必刷大題9　解三角形

1．(2023·鄭州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2ccos C＝acos B－bcos(B＋C)．

(1)求角C；

(2)若c＝6，△ABC的面積S＝6bsin B，求S.

解　(1)因為A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cos A，

所以2ccos C＝acos B＋bcos A，

由正弦定理得2sin Ccos C＝sinAcos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)．

因為sin(A＋B)＝sinC，所以2sin Ccos C＝sinC.

因為C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝，則C＝.

(2)由S＝6bsin B，根據(jù)面積公式得6bsin B＝acsin B＝3asinB，所以a＝2b.

由余弦定理得cos C＝＝，

整理得a²＋b²－ab＝36，即3b²＝36，

所以b＝2，a＝4.

所以△ABC的面積S＝absin C＝×4×2sin ＝6.

2.(2023·唐山模擬)如圖，在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C)．

(1)求sin C的值；

(2)在BC的延長線上有一點D，使得∠DAC＝，AD＝10，求AC，CD.

解　(1)在銳角△ABC中，a＝bsin 2C＋2c(sin A－sinBcos C)，

由正弦定理得sin A＝2sinBsin Ccos C＋2sin C(sin A－sinBcos C)＝2sin Asin C，而sin A>0，

所以sin C＝.

(2)因為△ABC是銳角三角形，由(1)得cos∠ACB＝＝＝，

sin∠ADC＝sin＝(sin∠ACB－cos∠ACB)＝×＝，

在△ACD中，由正弦定理得＝＝，

即＝＝＝5，解得CD＝，AC＝，

所以CD＝，AC＝.

3．(2023·德州模擬)在①asin B＝bsin；②(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C；

③bsin ＝asin B三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并解決問題．

問題：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足________．

(1)求角A；

(2)若A的角平分線AD長為1，且b＋c＝6，求sin Bsin C的值．

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

解　(1)選①：由asin B＝bsin得，

sin Asin B＝sinBsin.

即sinA＝sin，

則A＝A－(舍)或A＋A－＝π，

所以A＝.

選②：由(a＋b)(sin A－sinB)＝(b＋c)sin C得，

(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，

即b²＋c²－a²＝－bc，

由余弦定理得cos A＝＝－，

又A∈(0，π)，所以A＝.

選③：由bsin ＝asin B得，sin ＝sinA，

即cos ＝2sin cos ，

因為cos ≠0，所以sin ＝，

又A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由S_△ABD＋S_△ADC＝S_△ABC得，(b＋c)＝bc，

即bc＝b＋c＝6，

在△ABC中，由余弦定理得a²＝b²＋c²－2bccosA＝(b＋c)²－bc＝36－6＝30，

解得a＝，

由正弦定理得＝＝＝2R＝2，即R＝，

所以sin Bsin C＝＝＝.

所以sin Bsin C的值為.

4．已知a，b，c分別為銳角△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足bcos C＋bsin C－a－c＝0.

(1)求B；

(2)若b＝2，求銳角△ABC的周長l的取值范圍．

解　(1)由bcos C＋bsin C－a－c＝0，

可得sin Bcos C＋sin Bsin C－sinA－sin C＝0

?sin Bcos C＋sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0

?sin Bcos C＋sin Bsin C－sinBcos C－cos Bsin C－sinC＝0

?sin Bsin C－cosBsin C－sin C＝0

?sin B－cosB＝1

?sin＝，

因為B∈，所以B＝.

(2)因為B＝，b＝2，

利用正弦定理得＝＝＝＝，

所以a＝sin A，c＝sin C，

所以l＝a＋b＋c＝2＋(sin A＋sinC)，

所以l＝2＋

＝2＋4sin，

因為△ABC是銳角三角形，所以0<A<，A＋B＝A＋>，

所以<A<，<A＋<，

所以sin∈，

所以2＋2<2＋4sin≤6，

所以△ABC的周長l的取值范圍為(2＋2，6]．

5.(2022·沈陽模擬)如圖，某水域的兩條直線型岸邊l₁，l₂的夾角為60°，某漁民準備安裝一直線型隔離網(wǎng)BC(B，C分別在l₁，l₂上)，圍出養(yǎng)殖區(qū)△ABC.

(1)若BC＝6 km，求養(yǎng)殖區(qū)△ABC的面積(單位：km²)的最大值；

(2)若△ABC是銳角三角形，且AB＝4 km，求養(yǎng)殖區(qū)△ABC面積(單位：km²)的取值范圍．

解　(1)由題意可知∠BAC＝60°，BC＝6.

在△ABC中，由余弦定理可得BC²＝AB²＋AC²－2AB·ACcos∠BAC，

即AB²＋AC²－AB·AC＝36.

因為AB²＋AC²≥2AB·AC，

當且僅當AB＝AC＝6時等號成立，

所以AB²＋AC²－AB·AC≥AB·AC，即AB·AC≤36.

故△ABC的面積S＝AB·ACsin∠BAC≤×36×＝9.

即養(yǎng)殖區(qū)△ABC面積的最大值為9 km².

(2)因為AB＝4，∠BAC＝60°，所以△ABC的面積S＝AB·ACsin∠BAC＝AC.

在△ABC中，由正弦定理可得＝，

則AC＝＝＝＋2.

因為△ABC是銳角三角形，所以

所以30°<∠ACB<90°，

所以tan∠ACB>，所以0<<，

則2<＋2<8，即2<AC<8.

故S＝AC∈(2，8)，即△ABC面積的取值范圍是(2，8)．

6．(2023·廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且sin²A＝sin²B＋sin²C＋sin Bsin C.

(1)求角A的大??；

(2)若a＝1時b＋λc存在最大值，求正數(shù)λ的取值范圍．

解　(1)已知sin²A＝sin²B＋sin²C＋sinBsin C，由正弦定理得a²＝b²＋c²＋bc，所以b²＋c²－a²＝－bc.

由余弦定理得cos A＝＝＝－.

又A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由正弦定理＝＝＝，

得b＋λc＝(sin B＋λsin C)＝[sin(A＋C)＋λsin C]

＝

＝sin(C＋φ)，φ∈，其中tan φ＝＝.

因為C∈，要使b＋λc存在最大值，即C＋φ＝有解，

所以φ∈，從而>，即0<2λ－1<3，

所以正數(shù)λ的取值范圍為.