專題限時(shí)集訓(xùn)(六)

[第6講　解三角形] 

(時(shí)間：10分鐘＋35分鐘)

1．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，|→(AC)|＝2|→(AB)|＝2|→(AD)|＝4，則|→(BD)|＝(　　)

A.  B．2  C.  D．3

2．在△ABC中，已知角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＝3，c＝8，B＝60°，則sinA的值是(　　)

A.16(3)  B.14(3)

C.16(3)  D.14(3)

3．若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是(　　)

A．(1，)  B．(，)

C．(，2)  D．(1,2)

4．在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為________千米．

1．△ABC的外接圓半徑R和△ABC的面積都等于1，則sinAsinBsinC＝(　　)

A.4(1)  B.2(3)  C.4(3)  D.2(1)

2．在△ABC中，角A、B均為銳角，且cosA>sinB，則△ABC的形狀是(　　)

A．直角三角形  B．銳角三角形

C．鈍角三角形  D．等腰三角形

3．若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為(　　)

A.3(4)  B．4－3

C．1  D.3(2)

4．如圖6－1，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，則sinC的值為(　　)

圖6－1

A.3(3)  B.6(3)

C.3(6)  D.6(6)

5．2011年11號臺風(fēng)“南瑪都”于8月31日凌晨減弱為熱帶低壓后登陸晉江，如圖6－2，位于港口O正東方向20海里B處的漁船回港避風(fēng)時(shí)出現(xiàn)故障，位于港口南偏西30°，距港口10海里C處的油輪接到海事部門營救信息后以30海里/小時(shí)的速度沿直線CB去營救漁船，則油輪到達(dá)B處需要________小時(shí)．

圖6－2

6．在△ABC中，B＝60°，AC＝，則AB＋2BC的最大值為________．

7.如圖6－3，港口A北偏東30°方向的C處有一檢查站，港口正東方向的B處有一輪船，距離檢查站31海里，該輪船從B處沿正西方向航行20海里后到達(dá)D處觀測站，已知觀測站與檢查站距離21海里，問此時(shí)輪船離港口A還有多遠(yuǎn)？

圖6－3

8．如圖6－4，在△ABC中，sin2(∠ABC)＝3(3)，AB＝2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD＝2DC，BD＝3(3).

(1)求BC的長；

(2)求△DBC的面積．

圖6－4

專題限時(shí)集訓(xùn)(六)

【基礎(chǔ)演練】

1．C　【解析】 如圖，設(shè)BD＝x，然后在△ABD，△ACD中分別使用余弦定理，利用cos∠ADB＋cos∠ADC＝0建立關(guān)于x的方程．

設(shè)BD＝DC＝x，根據(jù)余弦定理，得4＝4＋x2－4xcos∠ADB，16＝4＋x2－4xcos∠ADC，兩個(gè)方程相加得20＝8＋2x2，解得x＝.

2．D　【解析】 根據(jù)余弦定理得b＝＝7，根據(jù)正弦定理sinA(3)＝sin60°(7)，解得sinA＝14(3).

3．C　【解析】 由三角形有兩解的充要條件得asin60°<<a，解得<a<2.故選C.

4.　【解析】 由三角形內(nèi)角和定理得∠ACB＝45°，在△ABC中，由正弦定理得sin∠ACB(AB)＝sin∠ABC(AC)，代入數(shù)據(jù)得sin45°(2)＝sin60°(AC)，解得AC＝.

【提升訓(xùn)練】

1．D　【解析】 根據(jù)三角形面積公式和正弦定理S＝2(1)absinC＝2(1)2RsinA·2RsinB·sinC＝2R2sinAsinBsinC，代入數(shù)據(jù)得sinAsinBsinC＝2(1).

2．C　【解析】 由于A為銳角，故2(π)－A也為銳角，而cosA>sinB即sin－A(π)>sinB，由正弦函數(shù)的單調(diào)性得2(π)－A>B，即A＋B<2(π)，從而C>2(π)，故△ABC為鈍角三角形．

3．A　【解析】 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.①

由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，②

將②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝3(4).故選A.

4．D　【解析】 設(shè)BD＝2，則AB＝AD＝，BC＝4，由余弦定理得

cos∠ADB＝2×AD×BD(AD2＋BD2－AB2)＝×2(3＋4－3)＝3(3)，

∴sin∠BDC＝＝3(1)＝3(6).

由正弦定理得sin∠BDC(4)＝sinC(2)，

即sinC＝2(1)sin∠BDC＝2(1)×3(6)＝6(6).

5.3(7)　【解析】 在△OBC中，OC＝10，OB＝20，∠BOC＝120°，根據(jù)余弦定理得BC＝2(1)＝10，故需要的時(shí)間是30(7)＝3(7)(小時(shí))．

6．2　【解析】 因?yàn)?/SPAN>B＝60°，A＋B＋C＝180°，

所以A＋C＝120°，

由正弦定理，有 

sinC(AB)＝sinA(BC)＝sinB(AC)＝sin60°(3)＝2，

所以AB＝2sinC，BC＝2sinA.

所以AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(1200－A)＋4sinA.

＝2(sin120°cosA－cos120°sinA)＋4sinA

＝cosA＋5sinA

＝2sin(A＋φ)，7(5)

所以AB＋2BC的最大值為2.

7．【解答】 在△BDC中，由余弦定理知cos∠CDB＝2BD·CD(BD2＋CD2－BC2)＝－7(1)，

sin∠CDB＝7(3).

∴sin∠ACD＝sin3(π)＝sin∠CDBcos3(π)－cos∠CDBsin3(π)＝14(3)，

在△ACD中，由正弦定理知

sin∠ACD(AD)＝sinA(CD)?AD＝15，

∴輪船距港口A還有15海里．

8．【解答】 (1)因?yàn)?/FONT>sin2(∠ABC)＝3(3)，

因?yàn)?FONT face="Times New Roman">cos∠ADB＝－cos∠BDC，

所以有3()＝－3()，所以3b2－a2＝－6.

由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3.

(2)由(1)得△ABC的面積為2(1)×2×3×3(2)＝2， 

所以△DBC的面積為3(2).