到兩點點的距離之和為定值（大于兩定點距離）的點的軌跡是橢圓．

到兩點點的距離之差為定值（小于兩定點距離）的點的軌跡是雙曲線．

那么到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡是什么呢？

沒錯就是阿氏圓．

阿氏圓定理（全稱：阿波羅尼斯圓定理），具體的描述：

一動點P到兩定點A、B的距離之比等于定比m：n，則P點的軌跡，是以定比m：n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓．這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，該圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．

【分析】

令B為坐標原點，A的坐標為(a，0)．則動點P(x，y)．滿足PA/PB=k（k為實數(shù)，k＞0且k≠1）

得k√(x2＋y2)=√[(x-a)2+y2]，

當k＞0且k≠1時,它的圖形是圓．

當k=1時，軌跡是兩點連線的中垂線．

【典型例題】

（2017·蘭州）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y=-1/2x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．

（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；

（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；

（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；

②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求1/2AM+CM它的最小值．

【答案】

解：（1）∵點A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，

∴-16-4b+c=-4，c=4，

∴b=-2，c=4，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+4；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n過點A，B，

∴n=4，-4k+n=-4，

∴k=2，n=4，

∴直線AB的解析式為y＝2x+4，

設(shè)E（m，2m+4），

∴G（m，﹣m2﹣2m+4），

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴EG＝OB＝4，

∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，

∴m＝﹣2

∴G（﹣2，4）．

（3）①如圖1，

由（2）知，直線AB的解析式為y＝2x+4，

∴設(shè)E（a，2a+4），

∵直線AC：y=-1/2x﹣6，

∴F（a，-1/2a﹣6），

設(shè)H（0，p），

∵以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，

∵直線AB的解析式為y＝2x+4，直線AC：y=-1/2x﹣6，

∴AB⊥AC，

∴EF為對角線，

∴EF與AH互相平分，

∴1/2（﹣4+0）=1/2（a+a），1/2（﹣4+p）=1/2（2a+4-1/2a﹣6），

∴a＝﹣2，P＝﹣1，

∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如圖2，

由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH=√5，AE＝2√5，

設(shè)AE交⊙E于G，取EG的中點P，

∴PE=√5/2，

連接PC交⊙E于M，連接EM，

∴EM＝EH=√5，

∴PE/ME=(√5/2)/√5=1/2，

∵ME/AE=√5/(2√5)=1/2，

∴PE/ME=ME/AE=1/2，∵∠PEM＝∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴PM/AM=ME/AE=1/2，

∴PM=1/2AM，

∴1/2AM+CM的最小值＝PC，

設(shè)點P（p，2p+4），

∵E（﹣2，0），

∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，

∵PE=√5/2，

∴5（p+2）2=5/4，

∴p=-5/2或p=-3/2（由于E（﹣2，0），所以舍去），

∴P（-5/2，﹣1），

∵C（0，﹣6），

∴PC=√((-5/2 )2+(-1+6)2 )=(5√5)/2，

即：1/2AM+CM=(5√5)/2．