最近在看歐拉的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)挺有意思的地方。大家不要怕，跟著我一路走下去，其實(shí)并不難。

無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和

這個(gè)好玩的東西是有關(guān)無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和。首先我們來(lái)了解兩個(gè)概念，什么是發(fā)散，什么是收斂。發(fā)散的意思就是，這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是無(wú)窮大的，比如所有自然數(shù)加起來(lái)，必定是沒(méi)有一個(gè)底的黑洞。而收斂，指的是無(wú)窮級(jí)數(shù)會(huì)不斷向一個(gè)具體的數(shù)值靠攏，比如1/2+1/4+1/8…一直加下去，它的極限就等于1.

我們給出一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，形如“a+a2+a3+…+a^n，其中，n是自然數(shù)”。

對(duì)于這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，是否有一個(gè)求和公式呢？

啊，其實(shí)是有的，我們只要稍微用一下小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，加減一下就能得出。

我們令這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和為S= a+a2+a3+…+a^n

然后，我們?cè)诘仁絻蛇呁瑫r(shí)乘以a，我們發(fā)現(xiàn)，這里a≠0，否則就沒(méi)意思了，無(wú)數(shù)個(gè)零加在一起還是零。乘以a后，我們會(huì)得到下面這個(gè)等式：

aS=a2+a3+…+a^（n+1）

我們將這兩個(gè)等式減一下：

S-aS= a+a2+a3+…+a^n-（a2+a3+…+a^（n+1））

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)神奇的地方，等式左邊就成了S（1-a），等式右邊剛好可以消掉，因?yàn)槭菬o(wú)窮級(jí)數(shù)，所以a^n與a^（n+1）是一樣的，（關(guān)于這點(diǎn)，其實(shí)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，看下去就知道），消掉之后，我們?huì)得到這個(gè)等式：

S（1-a）=a（其中，a不等于1）

同時(shí)處以（1-a），得：S=a/（1-a）

這是不是無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和通式呢？

好，我們一起來(lái)玩一下，當(dāng)a=1/2的時(shí)候，S=1/2+1/4+1/8+…=（1/2）/（1-1/2）=1

當(dāng)a=1/3的時(shí)候，S=1/3+1/9+1/27+…=（1/3）/（1-1/3）=1/2

好，如果a=2呢？

S=2+4+8+…=2/（1-2）=-2

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題了嗎？

以a=2的無(wú)窮級(jí)數(shù)加起來(lái)，直覺(jué)上，這必然是一個(gè)沒(méi)有答案的答案，因?yàn)檫@個(gè)級(jí)數(shù)不是收斂的，而是發(fā)散的。但是我們用得出來(lái)的無(wú)窮級(jí)數(shù)求和公式，竟然得到了一個(gè)答案，是-2，無(wú)窮大加起來(lái)，怎么可能是一個(gè)負(fù)數(shù)呢？

實(shí)際上，如果該無(wú)窮級(jí)數(shù)是發(fā)散的，那么a^n與a^（n+1）這兩項(xiàng)不能消掉，因?yàn)槭前l(fā)散的，當(dāng)n越大的時(shí)候，這兩項(xiàng)之間的區(qū)別也就越大。只有當(dāng)該無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的時(shí)候，a^n與a^（n+1）才可被視為相等。

話說(shuō)，當(dāng)年歐拉對(duì)此玩得不亦樂(lè)乎，就和我一樣，他動(dòng)手算了很多無(wú)窮級(jí)數(shù)，比如當(dāng)a=3,4,5,6的時(shí)候，通過(guò)求和公式算出來(lái)都是負(fù)數(shù)。

這給我的感覺(jué)，就像是我們對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行嚴(yán)刑拷打，逼問(wèn)它給出一個(gè)答案，最后它不堪折磨，給了一個(gè)荒誕可笑又滑稽的答案。

所以，形如“S= a+a2+a3+…+a^n”這類(lèi)無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和公式，是有一定范圍的，只能用在收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)上，這樣，我們就給a規(guī)定了范圍，只有當(dāng)a處于（0,1）之間時(shí)，這個(gè)S才有意義，否則它就“胡說(shuō)八道”了。

當(dāng)我自己在草稿紙上寫(xiě)下“-2”的時(shí)候，我的手都在顫抖，我突然發(fā)現(xiàn)，我們要對(duì)數(shù)學(xué)溫柔一點(diǎn)，不要硬逼著它給一個(gè)答案，如果這樣，它就算是給出了答案，也不是我們想要的。

數(shù)學(xué)就像我們的孩子，我們還是要多一點(diǎn)耐心，多一點(diǎn)溫柔，在不斷的逼問(wèn)之下，孩子會(huì)撒謊，數(shù)學(xué)會(huì)原地爆炸。

三角形數(shù)

好，接下來(lái)我們看一個(gè)三角形數(shù)。

什么是三角形數(shù)呢？

畫(huà)個(gè)圖方便大家理解，就是形如“1,3,6,10,15…”的數(shù)列。

現(xiàn)在，我們來(lái)求一下三角形數(shù)的倒數(shù)之和。

S=1+1/3+1/6+1/10+…

等式兩邊同時(shí)乘以1/2，得：

（1/2）S=1/2+1/6+1/12+1/20…

我們發(fā)現(xiàn)，1/2=1-1/2,1/6=1/2-1/3,1/12=1/3-1/4,1/20=1/4-1/5…（這里需要用到的定理：若b-a=1，ab是連續(xù)的自然數(shù)，則1/ab=1/a-1/b，其中a＜b）

我們將這些帶入進(jìn)去，就會(huì)得到這樣一個(gè)公式：

（1/2）S=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+（1/4-1/5）+…

我們發(fā)現(xiàn)，很多都可以消掉，于是我們得到（1/2）S=1，求得S=2

因此，三角形倒數(shù)之和為2

這個(gè)玩意兒，是萊布尼茨證明出來(lái)的。

原地爆炸的定理

最后，我們?cè)賮?lái)看歐拉當(dāng)年證明出來(lái)的一個(gè)原地爆炸的定理。

自然數(shù)平方的倒數(shù)和，是多少？

1+1/4+1/9+1/16+…

伯努利家族的人證明了這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的，其最終的結(jié)果小于2

歐拉憑借他驚人的心算能力，算出了一個(gè)近似值，1.6449

最終他在自己的不懈努力下，得出了一個(gè)原地爆炸的答案，即，這個(gè)答案是π2/6

那么，問(wèn)題來(lái)了，怎么證明呢？

雖然看起來(lái)好像很無(wú)厘頭啊，其實(shí)是能證明的，而且不會(huì)很難，我們用歐拉的方式來(lái)證明一下。

首先，歐拉引入了一個(gè)函數(shù)f（x）= 1-（x2/3！）+（x^4/5?。?（x^6/7！）+…，且當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1，然后，我們來(lái)對(duì)比一下一個(gè)泰勒展開(kāi)式，sinx=x-（x3/3?。?（x^5/5?。?（x^7/7！）+…

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要將泰勒展開(kāi)式除以x，就能得到歐拉引入的函數(shù)。因此，歐拉引入的函數(shù)又可以寫(xiě)成f（x）=sinx/x，且x≠0

我們令f（x）=0，由于x是不能等于0的，因此當(dāng)函數(shù)為0時(shí)，我們就相當(dāng)于求sinx=0的。

然后，我們畫(huà)一張三角函數(shù)圖，就是y=sinx的圖，這個(gè)圖就是一個(gè)在【-1,1】之間不斷震蕩的波浪。

我們觀察一下就發(fā)現(xiàn)，f（x）=0的解正好是x=±π，x=±2π，x=±3π…（π的整數(shù)倍）

我們?cè)賮?lái)一個(gè)簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)，看一個(gè)方程A=（x-x1）（x-x2）（x-x3）…如果x1,x2,x3…分別是x的根，那么我們很容易得出來(lái)，A=0

然后，我們從：f（x）=sinx=0出發(fā)，會(huì)得到這樣一個(gè)函數(shù)：f（x）=（1-x/π）（1-x/-π）（1-x/2π）（1-x/-2π）……=0

一個(gè)非常簡(jiǎn)單的定理：（a+b）（a-b）=a2-b2

于是我們得：f（x）=（1-x/π）（1-x/-π）（1-x/2π）（1-x/-2π）…=（1-x2/π2）（1-x2/4π2）（1-x2/9π2）…=0

這個(gè)f（x）=0，所以等價(jià)于歐拉引入的函數(shù)f（x）=1-x2/3！+x^4/5！- x^6/7！+ x^8/9！…=0

將這個(gè)f（x）合并同類(lèi)項(xiàng)，得：1-x2/3！+x^4/5！- x^6/7！+ x^8/9！=1-（1/π2+1/4π2+1/9π2+…）x2+（…）x^4-（…）x^6…

我們主要來(lái)看等式左邊和右邊中，x2前的系數(shù)，它們必然是相等的，于是我們得：

-x2/3！=-（1/π2+1/4π2+1/9π2+…）x2

簡(jiǎn)化（兩邊同時(shí)去掉負(fù)號(hào)，再除以x2，當(dāng)然，x≠0）得：

1/3！=1/π2+1/4π2+1/9π2+…

3！=1*2*3=6

于是我們得：1/6=（1+1/4+1/9+…）（1/π2）

答案就這么出來(lái)了，兩邊同時(shí)乘以π2，我們就能得出自然數(shù)平方倒數(shù)和的答案，是為π2的六分之一倍。

當(dāng)然，歐拉在引入多項(xiàng)式的時(shí)候有點(diǎn)不嚴(yán)謹(jǐn)，他根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法得出來(lái)的這個(gè)辦法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)家看來(lái)有些欠妥當(dāng)，比如他在算了1,2,3幾個(gè)數(shù)之后，發(fā)現(xiàn)都符合，于是他理所當(dāng)然地認(rèn)為，這適用于一切。將適用于有限多項(xiàng)式的公式推廣為適用于無(wú)窮多項(xiàng)式的公式，肯定會(huì)遇到巨大的困難。但可能說(shuō)是歐拉的幸運(yùn)吧，或者說(shuō)這位天才的直覺(jué)是敏銳的，他的過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，但結(jié)果卻是對(duì)的。

我仿佛看到了一座監(jiān)獄中，歐拉左手拿著泰勒展開(kāi)式，右手拿著sinx的波浪，對(duì)著數(shù)學(xué)死命地抽，并不斷逼問(wèn)：“說(shuō)！你是誰(shuí)！快說(shuō)！”

最終，一個(gè)形如（1+1/4+1/9+…）的數(shù)學(xué)撐不住了，抹著眼淚說(shuō)：“別打了，我說(shuō)還不行嗎？我是π2/6.”

這里，友情提醒一下歐拉，別打太狠了，否則數(shù)學(xué)原地爆炸，給你一個(gè)負(fù)數(shù)解，到時(shí)候你就該哭了。

我瞄了一眼監(jiān)獄門(mén)外，看到幾個(gè)人說(shuō)著、笑著，朝這里走來(lái)，仔細(xì)看一下，他們是費(fèi)馬、萊布尼茨、高斯、伽羅華……在他們旁邊，還有祖沖之、劉徽、賈憲、吳敬……

數(shù)學(xué)兄弟，保重！

數(shù)學(xué)：我愛(ài)學(xué)渣！回來(lái)！你這個(gè)學(xué)渣！

學(xué)渣看了一眼數(shù)學(xué)，問(wèn)旁邊的人：他是誰(shuí)？

旁邊的另一個(gè)學(xué)渣說(shuō)：不認(rèn)識(shí)。

與君共勉

2021年8月15日

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1.【文明之初】

2.【光榮希臘】

3.【偉大羅馬】

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【希臘神話】

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