數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的前提和基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的起點(diǎn)，是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分。然而，學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知與理解并不等于掌握了數(shù)學(xué)概念的邏輯結(jié)構(gòu)，還需要經(jīng)歷概念再形成的過(guò)程，才能逐漸構(gòu)建概念的邏輯框架，理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，并對(duì)其進(jìn)行靈活運(yùn)用。而概念再形成的過(guò)程包含學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建的過(guò)程，即讓學(xué)生經(jīng)歷從感性認(rèn)知到理性認(rèn)知的思維過(guò)程，全面把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)規(guī)律。這與APOS 理論的核心觀點(diǎn)不謀而合，學(xué)生要發(fā)揮學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性，對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷自主心理構(gòu)建的過(guò)程，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)圖式，最終才能真正掌握數(shù)學(xué)概念。

一、APOS理論概述

APOS 理論是杜賓斯基提出的一種建構(gòu)主義數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論，該理論認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷活動(dòng)（Action）、過(guò)程（Process）、對(duì)象（Object）、圖式（Schema）四個(gè)階段，通過(guò)這四個(gè)階段的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?；顒?dòng)階段是指學(xué)生在參與一系列的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，通過(guò)直觀的感受獲取對(duì)數(shù)學(xué)概念的聯(lián)想，從而為抽象出數(shù)學(xué)概念奠定基礎(chǔ)。過(guò)程階段是指學(xué)生在活動(dòng)中通過(guò)自主探究從具體的事例中獲取數(shù)學(xué)概念的特征，提煉出獨(dú)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并內(nèi)化為自己的知識(shí)。對(duì)象階段是指學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念獨(dú)立進(jìn)行心理運(yùn)算，并賦予其一定的意義。圖式階段是指通過(guò)反思使概念以綜合框架的形式出現(xiàn)在人腦中，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的透徹理解。

增強(qiáng)營(yíng)銷隊(duì)伍素質(zhì)是管控電力營(yíng)銷風(fēng)險(xiǎn)的必然要求。電力營(yíng)銷任務(wù)“新、快、多、雜”的特點(diǎn)決定了必須要提升營(yíng)銷人員素質(zhì)，優(yōu)化營(yíng)銷隊(duì)伍結(jié)構(gòu)，只有這樣才能更好更快的接受新的理念，提升工作積極性，及時(shí)提醒和處理電力用戶遇到的問(wèn)題，從而向用戶提供更加優(yōu)質(zhì)的服務(wù)。同時(shí)高素質(zhì)的營(yíng)銷隊(duì)伍可以更高效的促進(jìn)管理水平，增強(qiáng)自我糾錯(cuò)和風(fēng)險(xiǎn)防控。

綜上所述，APOS 理論側(cè)重概念形成的思維過(guò)程，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷概念組建的過(guò)程中，把握概念的本質(zhì)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖式，激發(fā)學(xué)生的自主探究欲，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)，從而提高概念學(xué)習(xí)的成效。

二、基于APOS理論的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

以APOS 理論的四個(gè)階段為指導(dǎo)，下面以“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、動(dòng)手操作探究、組織辯題訓(xùn)練、開(kāi)展交流反思四個(gè)流程，呈現(xiàn)在APOS理論指導(dǎo)下，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體措施。

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，構(gòu)建新舊知識(shí)聯(lián)系

活動(dòng)階段注重學(xué)生對(duì)概念產(chǎn)生的初步認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過(guò)主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)獲取概念。由于小學(xué)生對(duì)直觀、熟悉的事物容易產(chǎn)生興趣，在此階段，教師可選取貼近學(xué)生生活的事例，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)概念學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建新舊知識(shí)的溝聯(lián)，激發(fā)學(xué)生的探究欲，以實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的初步理解與認(rèn)知，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

例如，在“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師通過(guò)多媒體向?qū)W生展示了生活中圓形物體的圖片：圓形鐘表、圓形摩天輪、圓桌。讓學(xué)生在觀察中認(rèn)識(shí)圓的形象。其后，教師提出問(wèn)題：“你能說(shuō)出生活中還有哪些圓形物體嗎？”讓學(xué)生回憶自己曾經(jīng)見(jiàn)過(guò)的圓形物體，使其在回憶和思考的過(guò)程中，自主構(gòu)建起新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上獲得新的提升。

此階段教學(xué)中，教師立足學(xué)生的已有認(rèn)知水平，貼近學(xué)生的生活，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，使其在反復(fù)回憶和思考中，達(dá)到對(duì)圓形概念內(nèi)外合一的認(rèn)知。

2.動(dòng)手操作探究，構(gòu)建心理認(rèn)知結(jié)構(gòu)

過(guò)程階段是學(xué)生在經(jīng)歷活動(dòng)之后，對(duì)圓形事物的本質(zhì)屬性進(jìn)行反思，并通過(guò)分析、總結(jié)等活動(dòng)，整合圓的特征，抽象出圓的概念，認(rèn)識(shí)圓的本質(zhì)，從而在大腦中進(jìn)行心理認(rèn)知構(gòu)建，對(duì)圓的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性。教學(xué)中，教師可組織學(xué)生動(dòng)手操作，讓學(xué)生探究圓的相關(guān)特征，認(rèn)識(shí)圓的本質(zhì)屬性。

① 劉譯：It takes a teacher to transmit the Way...[4]36

例如，教師組織學(xué)生畫(huà)圓，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中認(rèn)識(shí)圓形并提煉其特征。畫(huà)圓的工具有很多：圓形瓶蓋、圓環(huán)、圓規(guī)等。學(xué)生在利用不同工具畫(huà)圓時(shí)，能領(lǐng)會(huì)并歸納出圓的特征。尤其是在利用多種工具畫(huà)圓時(shí)，有學(xué)生會(huì)畫(huà)成橢圓，教師就會(huì)引導(dǎo)學(xué)生反思畫(huà)圓經(jīng)驗(yàn)。用圓規(guī)畫(huà)圓時(shí)，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生針尖要固定，且兩腳之間的距離不能變，據(jù)此得出“一中同長(zhǎng)”的特征。

此階段教學(xué)中，教師通過(guò)開(kāi)展畫(huà)圓的活動(dòng)，讓學(xué)生在反復(fù)的動(dòng)手操作中領(lǐng)悟圓的特征，并對(duì)其進(jìn)行總結(jié)，深化了學(xué)生對(duì)圓的概念的認(rèn)識(shí)。可以看出，此階段與活動(dòng)階段并沒(méi)有明顯的分界線，均體現(xiàn)了活動(dòng)中有思考，思考中有活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的思考過(guò)程，有效提升了學(xué)生的抽象概括能力。

3.組織辯題訓(xùn)練，深化概念認(rèn)知理解

對(duì)象階段就是將概念壓縮成獨(dú)立的對(duì)象，需要學(xué)生進(jìn)一步鞏固前幾步所獲得的概念，使其從整體上去理解圓的概念。這個(gè)階段需要多次循環(huán)操作，才能達(dá)到讓學(xué)生將概念作為一個(gè)整體去理解的程度。在教學(xué)中，教師可組織辯題訓(xùn)練，讓學(xué)生從圓的概念這個(gè)整體視角上，去理解其在生活中存在的意義，加深學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)。

例如，教師立足于生活，提出如下問(wèn)題：（1）為什么酒店中的餐桌通常是圓形的？（2）你能解釋“圓桌會(huì)議”的意義嗎？（3）如果將籃球場(chǎng)中間的圓畫(huà)得大一些，該怎樣畫(huà)？學(xué)生圍繞這些問(wèn)題進(jìn)行思考，并做出解釋：餐桌做成圓形后，圓周上的每一個(gè)點(diǎn)到中心的距離都是相同的，這樣每個(gè)人的夾菜距離也相等，對(duì)每個(gè)人很公平；“圓桌會(huì)議”則體現(xiàn)了公平的理念……從學(xué)生的解釋上看，顯然對(duì)圓的理解上升了一個(gè)層次。

教學(xué)中，通常會(huì)出現(xiàn)教師以為某個(gè)概念已經(jīng)講清楚了，但是學(xué)生卻還是似懂非懂的情況。究其原因，是小學(xué)生更容易理解形象且直觀的概念，而對(duì)抽象的概念則難以掌握。而辯題訓(xùn)練的開(kāi)展，則讓學(xué)生深化對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，從而鞏固圓的知識(shí)。

后來(lái)有一天，兒子翻開(kāi)40年前父親的日記，里面寫(xiě)道：今天兒子三歲了，他指著公園里的烏鴉問(wèn)我：“這是什么？”我告訴他：“是烏鴉?！彼謫?wèn)，我又回答，他問(wèn)了11次，我答了11次。

4.開(kāi)展交流反思，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

圖式階段是概念教學(xué)的最后環(huán)節(jié)，此階段的形成需要通過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)不斷完善，學(xué)生通過(guò)同化或順應(yīng)的過(guò)程建立起已學(xué)概念與其他概念之間的聯(lián)系，從而在頭腦中形成概念的整體框架。該階段主要讓學(xué)生對(duì)前三個(gè)階段以及頭腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)整合起來(lái)，讓學(xué)生在對(duì)具體事物抽象過(guò)程中完善圓的概念，讓學(xué)生在不斷構(gòu)建中提升認(rèn)知水平和思維能力。

其他學(xué)校的成果大多為專利、論文和教材開(kāi)發(fā)，總之，最終實(shí)現(xiàn)了校企雙贏的目的，也真正提升了教師們的教科研綜合能力。

例如，教學(xué)中，教師通過(guò)開(kāi)展交流反思的活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)圓的概念進(jìn)行再思考、再整合。（1）圓是“一中同長(zhǎng)”，球體也是“一中同長(zhǎng)”，你能說(shuō)出二者的區(qū)別嗎？（2）正方形、正三角形也是“一中同長(zhǎng)”，你能梳理圓與這幾種圖形之間的關(guān)系嗎？學(xué)生圍繞這些問(wèn)題進(jìn)行討論，梳理了這幾種圖形之間的邏輯關(guān)系，并在頭腦中自動(dòng)構(gòu)建圓的概念與其他圖形概念之間的異同，從而形成了新的圖式。

隨著圖書(shū)館服務(wù)不斷拓展，文化活動(dòng)逐漸豐富，圖書(shū)館的空間功能也需要不斷與之相適應(yīng)，從傳統(tǒng)藏書(shū)、借閱空間發(fā)展到信息共享空間、學(xué)習(xí)空間，又發(fā)展到社交空間、新技術(shù)體驗(yàn)空間、創(chuàng)客空間等[6]，現(xiàn)在還需要著力打造文化展覽與活動(dòng)空間。雖然當(dāng)前很多圖書(shū)館在現(xiàn)有空間條件下通過(guò)靈活組配和利用，因地制宜地發(fā)揮空間特點(diǎn)開(kāi)展各類文化活動(dòng)，但終究會(huì)受到一定的限制，存在各種問(wèn)題。

該階段中，教師以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思、交流，讓學(xué)生對(duì)圓的概念有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，通過(guò)辨析圓與球體、正三角形、正方形等圖形之間的異同，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生對(duì)圓的概念有了全方位、多層次的理解。

總之，APOS 理論為小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了新的路徑，其在教學(xué)中的運(yùn)用揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的全過(guò)程，讓學(xué)生將原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與新知識(shí)不斷融合，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。此外，APOS 理論中的四個(gè)階段具有順序性、完整性，彼此之間相互鏈接，不可或缺的。