|
3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣1/2x 2+bx+c的圖象與直線y＝﹣ x+3交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1）． （1）求拋物線的函數(shù)解析式； （2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C． ①求點(diǎn)C的坐標(biāo)； ②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出此時(shí)PA+PC的值；若不存在，說(shuō)明理由； ③除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB為直角三角形？若存在，直接寫出所有能使△QAB為直角三角形點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】（1）先由y＝﹣1/2x+3，可得與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把B（4，1）和A（0，3）代入y＝﹣1/2x 2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)解析式； （2）①設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D，則D（6，0），由△AOC∽△DOA可得，OC＝3/2，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3/2，0）； ②由拋物線：y＝﹣1/2x 2+3/2x+3，可得其對(duì)稱軸為直線x＝3/2，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x＝3/2的對(duì)稱點(diǎn)為A′（3，3），連接A′C交直線x＝3/2于點(diǎn)P，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PA+PC的值最小，即△PAC的周長(zhǎng)的值最小，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出A′C的長(zhǎng)度，即為此時(shí)PA+PC的值； ③分兩種情況： （i）以B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B點(diǎn)作AB的垂線與x軸交于點(diǎn)Q?，與y軸交于點(diǎn)Q?， 易求直線BQ1的解析式為y＝2x﹣7，所以Q?（7/2，0），Q?（0，﹣7）； （ii）以Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，以AB為直徑作圓交x軸于Q?，Q4，與y軸交于點(diǎn)Q5， 以AB為直徑的圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5， 當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1或3，所以Q?（1，0），Q4（3，0）； 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1或3，所以Q5（0，1）． 綜上可知，所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q?（7/2，0），Q?（0，﹣7），Q?（1，0），Q4（3，0），Q5（0，1）． 例4.如圖，拋物線y＝x2﹣4x﹣5與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D． （1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸． （2）如圖1，點(diǎn)E（m，n）為拋物線上一點(diǎn)，且2＜m＜5，過(guò)點(diǎn)E作EF∥x軸，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，作EH⊥x軸于點(diǎn)H，求四邊形EHDF周長(zhǎng)的最大值． （3）如圖2，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】（1）分別令x＝0和y＝0代入拋物線的解析式中，可得A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），可得對(duì)稱軸x=2; （2）根據(jù)矩形周長(zhǎng)公式表示四邊形EHDF周長(zhǎng)，并根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得四邊形EHDF周長(zhǎng)的最大值； 如圖1，∵E（m，n），且2＜m＜5，∴E在第四象限， ∴EF＝m﹣2，EH＝n＝﹣m2+4m+5， 設(shè)四邊形EHDF周長(zhǎng)為W， 則W＝2（EF+EH）＝2（m﹣2﹣m2+4m+5）＝﹣2m2+10m+6＝﹣2（m﹣5/2）2+37/2， ∵﹣2＜0，∴當(dāng)m＝5/2時(shí)，四邊形EHDF周長(zhǎng)的最大值是37/2； （3）分三種情況： ①當(dāng)∠CBP＝90°時(shí)，如圖2，根據(jù)△PDB∽△BOC，列比例式得：PD＝DB，可得結(jié)論； ②當(dāng)∠BCP＝90°時(shí)，如圖3，根據(jù)△PCG∽△BDG，則CG/PG=DG/BG，可得PG的長(zhǎng)，從而寫出P的坐標(biāo)； ③以AB為直徑畫圓，交對(duì)稱軸于P ?、P ?，如圖4，根據(jù)△P ?DB∽△CHP ?，則P ?D/BD=CH/HP ?，列方程可得結(jié)論． 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．   |
|
|
來(lái)自： 昵稱32901809 > 《待分類》
