1735年，巴塞爾級數(shù)和的成功破解，讓歐拉逐步坐穩(wěn)了18世紀數(shù)學(xué)盟主的地位。

我們先來回顧一下巴塞爾級數(shù)是什么？

如果把這里的2改成1，那就是大名鼎鼎的調(diào)和級數(shù)。戲謔地說，調(diào)和級數(shù)應(yīng)該是巴塞爾級數(shù)的大哥，因為無論從誕生的歷史，還是內(nèi)容的深度上都遠勝于二弟。

為啥這個級數(shù)有個如此清新的名字？調(diào)和級數(shù)“調(diào)和”什么呢？

這個級數(shù)名字源于泛音及泛音列（泛音列與調(diào)和級數(shù)英文同為harmonic series）：一條振動的弦的泛音的波長依次是基本波長的1/2、1/3、1/4……等等。

看到這個級數(shù)，就有種讓人想去求和的沖動。但是對一個數(shù)列來說，想求和，首先你要證明收斂性才行，巴塞爾級數(shù)的收斂性很好證明。但是對于調(diào)和級數(shù)，斂散性卻不是那么顯而易見。

大約在1360年，尼克爾·奧里斯姆就已經(jīng)證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的了，既然是發(fā)散，也就就不能求出來這個級數(shù)的和了。他證明的方法，其實不算什么高深技巧，用到的是一種證明不等式的基本方法，放縮法。我讀高中的時候，數(shù)學(xué)課上還專門講過，印象里最深的就是，老師說：放縮一定要適量，放縮法用得恰到好處，結(jié)論是不證自明的，要是放縮地太狠，不但得不到最后結(jié)論，甚至還會把你誤入歧途。好像現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)里已經(jīng)取消這個方法了，畢竟，相對于其他解題方法，放縮法的任意性要更高，也更難掌握一些。下面我們來看一下，這位中世紀的數(shù)學(xué)家是如何來證明調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性的。

(1) 式中[ ]內(nèi)的項一次遞增成2ⁿ個，為什么要這么操作？這樣操作之后，(2)式中就可以把[]內(nèi)的每一項都縮小到2^-n，于是每個[]內(nèi)的項相加都等于1/2,這樣持續(xù)下去，就可以得到調(diào)和級數(shù)的和大于無窮多個1/2了，顯而易見，調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。

這是人們對于調(diào)和級數(shù)第一次探索的成果。后來的研究過程中，人們越來越想用別的計算公式來逼近調(diào)和級數(shù)的和，因為調(diào)和級數(shù)和太過繁雜了。在這個問題的研究上，歐拉邁出第一步。

至此，歐拉得出調(diào)和級數(shù)的一個很好的逼近公式。但是后面[ ]內(nèi)存在的那一大串是什么呢？有了巴塞爾級數(shù)的知識做基礎(chǔ)，我們很明顯看出來[ ]內(nèi)的項都是收斂的，事實上歐拉給這大串的項的和用了一個專門的字母γ表示。

于是

這里的γ大約是0.5772156649...，我們當然又把這個數(shù)叫作歐拉常數(shù)?？汕f不要以為這個數(shù)的誕生這么奇怪，人們刻意造出這個數(shù)有什么用途呢？實際上這個常數(shù)會出現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)分析的問題中，它與伽馬函數(shù)Γ(x),黎曼函數(shù)ζ(s)，連分數(shù)展開式都有著千絲萬縷的關(guān)系。奇怪的是這個常數(shù)的性質(zhì)，人們卻知之甚少，甚至是有理數(shù)還是無理數(shù)都難以判定。

你以為歐拉得出調(diào)和函數(shù)和的逼近函數(shù)和歐拉常數(shù)就完了？當然沒有！

之后的某一天，歐拉在紙上涂涂畫畫，瞄著瞄著就把調(diào)和級數(shù)改造了一番，歐拉寫出這樣的一個式子：

很明顯歐拉是想看看所有素數(shù)的倒數(shù)和是怎么的情況，這個新的級數(shù)斂散性還是跟調(diào)和級數(shù)一樣呢？

于是歐拉又開始慘無人道地“蹂躪”這個可憐的級數(shù)了，歐拉第一個發(fā)現(xiàn)，所有素數(shù)的倒數(shù)和其實也是發(fā)散的。

他的這個證明非常精彩，遠比上面得出調(diào)和逼近函數(shù)要精彩得多。

歐拉曾經(jīng)在研究ζ(s)函數(shù)時，得到一個堪稱金鑰匙的工具，這個工具把求和與連乘等價在一起，非常漂亮。

歐拉的金鑰匙怎么得出來的，這里就不做特別細致的探討了。這里，我就主要說一下(9),(10)之間的轉(zhuǎn)換，（9）的連乘形式看起來非?？植溃瑢嶋H上，我們可以從另外一個角度來考慮。我們從小學(xué)就學(xué)過把一個數(shù)分解成唯一的素數(shù)乘積的形式，比如36=2*3*2*3,50=2*2*5*2，如果這個數(shù)本身就是素數(shù)，那就不用分解了。我們只是把這個要分解的數(shù)限制是自然數(shù)即可，換句話說，我們只要用素數(shù)乘積的組合就可以得出任意所有的自然數(shù)。這個也叫算術(shù)基本定理，是一個高斯曾經(jīng)極度癡迷的數(shù)學(xué)定理。我們把這個定理放在這里簡單應(yīng)用下。如果我們不嫌麻煩，將(9)完全展開，我們將會得到任意素數(shù)的冪乘積的倒數(shù)和，由算術(shù)基本定理的逆定理得知，我們也將得到所有自然數(shù)的倒數(shù)和！于是，自然而然，我們就得到(10)式了。（當然完整嚴謹?shù)淖C明還是要用到歐拉的金鑰匙，這里只是做個形象的解釋）

如果說調(diào)和級數(shù)和的發(fā)散性是反常識的，那么素數(shù)倒數(shù)和的發(fā)散性就更加反人類了。素數(shù)要遠比自然數(shù)少的多，沒想到經(jīng)過歐拉這么一推導(dǎo)，仍然是發(fā)散的！我們再來分析一下歐拉的證明過程，在最后一步里，用了素數(shù)的個數(shù)是無窮多個這個前提來得到最終結(jié)論，那么假如，我們可以先得到素數(shù)的倒數(shù)和是發(fā)散的，那么不就可以逆推出素數(shù)的個數(shù)是無窮多個的嗎？

這樣的思路是非常正確的，有人就學(xué)著走這條路。

1919年，挪威數(shù)學(xué)家布隆以此思路開辟了一條可能證明孿生素數(shù)猜想的“捷徑”。他把所有孿生素數(shù)的倒數(shù)對全部加在一起，他考慮到，假如這個級數(shù)仍然發(fā)散，不就可以證明孿生素數(shù)是無窮多個了嗎？？？這個思路的確相當振奮人心。

于是他列出這個級數(shù)來：

然而根據(jù)之前所有的研究經(jīng)驗來看，真正涉及到素數(shù)核心問題的證明都絕不會是以一個簡單巧妙的方法就可以解決的，孿生素數(shù)猜想也不例外。布隆企圖證明這個級數(shù)是發(fā)散的，然而，他嘗試半天，卻憂傷地得到了這個級數(shù)收斂在1.90216054...附近，這個常數(shù)也叫布隆常數(shù)。毫無疑問，這條證明孿生素數(shù)的道路是根本走不通的，歐拉的極盡巧思是布隆根本學(xué)不來的。到了這里，我仿佛聽見歐拉在天堂里遠遠地對布隆說：

“數(shù)學(xué)好，真的可以為所欲為！”

然而，上天也算待布隆不薄，布隆在這個問題的研究上并非顆粒無收，他證明了一個很有趣的結(jié)論：

對于任何一個給定的整數(shù)m，都可以找到m個相鄰素數(shù)，其中沒有一個孿生素數(shù)。

歐拉對于調(diào)和級數(shù)壓榨出了幾個重要成果：歐拉乘積公式，調(diào)和級數(shù)逼近公式，素數(shù)倒數(shù)和發(fā)散。充分說明了，調(diào)和級數(shù)就像是一股寶貴的數(shù)學(xué)源泉，而歐拉如抽絲剝繭般地慢慢把這個問題壓榨，提煉，改造成各種各樣有力的數(shù)學(xué)成果，為以后的數(shù)學(xué)研究準備相當多的工具，我個人已經(jīng)不能用語言去形容這位超級大神了。

我相信調(diào)和級數(shù)里仍然還有很多不曾被注意到的性質(zhì)，好似感覺這里就是一個寶藏， 我們所有人窮盡一生也得不到全部的結(jié)果。