第18招：偷天換日 - 解三角形中的范圍問(wèn)題

解三角形是高考的熱點(diǎn)題型,解三角形中求最值或者取值范圍的問(wèn)題,是解三角形中相對(duì)較難的一類考題,從高考題型以及各類模擬題中分析總結(jié)來(lái)看,基本上分為兩種類型:第一類是利用函數(shù)思想(如轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)),運(yùn)用三角函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)有關(guān)知識(shí),利用函數(shù)思想求最值或取值范圍的問(wèn)題;第二類是運(yùn)用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系利用不等式性質(zhì)、基本不等式等,結(jié)合余弦定理求最值或取值范圍的問(wèn)題.在解題過(guò)程中,要注意正弦定理,余弦定理以及三角恒等變換公式的選擇和運(yùn)用,注意題目中隱含的各種限制條件(如三角形內(nèi)角和等于180°,兩邊之和大于第三邊等),選擇合理的方法解題.

(2019·全國(guó)III卷理·18)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.

(1)求;

(2)若為銳角三角形,且,求面積的取值范圍.

【答案】(1);(2).

【解析】(1)意根據(jù)題,由正弦定理得,因?yàn)?/span>,得,消去得.

由,可得,故,

因?yàn)?/span>,所以,所以.

(2)由題設(shè)及(1)知的面積,

由(1),得到,

由正弦定理得,

由于是銳角三角形,故,,結(jié)合,得,所以,從而.

因此面積的取值范圍是.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),正弦定理、余弦定理的運(yùn)用,最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用.

(1)利用正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的關(guān)系,得到關(guān)于角的三角方程,再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式變形化簡(jiǎn),解出的正弦值,最后根據(jù)均為三角形內(nèi)角解得.

(2)結(jié)合(1)及已知,把三角形面積表示成的函數(shù),再利用正弦定理將表示為關(guān)于的函數(shù),由銳角三角形及角的大小,確定角的范圍,進(jìn)而得解.此題也可以用余弦定理利用邊的關(guān)系求解,過(guò)程如下:

(2)由題設(shè)及(1)知的面積,

由余弦定理和,,得.

由是銳角三角形,得于是即

得,從而.

因此面積的取值范圍是.

(2020·浙江卷·18)在銳角中,角的對(duì)邊分別為,且.

(1)求角的大小;

(2)求的取值范圍.

【答案】(1);(2)

【解析】(1)由,結(jié)合正弦定理可得:

.

因?yàn)?/span>,得,消去得.

又△ABC為銳角三角形,故.

(2)由得,

.

由可得:,于是,

則,所以.

即的取值范圍是.

【點(diǎn)評(píng)】(1)首先利用正弦定理邊化角,然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大小;

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有角A的三角函數(shù)式,然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍,最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.

解三角形的基本策略:一是邊角互化,利用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”或“角化邊”.由正弦定理,設(shè),

邊化角有:;

角化邊有:;

由余弦定理有:.

二是善于利用三角形內(nèi)角和定理消元(轉(zhuǎn)化).

三是注意觀察已知條件(或條件的變式)和某個(gè)公式(或公式的部分)是否相似?若有,則可考慮用這個(gè)公式,由此打開解題的突破口.

1.(2020青島模擬)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.

(1)求;

(2)若為銳角三角形,且,求面積的最大值.

2.(原創(chuàng))的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.

(1)求;

(2)若銳角三角形的外接圓半徑,求周長(zhǎng)的取值范圍.