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機器之心報道 參與：思、肖清
歐拉，歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，也是最高產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年能寫八百多頁論文。我們經(jīng)常能見到以他名字命名的公式與定理，可能最廣為人知的便是「世界上最美的公式」歐拉公式。 先不說它的具體意義，能將自然數(shù)、虛數(shù)、π、0 和 1 這幾個最基本的元素組合在一起，就是令人驚嘆的美。歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到了復(fù)數(shù)域，同時建立三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽為「數(shù)學(xué)中的天橋」。 這樣的數(shù)學(xué)方程是極具美感的，而要構(gòu)建這樣的方程，整個思考與推導(dǎo)過程同樣是非常優(yōu)美的。數(shù)學(xué)最吸引人的地方，就在于這一步步推導(dǎo)的過程，一種撥開云霧見月明的感覺。 在本文中，我們希望通過一步步重現(xiàn)歐拉解巴塞爾問題的過程，體會到這種數(shù)學(xué)之美。 巴塞爾問題是一個著名的數(shù)論問題，這個問題首先由皮耶特羅·門戈利在 1644 年提出，由歐拉在 1735 年解決。由于這個問題難倒了以前許多數(shù)學(xué)家，歐拉一解出這個問題馬上就出名了，當(dāng)時他二十八歲。這個問題是以瑞士的第三大城市巴塞爾命名的，為了紀(jì)念它是歐拉和伯努利家族的家鄉(xiāng)。 文章將解釋歐拉是如何解決著名的巴塞爾問題的，看看如何用簡單的 sin(x) 函數(shù)和多項式，再借助泰勒級數(shù)的強大能力，解決這個問題。 巴塞爾問題 巴塞爾問題起先在 1650 年就提出來了，它的目標(biāo)在于求解某一離散無窮數(shù)列的和，具體來說，巴塞爾問題可以描述為如下： 如果讀者們還記得高數(shù)，記得無窮級數(shù)，你就會發(fā)現(xiàn)巴塞爾問題其實就是一個冪級數(shù)求和問題。當(dāng)時很多學(xué)者都在想方法去計算這個問題，但歐拉在 28 歲時就證明了它，使得數(shù)學(xué)界非常驚嘆。歐拉最初的證明方法并不一定是非常嚴(yán)格的，但它是非常優(yōu)美的，簡潔的過程與新奇的想法，使得我們能體會到「數(shù)學(xué)之美」。 歐拉最初的想法來自 sinc(πx) 函數(shù)，他將該函數(shù)定義為如下： 函數(shù)的圖像如下所示，當(dāng) x 趨向于 0 時，因為 sin(x) 與 x 的速度等同，它們相除最終會收斂到 1。之所以要構(gòu)造這個函數(shù)，答案就藏在它的零點，即當(dāng) sinc(πx) = 0 時 x 的所有取值。 為了理解這一點，考慮如下四次多項式的零點，很明顯當(dāng) x 分別等于 和 等常量的時候存在零點。 如果將上述展開為一般的多次方程，我們可以得到如下表達(dá)式。這里需要注意的是平方項前面的系數(shù)，它看起來有構(gòu)造成巴塞爾問題的可能性，畢竟分母都是兩個數(shù)相乘。 歐拉的策略就和它一樣，只要構(gòu)造成連乘的狀態(tài)，我們就可以了解到方程的零點。如果某一個函數(shù)所有零點等同于另一個函數(shù)的所有零點，那么至少在零點附近，它們是近似的。這樣就構(gòu)建了個等式，只要一邊有巴塞爾問題，它就是可解的。 雖然想法很好，但如果要類比巴塞爾問題，真實的展開式需要是一種超越函數(shù)（transcendental function），即變量之間的關(guān)系不能通過有限次的基本數(shù)學(xué)運算表示，例如 sin(x) 等三角函數(shù)就是超越函數(shù)。 超越函數(shù) 這種函數(shù)并不是指方程 4 那種有限的多項式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及對數(shù)函數(shù)才是最出名的超越函數(shù). 上圖所示分別為指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的圖像。之前已經(jīng)介紹過 sinc(πx) 函數(shù)了，可以看出來，該函數(shù)的零點就是所有正負(fù)整數(shù)。 歐拉借助下面我們非常熟悉的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換來展開 sinc(x) 在零點的情況。
因為 sinc(πx)/πx 的零點為正負(fù) n，其中 n 是自然數(shù)，那么根據(jù) 上文方程 3 的思想，該函數(shù)可以寫為如下的連乘形式。這種形式展示了當(dāng) sinc(πx)/πx=0 時，它的所有根。
下一步只需要展開到平方項就行了，至于為什么，等一下就知道了。這個也好解決，分別用 1 和 -x^2 去乘以后面的項就行了，1 每次只能乘以一個二次項和所有零次項，才能保證它是最終二次項的系數(shù)。
現(xiàn)在等式右邊已經(jīng)完全展開了，我們可以看到平方項系數(shù)存在 1/n^2（n 為 1、2、3...），這就是最終需要計算的巴塞爾問題。但左邊還沒有展開，我們現(xiàn)在還算不出該級數(shù)的最終結(jié)果。 如果我們把等式左邊的 x 移到右邊，即產(chǎn)生了一個 x 三次方項，現(xiàn)在左邊只剩下 sinc(πx)。現(xiàn)在學(xué)過泰勒展開式的你知道要怎么解了嗎？只需要把 sinc(πx) 展開到 x 的立方項，那么立方項的系數(shù)肯定是相等的，因此也就能解出巴塞爾問題了。 泰勒級數(shù) 泰勒級數(shù)使用無限項連加的形式來表示某一函數(shù)，每一項都是由該函數(shù)在某一點的 n 階導(dǎo)數(shù)計算得來。我們可以理解為，泰勒級數(shù)采用無窮的子項去逼近某一個連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，每一個高階導(dǎo)數(shù)，都是對該值的一點點逼近，最終收斂到該函數(shù)。
圖 6. 當(dāng)泰勒級數(shù)的數(shù)目不斷增加，它最終將收斂于其表示的那個函數(shù)。圖中黑色曲線代表 sin(x) 函數(shù)。其他曲線為其對應(yīng)不同階次的泰勒展開式，也就是最高次冪分別為 1，3，5，7，9，11 和 13 的多項式。 我們還記得，需要找的是逼近 sinc(πx) 立方項的系數(shù)，圖 6 中的 7 個泰勒展開式具有如下形式：
現(xiàn)在方程 7 整個左邊可以根據(jù)泰勒展開式表示為如下，我們需要抽取出 x 平方的系數(shù)。
我們可將式 8 看做具有無窮次冪的「偽多項式」，這樣的偽多項式有無窮多個根，其對應(yīng)的根由式 5 給出。但我們現(xiàn)在不想關(guān)心它的性質(zhì)，我們只想用系數(shù)解出巴塞爾問題。 聯(lián)系等式左右，解決問題 通過聯(lián)立式 7 和式 9 sinc(x) 展開后的二次項系數(shù)，即可得到我們最初想要解決的巴塞爾問題：
不僅如此，歐拉的推導(dǎo)過程產(chǎn)生了著名的 Wallis 乘積公式。僅需將 x = 1/2 代入式 6 并求其倒數(shù)即可得到：
現(xiàn)在，我們跟著歐拉解決了巴塞爾問題，整個思考過程不涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)技術(shù)與概念。只需要一步步跟著它的思路走，就能通過一系列巧妙的變換，解決數(shù)學(xué)難題。這樣的思考過程、邏輯推理過程，正體現(xiàn)著數(shù)學(xué)之美。 |
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