在歐洲，函數(shù)(function)這一名詞，是微積分的奠基人德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲首先采用的．他在1692年發(fā)表的數(shù)學(xué)論文中，就應(yīng)用了函數(shù)這一概念．不過，萊布尼茲僅用函數(shù)一詞表示冪，即x，x²，x³，…，其后他用函數(shù)一詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等與曲線上點相關(guān)的某些幾何量．

1718年，萊布尼茨的學(xué)生瑞士數(shù)學(xué)家貝努利使用變量概念給出了不同于幾何形式的函數(shù)定義：“由某個變量及任意的一個常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量。”意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)。貝努利所強調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示，貝努利還采用了萊布尼茲“x的函數(shù)”一詞作為這個量的名稱，首先用符號“Φx”作為函數(shù)的記號。

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在其著作《無窮小分析引論》中，把凡是給出解析式表示的變量，統(tǒng)稱為函數(shù)．1734年，歐拉首先創(chuàng)用了符號“f(x)”作為函數(shù)的記號．f(x)中的字母“f”取自function(函數(shù))的第一個字母．歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！痹跉W拉的定義中，就不強調(diào)函數(shù)要用公式表示了。由于函數(shù)不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標系的曲線也叫函數(shù)。他認為：“函數(shù)是隨意畫出的一條曲線。”其實，歐拉關(guān)于函數(shù)的定義，并沒有真正揭示出函數(shù)概念的實質(zhì)．

1821年，法國數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現(xiàn)了自變量一詞。

1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化。函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法。函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的?！边@個定義指出了對應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性，利用這個關(guān)系，可以來求出每一個x的對應(yīng)值。

德國數(shù)學(xué)家狄利克勒，在總結(jié)前輩數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上，在1837年給出了至今還常用的函數(shù)的定義：如果對于給定區(qū)間上的每一x的值，都有唯一的y值與它對應(yīng)，那么y是x的函數(shù)．用符號記作：y=f(x)．這個定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只須有一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應(yīng)用提供了方便。因此，這個定義曾被比較長期的使用著。

隨著數(shù)學(xué)的不斷進步和完善，當19世紀集合論出現(xiàn)后，函數(shù)也是映射，是數(shù)集合到數(shù)集合的映射：設(shè)A，B都是非空的數(shù)的集合，f是從A到B的一個對應(yīng)法則，那么A到B的映射f∶A→B，就叫做A到B的函數(shù)．記作：y=f(x)其中x∈A，y∈B．

中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞。是我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》（1895年）一書時，把“function”譯成“函數(shù)”的。 中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)?！敝袊糯锰?、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數(shù)或變量。這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù)?！彼浴昂瘮?shù)”是指公式里含有變量的意思。

函數(shù)y=f(x)是個比較抽象的數(shù)學(xué)符號．y=f(x)是表示“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表達式，而不是f與x的乘積． 在研究同一問題的過程中，等式y(tǒng)=f(x)，h=f(t)，m=f(n)……表示完全相同的對應(yīng)法則．至于自變量、函數(shù)用什么字母表示是無關(guān)要。