'阿波羅尼斯圓模型'——中考最值專(zhuān)題（二）

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1．阿氏圓（阿波羅尼斯圓）由來(lái)，模型識(shí)別

2．本質(zhì)：'兩定一動(dòng)'型——系數(shù)不為1的最值問(wèn)題處理

3．三步處理：①畫(huà)圓；②r上取半，連動(dòng)點(diǎn)；③計(jì)算，連中點(diǎn)&定點(diǎn)即為所求

【模塊一 模型識(shí)別】

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262～190年），與、齊名．他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后來(lái)研究者沒(méi)有插足的余地．

阿波羅尼斯最早發(fā)現(xiàn)：若平面上兩定點(diǎn)A、B滿足

（k為定值且不等于1），則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，后稱(chēng)阿氏圓．

在初中的題目中往往利用逆向思維構(gòu)造'母子型相似+兩點(diǎn)間線段最短'，解決帶系數(shù)兩線段之和的最值問(wèn)題．觀察下面的圖形，當(dāng)B在在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BA、BC的長(zhǎng)在不斷的發(fā)生變化，但它們的比值卻始終保持不變．解決阿氏圓問(wèn)題，首先要熟練掌握母子型相似三角形的性質(zhì)和構(gòu)造方法．如圖，在△ABC的邊AC上找一點(diǎn)D，使得

，則此時(shí)△ABD∽△ACB．

模型識(shí)別：

問(wèn)題本質(zhì)：

動(dòng)感體驗(yàn)：（幾何畫(huà)板）

【模塊二 最值計(jì)算】

【例1】

1．已知點(diǎn)A（4，0），B（4，4），點(diǎn)P在半徑為2的⊙O上運(yùn)動(dòng)，試求

的最小值．

2．已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）

的最小值為_(kāi)_________；

（2）

的最小值為 ．

3．已知⊙O半徑為2，AC、BD為切線，AC=2，BD=4，P為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，試求

的最小值．

※4．如圖，△ABC中，∠ACB=45°，AC=8，BC=

，D是平面內(nèi)一點(diǎn)，且CD=4，則AD+BD的最小值為 ．

【模塊三 二次函數(shù)綜合·壓軸】

【例2】

1．（2018·育才二診）已知：如圖1，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若直線l過(guò)點(diǎn)D，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、P為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式；

（3）如圖2，E為OB的中點(diǎn)，將線段OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E'B、E'C，當(dāng)

取得最小值時(shí)，求直線E'B與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

2．（2018·改編）如圖，拋物線

與直線AB交于A（－4，－4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：交y軸與點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線

的表達(dá)式；

（2）連接GB、EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）①點(diǎn)H為y軸上一點(diǎn)，連接EH、FH，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A、E、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形? 求出此時(shí)點(diǎn)E、H的坐標(biāo)；

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求：

的最小值．

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