德國數(shù)學(xué)家黎曼（1826～1866）

就在幾天前（9月20日），菲爾茲和阿貝爾獎雙料得主邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）宣稱自己證明了黎曼猜想，并且要在9月24日海德堡獲獎?wù)哒搲闲v！

這是黎曼猜想的通俗解釋，有文化的你不該不知道。

本文作者：黃逸文 (中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院)

來源：科學(xué)大院

1900年，大數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）在巴黎舉辦的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上提出了23個數(shù)學(xué)問題，它為整個二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展指明了方向。時過境遷，值千禧年之際，美國克雷研究所提出了7個世紀(jì)性的數(shù)學(xué)難題，并慷慨地為每個問題設(shè)置了100萬美元的獎金。

德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）

當(dāng)我們回顧這次跨越時空的呼應(yīng)時，卻發(fā)現(xiàn)有一個共同的問題，并且已經(jīng)伴隨著數(shù)學(xué)家們走過了滄桑百年的歷程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。

黎曼猜想究竟有何神奇之處，竟讓如此多的數(shù)學(xué)家為此癡迷和魂?duì)繅衾@？在它那里，又藏著怎樣驚世駭俗的秘密？破譯這樣一個難題，真的會給數(shù)學(xué)和世界帶來激動人心的改變嗎？

質(zhì)數(shù)探索

在自然數(shù)序列中，質(zhì)數(shù)就是那些只能被1和自身整除的整數(shù)，比如2，3，5，7，11等等都是質(zhì)數(shù)。4，6，8，9等等都不是質(zhì)數(shù)。由于每個自然數(shù)都可以唯一地分解成有限個質(zhì)數(shù)的乘積，因此在某種程度上，質(zhì)數(shù)構(gòu)成了自然數(shù)體系的基石，就好比原子是物質(zhì)世界的基礎(chǔ)一樣。

人們對質(zhì)數(shù)的興趣可以追溯到古希臘時期，彼時歐幾里得用反證法證明了自然數(shù)中存在著無窮多個質(zhì)數(shù)，但是對質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律卻毫無頭緒。隨著研究的深入，人們愈發(fā)對行蹤詭異的質(zhì)數(shù)感到費(fèi)解。這些特立獨(dú)行的質(zhì)數(shù)，在自然數(shù)的汪洋大海里不時拋頭露面后，給千辛萬苦抵達(dá)這里的人們留下驚嘆后，又再次揚(yáng)長而去。

1737年，瑞士的天才數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）發(fā)表了歐拉乘積公式。在這個公式中，如鬼魅隨性的質(zhì)數(shù)不再肆意妄為，終于向人們展示出了其循規(guī)蹈矩的一面。

沿著歐拉開辟的這一戰(zhàn)場，數(shù)學(xué)王子高斯（Gauss）和另一位數(shù)學(xué)大師勒讓德（Legendre）深入研究了質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律，終于各自獨(dú)立提出了石破天驚的質(zhì)數(shù)定理。這一定理給出了質(zhì)數(shù)在整個自然數(shù)中的大致分布概率，且和實(shí)際計(jì)算符合度很高。在和人們玩捉迷藏游戲兩千多年后，質(zhì)數(shù)終于露出了其漂亮的狐貍尾巴。

橫空出世

雖然符合人們的期待，質(zhì)數(shù)定理所預(yù)測的分布規(guī)律和實(shí)際情況仍然有偏差，且偏差情況時大時小，這一現(xiàn)象引起了黎曼的注意。

其時，年僅33歲的黎曼（Riemann）當(dāng)選為德國柏林科學(xué)院通信院士。出于對柏林科學(xué)院所授予的崇高榮譽(yù)的回報，同時為了表達(dá)自己的感激之情，他將一篇論文獻(xiàn)給了柏林科學(xué)院，論文的題目就是《論小于已知數(shù)的質(zhì)數(shù)的個數(shù)》。在這篇文章里，黎曼闡述了質(zhì)數(shù)的精確分布規(guī)律。

沒有人能預(yù)料到，這篇短短8頁的論文，蘊(yùn)含著一代數(shù)學(xué)大師高屋建瓴的視野和智慧，以至今日，人們?nèi)匀粸殡[匿在其中的奧秘而苦苦思索。

黎曼Zeta函數(shù)

黎曼在文章里定義了一個函數(shù)，它被后世稱為黎曼Zeta函數(shù)，Zeta函數(shù)是關(guān)于s的函數(shù)，其具體的定義就是自然數(shù)n的負(fù)s次方，對n從1到無窮求和。因此，黎曼Zeta函數(shù)就是一個無窮級數(shù)的求和。然而，遺憾的是，當(dāng)且僅當(dāng)復(fù)數(shù)s的實(shí)部大于1時，這個無窮級數(shù)的求和才能收斂（收斂在這里指級數(shù)的加和總數(shù)小于無窮）。

為了研究Zeta函數(shù)的性質(zhì)，黎曼通過圍道積分的方式對該函數(shù)做了一個解析延拓，將s存在的空間拓展為復(fù)數(shù)平面。

研究函數(shù)的重要性質(zhì)之一就是對其零點(diǎn)有深刻的認(rèn)識。零點(diǎn)就是那些使得函數(shù)的取值為零的數(shù)值集合。比如一元二次方程一般有兩個零點(diǎn)，并且有相應(yīng)的求根公式給出零點(diǎn)的具體表達(dá)式。

黎曼對解析延拓后的Zeta函數(shù)證明了其具有兩類零點(diǎn)。其中一類是某個三角sin函數(shù)的周期零點(diǎn)，這被稱為平凡零點(diǎn)；另一類是Zeta函數(shù)自身的零點(diǎn)，被稱為非平凡零點(diǎn)。針對非平凡零點(diǎn)，黎曼提出了三個命題。

第一個命題，黎曼指出了非平凡零點(diǎn)的個數(shù)，且十分肯定其分布在實(shí)部大于0但是小于1的帶狀區(qū)域上。

第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點(diǎn)都幾乎全部位于實(shí)部等于1/2的直線上。

第三個命題，黎曼用十分謹(jǐn)慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點(diǎn)都全部位于實(shí)部等于1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。而最后這個命題，就是讓后世數(shù)學(xué)家如癡如醉且寢食難安的黎曼猜想。

有人曾經(jīng)問希爾伯特，如果500年后能重回人間，他最希望了解的事情是什么？希爾伯特回答說：我想知道，黎曼猜想解決了沒有。

美國數(shù)學(xué)家蒙哥馬利（Montgomery）曾經(jīng)也表示，如果有魔鬼答應(yīng)讓數(shù)學(xué)家們用自己的靈魂來換取一個數(shù)學(xué)命題的證明，多數(shù)數(shù)學(xué)家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。黎曼猜想，儼然就是真理的宇宙里，數(shù)學(xué)家心目中那顆最璀璨的明星。

黎曼的三個命題

短短八頁的論文里，黎曼給后人留下了卓絕非凡的智慧和思想，也為后世留下了魅力無窮的謎團(tuán)。文章里的證明因?yàn)槠拗贫啾皇÷?，吝惜筆墨的黎曼卻讓身后數(shù)百年的數(shù)學(xué)大家費(fèi)盡心思、相形見絀。這篇格局宏大、視野開闊的論文站在了時代的最前沿，其高瞻遠(yuǎn)矚的目光和魄力直到今日仍然指引著主流數(shù)學(xué)界的方向。

在第一個命題的某一步證明里，黎曼用輕松的語氣寫道：這是不言而喻的普適性的結(jié)果。但就是這樣一個似乎不值一提的結(jié)果，卻花費(fèi)了后人40年的時間苦苦探索。芬蘭數(shù)學(xué)家梅林因?yàn)樵谶@一小步上的貢獻(xiàn)而名垂青史。此后，在黎曼眼中一筆帶過的第一命題最終才由德國數(shù)學(xué)家蒙戈?duì)柼兀∕angoldt）在46年后給出完整的證明。

針對第二命題，黎曼用了相當(dāng)肯定的語氣指出其正確性。遺憾的是，他沒有給出任何證明的線索，只是在與朋友的一封通信里提及：命題的證明還沒有簡化到可以發(fā)表的程度。然而黎曼畢竟高估了讀者的能力，第二個命題猶如一座巍峨的大山壓在了后世數(shù)學(xué)家的心中，直到今天也踹不過氣來。一個半世紀(jì)過去了，人們還在為尋找第二命題的證明而陷入深思，似乎絲毫找不到破解它的希望。

更讓人們絕望的是，黎曼在論及第三命題時，破天荒地沒有使用肯定的語氣，而是謹(jǐn)慎地說道：這很有可能是正確的結(jié)論。作為復(fù)變函數(shù)功彪千古的大師，黎曼此時也失去了信心，只能借助試探的口吻表達(dá)自己的觀點(diǎn)。也正是這個讓黎曼猶豫而止步的命題，終成了數(shù)學(xué)史上最為壯美險峻的奇峰。

有人曾經(jīng)質(zhì)疑黎曼是否真的證明了第一和第二命題，他隨意寫下的結(jié)論僅僅是重復(fù)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）曾經(jīng)的覆轍：把錯誤的想法當(dāng)成了真理。

1637年，愛好數(shù)學(xué)的大法官費(fèi)馬在一本書的頁邊寫下了他對一個問題的看法：他發(fā)現(xiàn)了一個簡潔的證明，但是由于紙張?zhí)o法寫下來。這就是被后世稱為費(fèi)馬猜想的問題，其完整的證明直到358年后的1995年才由英國數(shù)學(xué)家懷爾斯借助最艱深的現(xiàn)代工具所完成。

但是，人們很快打消了疑慮。從黎曼遺留下來的部分草稿來看，他的數(shù)學(xué)思想和功力已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越同時代的數(shù)學(xué)家。即使是幾十年后被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的手稿中體現(xiàn)出來的能力水平，也讓當(dāng)時的數(shù)學(xué)家難以望其項(xiàng)背。因此，人們有理由相信，這是一個偉大數(shù)學(xué)家的自信和坦然。

盡管黎曼猜想成立與否不得而知，數(shù)學(xué)家們還是傾向于它的正確性。一個半世紀(jì)以來，人們在假設(shè)黎曼猜想成立的情況下，以它作為基石，已經(jīng)建立了一千多條定理，并且打造了無比輝煌的數(shù)論大廈。然而一旦黎曼猜想找到反例被證偽，這些精美的大樓就會如空中樓閣一樣曇花一現(xiàn)，最終崩塌，給數(shù)論帶來災(zāi)難性的結(jié)果。

質(zhì)數(shù)分布規(guī)律

質(zhì)數(shù)作為一類特殊的整數(shù)，任性而古怪，它們悄悄地隱藏在浩浩蕩蕩的自然數(shù)列里，以自己獨(dú)有的奔放奏出魅力四射的音符。這曲神秘的質(zhì)數(shù)音律，不知讓多少追尋真理呼喚的人為之陶醉，為之傾注畢生精力，只為找到質(zhì)數(shù)起舞的腳步和節(jié)拍。

遺憾的是，驕傲的質(zhì)數(shù)們都是孤獨(dú)的行者，在數(shù)千年的時光里靜靜地等待著能讀懂它的真命天子。從歐拉（Euler）開始，人們終于得以在無邊無際的整數(shù)世界里一瞥質(zhì)數(shù)的浮光掠影。

黎曼（Riemann）一舉揭示了質(zhì)數(shù)最深處的秘密，優(yōu)雅地給出了質(zhì)數(shù)分布的精確表達(dá)式。人們第一次能夠近距離窺視質(zhì)數(shù)們在自然界跳舞的規(guī)律，是那樣的豪放與不羈，平靜時如溫柔的月光灑在無波的大海，奔騰時又如滔天巨浪傾瀉在一葉孤舟，讓人愛恨交織、目馳神移。

然而，質(zhì)數(shù)并不是完全隨性而為，它的表現(xiàn)始終臣服在黎曼Zeta函數(shù)零點(diǎn)的分布規(guī)律上。因此，破譯黎曼猜想就等于完全確定了質(zhì)數(shù)跳舞的規(guī)律和秩序，無疑將開啟數(shù)論中最激動人心的篇章。也因此，黎曼猜想成了無數(shù)人心目中夢想征服的珠穆朗瑪峰。登上這座高峰的勇士，也將和歷史上最偉大的名字連接在一起，成為后人敬仰和追隨的英雄。

在黎曼的時代，質(zhì)數(shù)定理雖然經(jīng)由高斯（Gauss）和勒讓德（Legendre）提出，但卻是未經(jīng)證實(shí)的猜想。它讓最捉摸不定的質(zhì)數(shù)在陽光下現(xiàn)出了蹤跡。當(dāng)時最杰出的數(shù)學(xué)大師也為此傾心，試圖證明質(zhì)數(shù)定理。

解決質(zhì)數(shù)定理

在黎曼提出的第一個命題里，數(shù)學(xué)家很容易證明Zeta函數(shù)的零點(diǎn)位于實(shí)部不小于0，不大于1的帶狀區(qū)域上，但是無法排除實(shí)部等于0和1的兩條直線。令人驚喜的是，人們很快發(fā)現(xiàn)如果能證明黎曼眼中顯而易見的第一命題中的某一關(guān)鍵結(jié)論，則可以直接證明質(zhì)數(shù)定理。

在黎曼提交論文的36年后，數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪（Hadamard）等人不負(fù)眾望，終于證明了該結(jié)論，也順帶解決了質(zhì)數(shù)定理，從而完成了自高斯以來眾多數(shù)學(xué)大師的心愿。

然而黎曼在第一命題里所輕松描述的全部結(jié)論，直到46年后的1905年才由蒙戈?duì)柼兀∕angoldt）完成。

黎曼猜想的一個小小命題里就蘊(yùn)含著如此巨大的能量，自此以后，數(shù)學(xué)家把注意力都集中到了黎曼猜想的攻堅(jiān)上來。

于是，1900年的巴黎，希爾伯特（Hilbert）代表數(shù)學(xué)界提出了23個影響深遠(yuǎn)的問題，黎曼猜想作為第8個問題的一部分而被世人所知。百年輪回，時至今日，23個問題中已經(jīng)有19個確定解決，還有3個部分解決。黎曼猜想依然如巍峨的奇山，矗立在人類的智力巔峰之上。

鑒于黎曼猜想的巨大難度，人們無法一步征服如此雄偉的山峰，只能在山腳和山腰尋找攀登的線索。一批數(shù)學(xué)家另辟蹊徑，不再駐足于尋求黎曼猜想的證明上，而是去計(jì)算黎曼猜想的零點(diǎn)。如果一旦發(fā)現(xiàn)某一個零點(diǎn)并不位于實(shí)部是0.5的直線上，這就等價于找到一個反例，從而證實(shí)黎曼猜想并不成立。

1903年，丹麥數(shù)學(xué)家第一次算出了前15個非平凡零點(diǎn)的具體數(shù)值。在黎曼猜想公布44年后，人們終于看到了零點(diǎn)的模樣。毫無意外的是，這些零點(diǎn)的實(shí)部全部都是0.5。

1925年，李特爾伍德（Littlewood）和哈代（Hardy）改進(jìn)了計(jì)算方法，算出前138個零點(diǎn)，這基本達(dá)到了人類計(jì)算能力的極限。

過于龐大的計(jì)算量，讓后人放棄了繼續(xù)尋找零點(diǎn)的努力。而為了選擇更多的非平凡零點(diǎn)，人們還在黑暗中苦苦摸索。沒想到，這一次，曙光來自于黎曼的遺稿。

手稿里的智慧遺產(chǎn)

隨著證明黎曼猜想的努力付諸東流，而計(jì)算零點(diǎn)的可能也趨于渺茫，數(shù)學(xué)家陷入了漫長的痛苦期，以至于他們終于開始懷疑黎曼猜想不過是他直覺的猜測，而并沒有實(shí)際的計(jì)算證據(jù)。

黎曼時代的數(shù)學(xué)家喜歡發(fā)表他們認(rèn)為已經(jīng)成熟的學(xué)術(shù)成果，而對探索中的理論諱莫如深。因此，很多數(shù)學(xué)家公開發(fā)表的成果只是他們做研究的極小一部分，許多價值連城的遠(yuǎn)見并沒有對外公布。

這方面，高斯（Gauss）是一個典型。在1898年公布的高斯科學(xué)日記里，人們才發(fā)現(xiàn)，他的很多思想和成果已經(jīng)遙遙領(lǐng)先那個時代，但是卻因?yàn)闆]有發(fā)表而讓后世的數(shù)學(xué)家走了很多彎路。

比如，橢圓函數(shù)雙周期性理論的結(jié)果直到100年后才被后人重新發(fā)現(xiàn)。同時，高斯也最早意識到了非歐幾何的存在。這樣的例子比比皆是。

人們只能從高斯的稿件和信件中去尋找那些依舊蒙塵卻隱匿著科學(xué)巨匠光輝的成果。

因此，在黎曼猜想面前灰頭土臉的數(shù)學(xué)家把目光投向了黎曼的手稿。遺憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞見的手稿在他去世后被管家付諸一炬，從此人們失去了近距離了解黎曼進(jìn)行科學(xué)思考和創(chuàng)作的機(jī)會，也讓他卓絕非凡的智慧結(jié)晶失去了傳承。

黎曼的妻子僥幸搶救出了一小部分手稿，并把它贈送給了黎曼生前的好友戴德金。后來，她擔(dān)心手稿里可能有黎曼與她的私人信件，又將大部分手稿索回。這些殘留的珍貴手稿，最后經(jīng)由戴德金獻(xiàn)給了哥廷根大學(xué)圖書館。這也成了黎曼留給后人的珍貴遺產(chǎn)。

很多慕名前去的數(shù)學(xué)家希望從黎曼的手稿里得到啟發(fā)，但是，這些手稿太過艱深晦澀，人們止步于此，無法讀懂黎曼在天馬行空的字里行間所展示出的才能。一代數(shù)學(xué)大師的遺物，在為將來破譯它的人牢牢地守護(hù)著秘密。

零點(diǎn)計(jì)算的推進(jìn)

1932年，德國數(shù)學(xué)家西格爾（Siegel）終于在歷經(jīng)兩年的苦苦鉆研后，從黎曼的手稿里找到了關(guān)鍵的證據(jù)。正是這一證據(jù)表明，黎曼對他提出的三個命題有過極其深刻的思考和計(jì)算。

西格爾在手稿里發(fā)現(xiàn)了黎曼當(dāng)年隨手寫下的公式，這個公式今天被稱為黎曼-西格爾公式。西格爾也因?yàn)樽尷杪墓街噩F(xiàn)天日而最終獲得了菲爾茲獎。

有些數(shù)學(xué)家甚至認(rèn)為：如果不是西格爾發(fā)現(xiàn)了這個公式，時至今日，它會像埋入沙漠深處的寶藏，再難被后人重新發(fā)現(xiàn)。西格爾寫下這個公式的那天，距離黎曼在手稿里留下這份遺產(chǎn)已經(jīng)過去了73年。

黎曼-西格爾公式很快發(fā)揮了其巨大的威力，基于這一公式，人們可以很輕松地繼續(xù)推進(jìn)零點(diǎn)的計(jì)算。

哈代（Hardy）的學(xué)生利用西格爾公式把非平凡零點(diǎn)的個數(shù)計(jì)算到了1041個，人工智能之父圖靈推進(jìn)到了1104個。此后的幾十年，在計(jì)算機(jī)的輔助下，人們繼續(xù)了零點(diǎn)計(jì)算的接力賽。

1966年，非平凡零點(diǎn)已經(jīng)驗(yàn)證到了350萬個。20年后，計(jì)算機(jī)已經(jīng)能夠算出Zeta函數(shù)前15億個非平凡零點(diǎn)，這些零點(diǎn)無一例外地都滿足黎曼猜想。2004年，這一記錄達(dá)到了8500億。最新的成果是法國團(tuán)隊(duì)用改進(jìn)的算法，將黎曼Zeta函數(shù)的零點(diǎn)計(jì)算出了前10萬億個，仍然沒有發(fā)現(xiàn)反例。

十萬億個飽含著激情和努力的證據(jù)再次堅(jiān)定了人們對黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函數(shù)畢竟有無窮多個零點(diǎn)，十萬億和無窮大比起來，仍然只是滄海一粟。黎曼猜想的未來在哪里，人們一片茫然，不得而知。與此同時，試圖證明黎曼猜想的人們也傳來了佳音。

零點(diǎn)的臨界線

數(shù)學(xué)家哈代（Hardy，1877年-1947年），他證明了黎曼Zeta函數(shù)的零點(diǎn)的臨界線，這是針對黎曼猜想的一個重大突破

英國數(shù)學(xué)家哈代首先證明Zeta函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個都位于實(shí)部是0.5的直線上。這是一個無比震驚的重大突破。在此之前，人們甚至不知道零點(diǎn)的個數(shù)是否有限，而哈代的結(jié)果則是直接告訴人們，零點(diǎn)的個數(shù)不僅是無窮的，而且還有無窮多個零點(diǎn)都位于這條臨界線上。但是遺憾的是，人們并不知道臨界線外是否存在非平凡零點(diǎn)。

隨后，挪威數(shù)學(xué)家塞爾伯格（Selberg）證明了臨界線上的零點(diǎn)個數(shù)占全部非平凡零點(diǎn)個數(shù)的比例大于零，這意味著臨界線上的零點(diǎn)在全部零點(diǎn)的分布中舉足輕重。

進(jìn)一步，美國數(shù)學(xué)家萊文森（Levinson）引入了獨(dú)特的方法，證明臨界線的零點(diǎn)占全部零點(diǎn)的比例達(dá)到了34.74%。

基于萊文森的技巧，美國數(shù)學(xué)家康瑞（Conrey）在1989年把比例推進(jìn)到了40%，這也是迄今為止得到的最好結(jié)果。

物理世界的奇遇

在理論和計(jì)算的突破猛進(jìn)下，人們開始關(guān)注零點(diǎn)在臨界線上的分布規(guī)律。數(shù)學(xué)家蒙哥馬利（Montgomery）發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)分布的規(guī)律竟然和孿生質(zhì)數(shù)對在數(shù)軸上的分布規(guī)律類似。受此啟發(fā)，他寫下了一個關(guān)聯(lián)函數(shù)來描述這種規(guī)律。令人驚奇的是，該函數(shù)描述的理論結(jié)果和實(shí)際計(jì)算結(jié)果幾乎完美地吻合。

蒙哥馬利隱約覺得這背后隱藏著巨大的秘密，卻又百思不得其解。帶著這一疑問，他在1972年訪問了普林斯頓高等研究院。

在下午茶的階段，他偶遇了物理學(xué)家戴森（Dyson）。由于彼此研究領(lǐng)域的巨大差異，兩人只是禮貌地寒暄了一下。戴森隨口問問蒙哥馬利研究的課題。他將心中的困惑全盤托出，這差點(diǎn)驚掉了戴森的下巴。原來，讓蒙哥馬利云里霧里的關(guān)聯(lián)函數(shù)正是戴森研究二十年的成果——這不是別的，正是一類隨機(jī)厄密矩陣本征值的對關(guān)聯(lián)函數(shù)。這是一個描述多粒子系統(tǒng)在相互作用下，能級分布規(guī)律的函數(shù)。

一邊是純數(shù)學(xué)的黎曼猜想，它關(guān)乎的僅僅是一個Zeta函數(shù)非零點(diǎn)分布這樣最純碎的數(shù)學(xué)性質(zhì)，揭示的是質(zhì)數(shù)在自然數(shù)序列里優(yōu)雅的舞姿和節(jié)奏。另一邊，卻是最現(xiàn)實(shí)的物理世界，它連接著量子體系、無序介質(zhì)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等等經(jīng)典的混沌系統(tǒng)。

理論和現(xiàn)實(shí)在這里交匯，在封閉的世界里獨(dú)自發(fā)展了兩千多年后，作為數(shù)學(xué)最主要的分支——數(shù)論終于將觸角探及真實(shí)的時空。時至今日，人們對此呈現(xiàn)出的種種不可思議的關(guān)聯(lián)仍然感到匪夷所思。

數(shù)學(xué)理論照進(jìn)現(xiàn)實(shí)

進(jìn)入二十一世紀(jì)，越來越多的數(shù)學(xué)理論成果開枝散葉，很多早期被認(rèn)為無用之用的分支，今日早已經(jīng)成為現(xiàn)代科技最強(qiáng)有力的工具，為現(xiàn)代科技的發(fā)展推波助瀾。

曾經(jīng)被人們束之高閣而偏安一隅的數(shù)學(xué)研究正化作人們手中的利器，在探索物質(zhì)世界的途中披荊斬棘，更為人們提供越來越多的思想動力和創(chuàng)造的源泉。

微積分的誕生開啟了牛頓機(jī)械宇宙觀的宏偉時代。人們驚奇地發(fā)現(xiàn)：普天之下，莫非王土，原來物理世界并不神秘，也并無不同，即使隱匿在宇宙深空的天體，其運(yùn)動的規(guī)律都臣服在人類制定的法則之下。自此之后，牛頓力學(xué)開始大放異彩，基于其原理所發(fā)明的蒸汽機(jī)和發(fā)動機(jī)更是直接點(diǎn)燃了第一次工業(yè)革命的烈火。

我們今日所享受的信息時代的文明，諸如電腦芯片和萬維網(wǎng)都深深地受益于量子力學(xué)的發(fā)展。這門徹底改變?nèi)藗兩畹目茖W(xué)，卻源自于很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的饋贈，從線性代數(shù)、矩陣分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)起，到數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私鉀Q五次方程求解問題而發(fā)明的群論等等。

基于廣義相對論，人們發(fā)明了突破地球引力約束的衛(wèi)星。這使得天地通訊成為可能，也為深空探測、陸海導(dǎo)航打下了基礎(chǔ)。人們?nèi)找骖l繁的出行，基于地理位置的GPS導(dǎo)航等等都在為我們的生活提供前所未有的便利。讓愛因斯坦流芳千古的廣義相對論，其數(shù)學(xué)原理正是非歐幾何（特別是黎曼幾何）和張量分析的應(yīng)用。

自80年代末期，在物理理論中一枝獨(dú)秀的弦論，因?yàn)槠浯竽懞颓靶l(wèi)的想法，深受彼時科學(xué)家的青睞。這個有望解決相對論和量子力學(xué)的大一統(tǒng)理論，已經(jīng)逐漸在主流科學(xué)界激起千層巨浪。弦論蓬勃發(fā)展的道路上，我們不難看到微分幾何堅(jiān)定的背影。

2016年，三位物理學(xué)家分享了最高的榮譽(yù)——諾貝爾獎。他們因發(fā)現(xiàn)了物質(zhì)拓?fù)湎嗪驮谕負(fù)湎嘧兝碚撋系耐怀鲐暙I(xiàn)而獲獎。數(shù)學(xué)上艱深抽象的拓?fù)淅碚摰谝淮我舱业搅擞梦渲亍?/p>

物理學(xué)家用這個工具在理論上預(yù)測了一種特殊材質(zhì)的存在，在它身上，人們能觀測到匪夷所思的反常量子霍爾效應(yīng)?；谠撔?yīng)發(fā)現(xiàn)的材料，能夠在常溫下、無需超強(qiáng)磁場的協(xié)助就能自發(fā)在某個方向上呈現(xiàn)電阻為零的特性。這讓計(jì)算機(jī)芯片的發(fā)展有了無限廣袤的空間，從此量子計(jì)算機(jī)和微型超級計(jì)算機(jī)的夢想距離我們又近了一大步。

數(shù)論：待開墾之地

數(shù)學(xué)的各大分支都在默默地為前沿科學(xué)提供精妙絕倫的應(yīng)用。遺憾的是，有一門分支陪伴人類走過漫漫兩千多年真理探尋的艱辛旅途，卻還在其封閉的理論王國里孤芳自賞。作為數(shù)學(xué)家們最悠久和最忠實(shí)的伙伴，不離不棄，它就是數(shù)論。

這個數(shù)學(xué)中最大的分支已經(jīng)積累了無數(shù)深邃的理論成就，當(dāng)今科技能受益于數(shù)論的成果不過就是隱秘在水下的冰山一角。人們都期待著，有朝一日，當(dāng)冰山融化時，數(shù)論的碩果能惠及每一個后世子孫。破冰的希望，很可能就是處于群山之巔的黎曼猜想。

黎曼猜想，只是數(shù)論研究里萬千瑰麗中的一朵。人們也期盼著，從它和現(xiàn)實(shí)世界那讓人千絲萬縷的關(guān)聯(lián)中，能找到打開果園的鑰匙，讓世界從此彌漫著果實(shí)的芬芳。

這臺神器打印、復(fù)印、掃描三合一；移動打印，無線遠(yuǎn)程打印娃的作業(yè)；無線直連，手機(jī)平板也能打印，滿足家庭日常所需，特別方便！

“各位家長，今天的作業(yè)已經(jīng)發(fā)到群里，大家打印出來，并監(jiān)督孩子完成作業(yè)……”

“各位家長，這周末的作業(yè)是制作一張游記小報，需附上孩子游玩的照片，期待孩子們的精彩呈現(xiàn)……”

…………

娃上幼兒園小學(xué)之后，很多媽媽都會收到這類通知吧?，F(xiàn)在老母親簡直就是娃的貼身文秘，忙完家務(wù)娃睡之后，才想起還有彩打任務(wù)，而打印店早就下班了。。。

說起為娃打印資料，做手工作業(yè)，設(shè)計(jì)小報等等的經(jīng)歷，媽媽們幾乎人人都有一肚子話要說，所以后臺一直有人催團(tuán)打印機(jī)，剛需啊，剛需！

團(tuán)隊(duì)各位媽媽們早就想手入一臺了。娃即將上小學(xué)的團(tuán)隊(duì)文媽，挑起尋找一臺性價比高的打印機(jī)的重任，在對市面上所有千元內(nèi)的彩色打印機(jī)進(jìn)行評測之后，文媽種草了惠普4729無線噴墨一體機(jī)。

文媽感嘆，這款打印機(jī)的功能太強(qiáng)大了！

大家最欣賞的是它的無線直連功能真的是太方便了。家里無線網(wǎng)絡(luò)信號差、斷網(wǎng)也沒關(guān)系，可以將手機(jī)直接無線直連到打印機(jī)，只要打印機(jī)能通電就能無線打印。

現(xiàn)在老師們不是在微信群，就是在QQ群里布置作業(yè)，而這款惠普4729還支持從微信和QQ里直接打印文件。太方便了！

在辦公室里，將老師發(fā)郵件布置的作業(yè)轉(zhuǎn)發(fā)到打印機(jī)郵箱（每臺HP打印機(jī)都有自己的郵箱地址，可以改成自己的名字），孩子回家按下打印機(jī)開關(guān)即可自動打印，馬上就可開始做作業(yè)。不用等媽媽回家再打印，更加節(jié)約時間！這對上班的媽媽來說，不要太贊了！

很多小伙伴也很關(guān)心，這款打印機(jī)打印照片效果好嗎？大家看效果圖就知道了，它的打印效果不亞于照相店沖印的照片，沒有偏色，不失真，效果棒棒噠~

同時，它還能實(shí)現(xiàn)在多種介質(zhì)上打印，不僅可以打印在復(fù)印紙、照片紙、卡片紙等普通介質(zhì)上，還可以打印在各種貼紙、透明貼紙、T恤轉(zhuǎn)印紙等多種介質(zhì)上，制作屬于孩子自己的紋身、手機(jī)殼、T恤、美甲等，不要太好玩！

T恤熱轉(zhuǎn)印

這臺打印機(jī)還有掃描和復(fù)印的功能。

掃描試卷

復(fù)印身份證

復(fù)印的效果棒棒噠

分分鐘解決一眾媽媽們的陪娃作業(yè)難題：

可以第一時間打印作業(yè)給娃鞏固完成，拍發(fā)及時，再也不用跑打印店了！

打印好手抄報模板，手抄報作業(yè)再也不怕啦

娃最喜歡掃描書，還能美美地打印出來

看到好玩的游戲，打出來一起玩耍

就算制作學(xué)幣教具，也是妥妥打印噠

打印出自己的照片，娃比媽還興奮

看看這個就知道功能有多強(qiáng)大了！

目前，市面上的打印機(jī)大概分為“前省”和“后省”兩種，前省就是打印機(jī)便宜，但是后期打印成本高；后省就是打印機(jī)貴，但是打印成本低。所以，僅看價格是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

把5個暢銷機(jī)型做了一個對比表格，按5年的使用量核算，看看哪款最省錢。

從表格可以看出，整體使用成本最低的正是惠普4729，相比最高節(jié)省近4000元。

綜合下來，無論是打印成本、打印質(zhì)量，還是安全性能、無線便捷等，惠普4729都對同類產(chǎn)品具有碾壓式的優(yōu)勢！

于是團(tuán)隊(duì)在找供應(yīng)商搶來了一些庫存，正式為大家推薦這款在打印效果、后期耗材方面都是表現(xiàn)絕對領(lǐng)先的——惠普4729無線噴墨一體機(jī)。

打印成本低

很多四五百元的打印機(jī)，仔細(xì)一算后期的打印成本貴的嚇人。而HP DeskJet Ink Advantage Ultra 4729采用單支售價僅為64元的惠普46號黑色墨盒，及惠普46號一體式彩色墨盒搭配。

黑色墨盒可打印1500頁文檔，單張打印成本僅為0.04元；彩色墨盒標(biāo)稱可打印750頁文檔，單張打印成本約為0.08元，極為實(shí)惠。

手機(jī)平板也能打印

惠普的4729擁有無線直連功能，即使沒有無線網(wǎng)絡(luò)，你可以將手機(jī)和PAD直接連接到打印機(jī)來打印，只要打印機(jī)能通電就能無線打印。這樣有3G信號和電源的地方，都可以邊查邊打了。

另外，隨便打開一個文檔或者圖片，點(diǎn)擊右上角的按鈕，通過菜單上的打印按鈕就可以打印。

孩子上小學(xué)后，很多家庭作業(yè)在QQ、微信群里布置，有了無線打印機(jī)就不用費(fèi)勁地再拷到電腦上打印了。

移動打印，無線遠(yuǎn)程打印娃的作業(yè)

除了可以無線直連以外，惠普還有ePrint和云打印、移動打印的功能，這一點(diǎn)不要太贊。

制造商為打印機(jī)設(shè)置了一個電子郵件地址，家里的打印機(jī)只要在啟動狀態(tài)下，媽媽在辦公室可以直接把打印作業(yè)（如Word）文檔給打印機(jī)發(fā)郵件，打印機(jī)會直接打印出來。

這個功能非常實(shí)用，就是未來老師布置作業(yè)，不用急著下班回家給孩子打印，在辦公室也能搞定！

打印、復(fù)印、掃描三合一，滿足家庭日常所需

大家可以下載一個惠普HP Smart app，通過app就可以實(shí)現(xiàn)復(fù)印、打印和掃描，直接掃描到手機(jī)和電子郵件中，還能檢測耗材的余量，很實(shí)用。

比如要打印手機(jī)里面的照片，直接點(diǎn)擊“打印照片”，就可以直接連接到我的手機(jī)相冊，選中想打印的照片之后馬上就能打印出來了。

家庭打印中，我們還會遇到戶口本、身份證、房產(chǎn)證復(fù)印，孩子畫畫作品掃描等零碎的需求，所以一臺集成打印、復(fù)印、掃描的機(jī)器是必須的。

掃描、復(fù)印別看平常用得不多，著急要用時很可能附近就沒有打印店。

照片打印效果超過預(yù)期，還能實(shí)現(xiàn)個性化打印

這款打印機(jī)打印的照片不偏色，不失真，連細(xì)節(jié)都看得很清楚，效果很贊。

就連打在普通的A4紙上也是相當(dāng)令人驚艷的。突然好想老師多布置點(diǎn)小報作業(yè)，媽媽要摘掉手殘黨的帽子。

而且都是無邊距的，可以滿足海報等全幅打印的特殊需求。

做一個這樣的照片墻也是相當(dāng)贊：

記錄下孩子的每一個珍貴的瞬間，是每個媽媽最喜歡的事情。

同時，4729還能實(shí)現(xiàn)在多種介質(zhì)上打印，不僅可以打印在復(fù)印紙、照片紙、卡片紙等普通介質(zhì)上，還可以打印在各種貼紙、透明貼紙、T恤轉(zhuǎn)印紙等多種介質(zhì)上，制作屬于孩子自己的紋身、手機(jī)殼、T恤、美甲等！

此外，這款機(jī)型也是超環(huán)保的，節(jié)能等級一級，你需要打印的時候它會自動打開，不需要的時候會自動關(guān)閉，有效避免了浪費(fèi)，節(jié)能減排。

細(xì)節(jié)彰顯品質(zhì)

這臺打印機(jī)的外觀采用流線型的設(shè)計(jì)，邊角圓潤，萬一小寶寶不小心撞到了，也不會有太大的傷害，適合家居環(huán)境。

黑色的機(jī)身，配以藍(lán)色裝飾，穩(wěn)重又顯得很有活力。

同時，它采用后部進(jìn)紙托盤的設(shè)計(jì)，整體設(shè)計(jì)科學(xué)又嚴(yán)謹(jǐn)，還節(jié)省了空間。

在設(shè)計(jì)的時候，充分考慮到家庭用戶的實(shí)際使用習(xí)慣，打印量遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于掃描，所以機(jī)身頂部掃描單元采用了更為廉價的掃描蓋板設(shè)計(jì)，將產(chǎn)品的功能和生產(chǎn)成本進(jìn)行了有效的取舍。

對于家用打印產(chǎn)品經(jīng)常有年幼無知的孩童誤觸耗材的情況發(fā)生，4729也將耗材單元設(shè)計(jì)成兩道艙門，有效避免了孩童無知將手伸入打印機(jī)的內(nèi)部造成危險。

在操控按鍵上，采用了更易清潔的按鍵式觸控設(shè)計(jì)，可隨時進(jìn)行擦拭。

產(chǎn)品詳情

這臺打印機(jī)包括以下部分：主機(jī)、使用說明、隨機(jī)光盤、安裝說明、USB電源線、三包憑證、隨機(jī)墨盒、保修卡。

大家拆箱后也可以仔細(xì)檢查一下，避免不必要的麻煩，也可以拍個視頻記錄一下。

關(guān)于墨盒及墨盒保養(yǎng)問題

購買機(jī)器里即含原裝黑/彩墨盒一套，原裝墨盒為46號墨盒，黑色/彩色兩個墨盒均為64元，黑色能打1500張，彩色能打750張。

注意事項(xiàng)：長時間不用墨水不會干，只不過在噴嘴處連接處會有堵頭。所以，盡量一周開機(jī)一次 （不一定打印，開機(jī)會自動清洗墨盒噴嘴）；做不到一周開機(jī)一次，那就一個月開機(jī)一次；一個月以上不用，建議取下墨盒，用膠帶貼上噴嘴處，放在塑料袋里保存。

如何選擇相紙

如果是平時隨便打印，建議就買某東上20多元100張那種即可；如果要用來做相冊長期保存，就要選好一些的RC高光防水相紙了，一般這類相紙會在0.5元到1元甚至2元一張。

關(guān)于打印機(jī)支持的連接模式、紙張大小

HP4729款打印機(jī)支持無線WIFI+WIFI直連+USB三種模式，打印復(fù)印掃描三合一；可以支持A4、B5、A6尺寸的復(fù)印紙、相紙、卡紙、信封紙等。

打印機(jī)的安裝

如果覺得自己動手能力差的小伙伴們，千萬別擔(dān)心。這款的驅(qū)動安裝、使用，很容易，幫大家找到了一個超級詳細(xì)的安裝和使用視頻。

溫馨提示：打印機(jī)是配套有驅(qū)動光盤的，如果不想用光盤的話，去惠普官網(wǎng)上下載對應(yīng)型號的驅(qū)動也是沒有問題的。

關(guān)于價格和贈品

這么全能，這么簡便的惠普無線噴墨一體機(jī)一定很貴吧？才怪！

咱們的團(tuán)購價只要869元包郵，還送價值75元的惠普RC防水高光照片紙（3包共75張）

而目前京東官方裸機(jī)價格為919元，相當(dāng)于節(jié)約了125元。

這可不是那種20多元100張的不防水、容易褪色的普通高光相紙。咱們贈送的是惠普原裝RC防水相紙，相紙對應(yīng)的電商款是這個。

我們特意做了1小時浸泡試驗(yàn)，左側(cè)普通高光相紙已經(jīng)開始暈色，右側(cè)的RC防水高光相紙沒有任何變化。

溫馨提示

1、質(zhì)保政策：憑惠普機(jī)器唯一識別碼，享受一年質(zhì)保，無需發(fā)票。

2、售后政策：任何售后問題可以直接撥打惠普官方熱線400-8856616。機(jī)器可以郵寄或送到全國的維修點(diǎn)、接機(jī)點(diǎn)，惠普的線下維修點(diǎn)特別多。

3、退貨換貨：因打印機(jī)的產(chǎn)品單值較高，所以如若要退換貨，需注意以下幾點(diǎn)哦：

1) 退換的打印機(jī)需不影響二次銷售；

2) 若退回的商品出現(xiàn)如下情況之一，則視為影響二次銷售：

a．墨盒已經(jīng)安裝，或打印機(jī)已經(jīng)通電開啟使用的；

b．產(chǎn)品、內(nèi)外包裝、零配件出現(xiàn)丟失、損壞、污染、磨損的。

4、發(fā)票問題：團(tuán)購產(chǎn)品不開發(fā)票。保修無需提供發(fā)票，惠普機(jī)器外殼上唯一識別碼即為保修憑據(jù)，望理解。