笛卡兒引入變量后，隨之而來的便是函數(shù)的概念．他指出y和是變量（“未知量和未定的量”）的時候，也注意到y(tǒng)依賴于而變．這正是函數(shù)思想的萌芽．但是他沒有使用“函數(shù)”這個詞。函數(shù)這個數(shù)學(xué)名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，以描述曲線的一個相關(guān)量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數(shù)現(xiàn)在被稱作可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)學(xué)家之外的普通人一般接觸到的函數(shù)即屬此類。對于可導(dǎo)函數(shù)可以討論它的極限和導(dǎo)數(shù)。此兩者描述了函數(shù)輸出值的變化同輸入值變化的關(guān)系，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)。

函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從集合、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展。本文擬通過對函數(shù)概念的發(fā)展與比較的研究，對函數(shù)概念的教學(xué)進行一些探索。 

十七世紀伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關(guān)系。1637年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。 

1673年，萊布尼茲首次使用“function”（函數(shù)）表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變量間的關(guān)系。

1718年約翰·貝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。 

18世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。 

1822年傅里葉(Fourier，法，1768－1830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時指出，雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學(xué)家狄利克雷。 

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)認為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！钡依死椎暮瘮?shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。 

等到康托爾(Cantor，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。 

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數(shù)。其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”、“對應(yīng)”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合{{a}，}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。 

函數(shù)概念的定義經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，20世紀40年代，物理學(xué)研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac－δ函數(shù)，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、測度及以上所述的Dirac－δ函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來。因此，隨著以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會繼續(xù)擴展。