描述。

這幾天傳來消息：著名數(shù)學(xué)家邁克爾，阿蒂亞爵士生成自己證明了黎曼猜想，要在9月24日公開宣講證明過程。我猜想如果黎曼猜想真的被證明，黎曼猜想這個名詞將會像前幾年的引力波被發(fā)現(xiàn)事件一樣會被朋友圈刷屏。那么黎曼猜想到底是什么東西呢。下面跟大家科普一下。

黎曼猜想被譽為數(shù)學(xué)猜想的皇冠。著名數(shù)學(xué)家黎曼在1859年提出了這個猜想，1900年這個猜想被列為希爾伯特的23道世紀數(shù)學(xué)難題，2000年被列為千禧年7大數(shù)學(xué)難題。這個數(shù)學(xué)猜想非常重要，因為有幾百甚至上千個數(shù)學(xué)命題都是以假設(shè)黎曼猜想為正確的基礎(chǔ)上做出的。如果黎曼猜想被證明為真，那么幾百上千個數(shù)學(xué)命題都將榮升為數(shù)學(xué)定理。如果黎曼猜想被證偽，那么這些命題也將被證偽。

那么到底黎曼猜想說的是什么呢？

一黎曼提出了一個著名的黎曼zeta函數(shù)。（如圖）記住這個函數(shù)，整篇文章將會圍繞這個函數(shù)來展開。

（圖1）

這個函數(shù)不難理解，其實跟我們中學(xué)學(xué)的函數(shù)方程y= f（x）只是換了字母代碼。

等式左邊那塊可以看作是函數(shù)值y，s可以看成是x，比如當s 取1 的時候，就變成1+1/2+1/3+1/4 按這個規(guī)律一直無限加下去。

Zeta函數(shù)中，s是可以取復(fù)數(shù)的。也就是 a+bi的形式。i是復(fù)數(shù)單位，i的平方等于-1.這個大家高中肯定學(xué)過。

一個數(shù)的復(fù)數(shù)次方需要用到復(fù)分析知識，一個數(shù)的i次方，大家大概可以想象成在一個復(fù)數(shù)坐標系里旋轉(zhuǎn)一定角度。不理解也不重要。

這個函數(shù)本來的定義域是s的實數(shù)部分要大于1的。S大于1時，任何一個s值都可以對應(yīng)一個zeta 函數(shù)值。

二． 當s 取小于等于1 的值時，zeta函數(shù)本來是無解的，比如s取-1 時，自然數(shù)的-1次方就是倒數(shù)。比如1/2的-1次方變成2。那么s取-1次方時，zeta函數(shù)變成1+2+3+4 一直無窮加下去。這是個無窮大的值。大家要注意，數(shù)學(xué)上無窮大不是一個數(shù)，無窮大的數(shù)被認為是無法定義的。同理當s取小于等于1的值時本來是無法定義的。所以s定義域為大于1.

三．我們中學(xué)學(xué)過一個方程函數(shù)如果給定一個x值，那么必定有一個唯一的y值對應(yīng)。如果我們對s在定義域的所有值對應(yīng)于zeta值做一個坐標系的變換，可以得出下圖（圖2）這個漂亮曲線的紅色部分。注意只是紅色部分，藍色部分不是。紅色部分所有線段都是s變量的坐標系在zeta函數(shù)的坐標系的變換投影。仔細看在s等于1 那里有一個很亮的紅色點，在那里有無數(shù)s值對應(yīng)的zeta值塌縮成一個奇點。因為s必須大于1，s等于1本身也是無法定義的。而且我們可以看到這個zeta函數(shù)的圖在s等于1的上方戛然而止，突然中斷了。

（圖2）

（紅色部分是s值到zeta函數(shù)的變換的曲線。藍色是在s的定義域外解析延拓得到的圖）

圖是從grendz.com下載的

四 數(shù)學(xué)家想了一個辦法，把被定義域問題中斷的漂亮的曲線延續(xù)到另一邊。這種辦法叫做解析延拓。拓展開的另一部分就是上圖左邊藍色部分。這種解析延拓有一個條件，它必須總是可以微分的，總是可以微分的意思就是不管怎么變換，原來坐標系里的角度要和新坐標系的角度保持一致。為了能保證這個條件，那么左邊的藍色部分就只能有唯一一種作圖法和右面的圖像對應(yīng)了。

五 我們讀書時做到解方程習(xí)題比如 y=ax+b 這樣的函數(shù)，我們需要解方程當y=0 時x是什么值。 那么解黎曼的zeta方程等于0時，s可以取什么值呢？

當s=-2，-4，-6 等負整數(shù)時按照解析延拓zeta 函數(shù)等于0. 這些點沒什么多大意思，被稱為平凡0點。

六 令數(shù)學(xué)家著迷的是，s取正數(shù)的話，取什么值，zeta函數(shù)是0呢？

黎曼猜想這些s 取值全部都存在于s的實數(shù)部分是0.5虛數(shù)部分任意延展的一條延展線上。

可以看下圖（圖3或圖4）紅色線部分就是實數(shù)部分是0.5，虛數(shù)部分取不同值時，通過坐標變換到zeta值的坐標系時的曲線。原來坐標系的直線已經(jīng)扭曲成了曲線，可以看見這條紅色的曲線一直在繞圈圈，而且不斷的通過坐標系0點。 黎曼猜想其實就是，他認為所有經(jīng)過坐標變換后通過0點的線段，其實都是這條紅色線段得到無限延伸線，沒有其他別的線段能經(jīng)過這個0點了。我們可以看到0這個點也是一個無限多點塌縮的奇點，因為有無限多個素數(shù)。

（非平凡0點變換到zeta值的坐標系中從直線扭曲了曲線，可以見到這個線不斷經(jīng)過0點。這個曲線將會無限多次經(jīng)過0點，因為有無限多個素數(shù)）

（這個圖跟上圖差不多）

圖下載自維基百科

七 為什么黎曼猜想很重要，其中一個原因是它猜想的非平凡0點的分布和素數(shù)分布有重要聯(lián)系。1901年數(shù)學(xué)家證明了黎曼猜想等價于一個素數(shù)計數(shù)函數(shù)。這個素數(shù)計數(shù)函數(shù)是說某一個x值，比方說x=10000吧，那10000 以內(nèi)的素數(shù)總數(shù)量近似地等于 10000/ln（10000）

（ln 是對一個數(shù)取e 對數(shù)），10000以內(nèi)一共有1229個素數(shù)，這個公司計算得到1086個素數(shù)。當x值越大時，這個公式預(yù)測的素數(shù)和實際素數(shù)的比值越接近。也就是說我們雖然沒辦法精確預(yù)測素數(shù)到底是哪個數(shù)，但是我們能測量素數(shù)分布的概率。這個公式的等價命題被證明是和黎曼猜想是等價的。所以說黎曼猜想和素數(shù)的分布有很重要的聯(lián)系。而素數(shù)是純數(shù)學(xué)里很重要研究對象。

八 在zeta函數(shù)的解析延拓也就是藍色部分的圖里，s=-1 對應(yīng)著zeta函數(shù)坐標系的-1/12.而如果把s=-1代入zeta 函數(shù)可以得 zeta（-1）=1+2+3+4 一直加下去。

所以有個著名的傳說：所有自然數(shù)加總等于-1/12 這顯然是不對的，超出定義域的s不能簡單帶入zeta函數(shù)。但是人們懷疑，既然zeta函數(shù)的拓展段和有定義域那段是一一對應(yīng)的，自然數(shù)的加總和-1/12一定有某種聯(lián)系。

之前我寫過一個跟黎曼猜想有關(guān)的文章，大家有興趣可以看看。鏈接在此。