小男孩‘自慰网亚洲一区二区,亚洲一级在线播放毛片,亚洲中文字幕av每天更新,黄aⅴ永久免费无码,91成人午夜在线精品,色网站免费在线观看,亚洲欧洲wwwww在线观看

分享

函數的形成與發(fā)展

 liu19an19 2011-09-08

從十七世紀笛卡爾在數學中引進變量算起,函數概念的形成,可以說耗費了近三百年的歷史,而且?guī)捉浳C艱難曲折,最后形成了函數的近代定義。

函數(function)這一名詞,是微積分的奠基人之一--萊布尼茲(Leibniz    德國數學家    1646--1716)在1692年首先采用的。原來萊布尼茲的學生約翰·伯努利(Bernoulli    Johan    1667--1748    瑞士數學家)在1718年給出了函數的明確定義:“變量的函數是由這些變量與常量所組成的一個解析表達式。”而到了十八世紀中葉,著名數學家歐拉(Euler    1707--1783    瑞士數學家)則把函數定義為:“函數是隨意畫的一條曲線”(1748)。現在知道,這乃是函數概念的解析表達式和圖象表達法,就是說,歷史上,曾把“現象”當作“本質”,不過它也說明:“現象”已是進入“本質”的向導,事實上,盡管Bernoulli和Euler的函數定義都具有片面性,但對以后函數概念的發(fā)展產生了巨大影響。

Euler于1775年在《微分學》一書中還給出了函數的另一種定義:“如果某些變量,以這樣一種方式依賴于另一些變量,即當后面這些變量變化時,前面這些變量也隨之變化,則將前面的變量稱為后面變量的函數。”這個定義樸素的反映了函數中的辯證因素,在特定條件下,體現了“自變”到“因變”的生動過程。但這個定義沒有提到兩個變量之間的對應關系,因此沒有反映出科學的函數概念的特征。另外,現在我們廣泛采用的函數符號f(x),也是Euler  1734年首先引用的。在1834年,偉大的俄國數學家羅巴契夫斯基(1793--1856    非歐幾何創(chuàng)始人)進一步提出函數的下述定義:“x的函數是這樣的一個數:它對于每一個x都有確定的值,并隨著x一起變化。函數值可以由解析給出,也可以由一個條件給出,這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法,函數的這種依賴關系可以存在,但仍然是未知的。”這個定義指出了對應關系(條件)的必要性,利用這個關系,可以求出每一個x的對應值。

后來法國數學家狄利克雷認為怎樣去建立x與y之間的關系是無關緊要的,他對函數的定義是:“如果對于x的每一個值,y總有完全確定的值與之對應,則y是x的函數。”這個定義抓住了函數概念的本質屬性:變量y與x構成函數關系,只須有一個法則存在,使得這個函數定義域中的每一個值,都有一個確定的y值與它對應就行了,不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。這個定義比前面的定義更具有普遍性,和現在通常給出的函數定義可以說很接近了。 

在我國,函數一詞是清朝數學家李善蘭最先使用的,他在《代數學》的譯本(1859)中,把“function”譯成“函數”,“凡式中有天,為天之函數”。我國古代以天、地、人、物表示未知數(如x、y、z),所以這個函數的定義相當于:若一式中含有x,則稱為關于x的函數。“函”和“含”在我國古代可以通用,所以“函”有著包含的意思,這大概就是李善蘭用“函數”一詞翻譯function的原因吧。
 

歷史表明,重要數學概念對數學發(fā)展的作用是不可估量的,函數概念對數學發(fā)展的影響,可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡,回顧函數概念的歷史發(fā)展,看一看函數概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程,是一件十分有益的事情,它不僅有助于我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度,而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發(fā)展,數學學習的巨大作用. 

(一)馬克思曾經認為,函數概念來源于代數學中不定方程的研究.由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究,所以函數概念至少在那時已經萌芽. 

自哥白尼的天文學革命以后,運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題,人們在思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自轉和公轉,那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓,原理是什么?還有,研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度,以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題,既是科學家的力圖解決的問題,也是軍事家要求解決的問題,函數概念就是從運動的研究中引申出的一個數學概念,這是函數概念的力學來源. 

(二)早在函數概念尚未明確提出以前,數學家已經接觸并研究了不少具體的函數,比如對數函數、三角函數、雙曲函數等等.1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中,已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系,但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念,因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候,數學家還沒有明確函數的一般意義. 

1673年,萊布尼茲首次使用函數一詞表示“冪”,后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量.由此可以看出,函數一詞最初的數學含義是相當廣泛而較為模糊的,幾乎與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用另一名詞“流量”來表示變量間的關系,直到1689年,瑞士數學家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數概念的基礎上,對函數概念進行了明確定義,貝努里把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數”,表示為yx. 

當時,由于連接變數與常數的運算主要是算術運算、三角運算、指數運算和對數運算,所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數x和常數c而成的式子,取名為解析函數,還將它分成了“代數函數”與“超越函數”. 

18世紀中葉,由于研究弦振動問題,達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數”的說法.在解釋“任意的函數”概念的時候,達朗貝爾說是指“任意的解析式”,而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”.現在看來這都是函數的表達方式,是函數概念的外延. 

(三)函數概念缺乏科學的定義,引起了理論與實踐的尖銳矛盾.例如,偏微分方程在工程技術中有廣泛應用,但由于沒有函數的科學定義,就極大地限制了偏微分方程理論的建立.1833年至1834年,高斯開始把注意力轉向物理學.他在和W·威伯爾合作發(fā)明電報的過程中,做了許多關于磁的實驗工作,提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論,使得函數作為數學的一個獨立分支而出現了,實際的需要促使人們對函數的定義進一步研究. 

后來,人們又給出了這樣的定義:如果一個量依賴著另一個量,當后一量變化時前一量也隨著變化,那么第一個量稱為第二個量的函數.“這個定義雖然還沒有道出函數的本質,但卻把變化、運動注入到函數定義中去,是可喜的進步.” 

在函數概念發(fā)展史上,法國數學家富里埃的工作影響最大,富里埃深刻地揭示了函數的本質,主張函數不必局限于解析表達式.1822年,他在名著《熱的解析理論》中說,“通常,函數表示相接的一組值或縱坐標,它們中的每一個都是任意的……,我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律;他們以任何方式一個挨一個.”在該書中,他用一個三角級數和的形式表達了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數.更確切地說就是,任意一個以2π為周期函數,在[-π,π]區(qū)間內,可以由      表示出,其中 

富里埃的研究,從根本上動搖了舊的關于函數概念的傳統(tǒng)思想,在當時的數學界引起了很大的震動.原來,在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝,級數把解析式和曲線溝通了,那種視函數為解析式的觀點終于成為揭示函數關系的巨大障礙. 

通過一場爭論,產生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數定義. 

1834年,俄國數學家羅巴切夫斯基提出函數的定義:“x的函數是這樣的一個數,它對于每個x都有確定的值,并且隨著x一起變化.函數值可以由解析式給出,也可以由一個條件給出,這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函數的這種依賴關系可以存在,但仍然是未知的.”這個定義建立了變量與函數之間的對應關系,是對函數概念的一個重大發(fā)展,因為“對應”是函數概念的一種本質屬性與核心部分

    本站是提供個人知識管理的網絡存儲空間,所有內容均由用戶發(fā)布,不代表本站觀點。請注意甄別內容中的聯系方式、誘導購買等信息,謹防詐騙。如發(fā)現有害或侵權內容,請點擊一鍵舉報。
    轉藏 分享 獻花(0

    0條評論

    發(fā)表

    請遵守用戶 評論公約

    類似文章 更多