通常情況下，它是我們遇到的第一個(gè)級(jí)數(shù)，是一個(gè)遞減級(jí)數(shù)，但卻發(fā)散到無窮大。然而，在這篇文章中，我們關(guān)注的是這樣一個(gè)問題：這里，我們所說的部分和，是指級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)，即：事實(shí)證明，有一個(gè)，即自然對(duì)數(shù)函數(shù)。當(dāng)n變大時(shí)，部分和與ln(n)之間的差異接近一個(gè)有限的極限。這個(gè)極限被稱為稱歐拉-馬斯克若尼常數(shù)，γ（gamma）。該常數(shù)首次出現(xiàn)在1734年，其名稱來自兩位數(shù)學(xué)家歐拉和意大利數(shù)學(xué)家馬斯克若尼。之所以采用gamma這個(gè)符號(hào)，很可能是因?yàn)檫@個(gè)常數(shù)與gamma函數(shù)（階乘函數(shù)的延伸）有關(guān)。盡管已經(jīng)存在了近300年，但它是有理數(shù)還是無理數(shù)一直是個(gè)謎。另外，gamma是代數(shù)性的還是超越性的也是未知的。調(diào)和數(shù)列與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系如何？確切地說，這就是本文的內(nèi)容。接下來的過程依賴于幾何直覺，是一個(gè)建立良好的級(jí)數(shù)收斂檢驗(yàn)的原型，即積分檢驗(yàn)法。- 證明T_n是單調(diào)遞減的，因此，有一個(gè)確定的極限，即γ（gamma）存在。
- 為有興趣的讀者提供一些圍繞級(jí)數(shù)收斂的額外（嚴(yán)格）細(xì)節(jié)。
T_n是有邊界的?首先，我們給出γ的下限。下面是y=1/x的圖。在這里，我們利用了一個(gè)技巧，即用單位寬度的矩形條比較圖下的面積，高度等于函數(shù)在該點(diǎn)的值。在證明了T_n自下而上有界后，我們現(xiàn)在繼續(xù)證明它自上而下也是有界的。之前，矩形的面積主導(dǎo)了曲線下的面積。那么，反過來呢？讓我們來看看。結(jié)合以上兩個(gè)結(jié)果，我們得到：T_n是單調(diào)遞減的?現(xiàn)在我們證明，T_n是單調(diào)遞減的，即：因此，我們可以使用上述泰勒級(jí)數(shù)展開。繼續(xù)：這意味著第一項(xiàng)以及上述求和中的每項(xiàng)都是負(fù)數(shù)。由此證明：現(xiàn)在，結(jié)合這兩個(gè)事實(shí)：并使用單調(diào)收斂定理，我們得到T_n確實(shí)收斂于一個(gè)固定的極限。也就是說，γ（gamma）存在。給出γ一個(gè)更嚴(yán)格的下限?鑒于y=1/x的凸性，梯形所覆蓋的面積比曲線要大。因此，我們已經(jīng)將γ的下限從0提高到1/2：事實(shí)證明，γ的值，精確到到小數(shù)點(diǎn)后5位是0.57721，與我們的下限相差不大。關(guān)于級(jí)數(shù)收斂的額外內(nèi)容這是一個(gè)輔助部分，在這里我們明確地證明一個(gè)已經(jīng)在上使用過的結(jié)果。假設(shè)有兩個(gè)級(jí)數(shù)：首先，讓我們回顧一下級(jí)數(shù)收斂的含義。現(xiàn)在，我們通過矛盾法構(gòu)建一個(gè)證明：上面的最后一行意味著，對(duì)于n>N，a_n被限制在a_0的r鄰域，b_n被限制在b_0的r鄰域。因此我們得出了一個(gè)矛盾的結(jié)論。因此，我們的假設(shè)（a_0 < b_0）是錯(cuò)誤的。因此，a_0≥b_0。
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