什么是黎曼猜想
 這一周以來，數(shù)學(xué)圈傳出來一個(gè)大新聞，使得無數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者們都興奮的不行，我也是其中一個(gè)。 事情大致是這樣的。9 月 20 日當(dāng)?shù)貢r(shí)間 12:04，北京時(shí)間晚上 6:04 分，德國海德堡論壇的官方推特發(fā)了一個(gè)推，宣稱有一位英國數(shù)學(xué)家證明了數(shù)學(xué)界皇冠上的明珠——黎曼猜想，并且要在 9 月24 日這天公開演講，宣布他的證明方法。這條推特以光速瞬間傳遍了全世界。 有些人可能奇怪了，我們中國人好像都知道，數(shù)學(xué)皇冠上的明珠不是哥德巴赫猜想嗎？唉，兄弟，醒醒吧，那是傳說。哥德巴赫猜想在數(shù)學(xué)界的地位其實(shí)并沒有那么高，既不是希爾伯特 23 問題，也不是千禧年 7 問題，出了中國，知道哥德巴赫猜想的人就不多了。 真正的數(shù)學(xué)皇冠上的明珠是黎曼猜想。它是當(dāng)之無愧的，因?yàn)樗窍柌?23 問題和千禧 7 問題中唯一重合的問題，而且在千禧 7 問題中排名第一，克雷研究所為它開出的懸賞金額是 100 萬美金。但數(shù)學(xué)圈也有這樣一個(gè)梗： 問：這世界上最難掙的 100 萬美金是什么？ 答：證黎曼猜想。 我那天早上一爬起來，就被這條新聞刷屏了，實(shí)在是太太太火，所有人都在翹首以盼 4 天后的海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲葜v。今天是 9 月 26 日，演講會(huì)開過了，證明論文也公布了，于是，就有很多聽眾來問我，黎曼猜想到底咋回事??？證明成立嗎？100萬美金能拿到嗎？密碼學(xué)是不是完蛋了？等等。那今天的節(jié)目我就來做一期黎曼猜想的專題。 圖：黎曼 首先要說明一點(diǎn)，本期節(jié)目的稿子得到了貴人相助，他就是——“大老李聊數(shù)學(xué)”的大老李，他微信公號(hào)和電臺(tái)節(jié)目都叫“大老李聊數(shù)學(xué)”。我們?nèi)ツ甏汗?jié)期間在上海一起吃過飯，雖然叫“大老李”，其實(shí)他一點(diǎn)也不老，目前工作生活在海外。喜歡數(shù)學(xué)的朋友，強(qiáng)烈推薦去看他的公號(hào)或者收聽節(jié)目。另外，限于我們的水平有限，時(shí)間也緊張，如果內(nèi)容有什么錯(cuò)誤的話，也請(qǐng)大家批評(píng)指正，我們有錯(cuò)必改。 咱們先來說說這位弄出大新聞的英國數(shù)學(xué)家，他就是麥克爾·阿蒂亞爵士，菲爾茲獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)雙料的得主，可以說，一個(gè)數(shù)學(xué)家能拿到的最高榮譽(yù)他全都拿過了，絕對(duì)不是民間愛好者，而是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)的學(xué)院派。更加令人震驚的是，他今年 89 歲高齡，按中國人的算法，今年過 90 大壽啊。 圖：阿蒂亞爵士 9 月 24 日當(dāng)?shù)貢r(shí)間的上午，老先生顫顫巍巍地走上了位于德國海德堡市的一個(gè)學(xué)術(shù)論壇，做了一次 45 分鐘的演講。在這次演講中，阿蒂亞爵士宣稱他證明了一個(gè)困擾人類一個(gè)半世紀(jì)的難題：黎曼猜想，并且是一個(gè)“簡單的證明”。這話說的那真叫理性、客觀、公正，一點(diǎn)不謙虛、也不驕傲。因?yàn)樗淖C明真的很簡單，整個(gè)證明就 5 頁紙，從他所做的演講中所使用的PPT來看，真正關(guān)于黎曼假設(shè)證明的部分就一頁！ 那么，他到底證明了嗎？很多人可能最關(guān)心的是那 100 萬美金到手了嗎？唉，數(shù)學(xué)證明這事吧，還真的沒法給你來個(gè)一句話回答，有點(diǎn)復(fù)雜，你得聽我從頭講起，完了你就能明白我為啥無法一句話回答你。估計(jì)今天這期節(jié)目會(huì)讓部分聽眾不明覺厲，不用害怕，不明覺厲的感覺其實(shí)也挺爽的。我這段時(shí)間看的很多公號(hào)文章都是這個(gè)感覺，但我還是津津有味地讀完了。 什么是黎曼猜想 黎曼猜想的歷史，其實(shí)就是人類研究質(zhì)數(shù)的歷史。可以說，質(zhì)數(shù)從其概念誕生的第一天起，就一直困擾著人類（大老李的稿子上寫的是人類兩個(gè)字，說實(shí)話，頂多也就困擾數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者吧，99.99% 的普通人誰會(huì)為了質(zhì)數(shù)困擾啊，你們說對(duì)吧？）不過，質(zhì)數(shù)的性質(zhì)確實(shí)令古往今來無數(shù)人著迷。 有關(guān)質(zhì)數(shù)的未解之謎非常多，數(shù)學(xué)家在不同階段只能著重去解決有關(guān)質(zhì)數(shù)最緊要的問題。在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家重點(diǎn)考察的一個(gè)問題是：小于自然數(shù) N 的質(zhì)數(shù)數(shù)量是多少？比如說，1 萬以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有多少個(gè)？我們可以數(shù)一下，有 1229 個(gè)，10 萬以內(nèi)是 9592 個(gè)，但是 1 億以內(nèi)呢？1 億億億以內(nèi)呢？能不能找到一個(gè)規(guī)律呢？ 據(jù)說17歲的高斯，僅憑統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和畫曲線擬合就猜想：小于自然數(shù) X 的質(zhì)數(shù)大約有 X/lnX 個(gè)。有些人可能忘記這個(gè) ln 是什么鬼了。就是以 e 為底數(shù)的對(duì)數(shù)，這是一個(gè)無理數(shù)，就好像圓周率 π 約等于 3.1415926535897932384626433 巴拉巴拉，這個(gè) e 約等于2.718281828459 巴拉巴拉。lnX 的意思是，e 的多少次方等于 X，比如 ln10000 的意思就是 2.718 的多少次方等于 10000 呢？答案約等于 9.21，我們把 10000 代入高斯猜想，約等于 1086，和實(shí)際的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù) 1229 比較接近，如果把 100000 代入高斯猜想，結(jié)果是 8686，和實(shí)際的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù) 9592 也比較接近。 經(jīng)過后來很多數(shù)學(xué)家的研究后，高斯的這個(gè)估計(jì)是正確的，但大家也看出來了，不夠精確。后來高斯和勒讓德不約而同的還提出了一個(gè)新的估計(jì)式， 這個(gè)估計(jì)式被稱作質(zhì)數(shù)猜想。這個(gè)猜想到 1896 年被法國數(shù)學(xué)家雅克·阿達(dá)馬和比利時(shí)數(shù)學(xué)家德拉瓦萊普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）先后獨(dú)立給出證明。質(zhì)數(shù)定理未被證明之前是數(shù)學(xué)中最重要的待解決問題，沒有“之一”。 而質(zhì)數(shù)定理被證明后，黎曼猜想就變成數(shù)學(xué)中最重要的問題，沒有“之一”。黎曼猜想的出現(xiàn)時(shí)間恰好是質(zhì)數(shù)猜想提出之后，未證明之前，同樣也是有關(guān)質(zhì)數(shù)的分布問題。 黎曼 1826 年出生于漢諾威王國，20 歲時(shí)，按父親意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)。但是，出于愛好，他去聽了高斯在哥廷根大學(xué)的一些數(shù)學(xué)課程。高斯慧眼識(shí)才，覺得這個(gè)年輕人的數(shù)學(xué)天賦不簡單，就建議他不要學(xué)神學(xué)了，改學(xué)數(shù)學(xué)。經(jīng)過父親同意后，黎曼轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)學(xué)習(xí)了兩年數(shù)學(xué)，當(dāng)時(shí)在柏林大學(xué)那可是名師云集啊。兩年后，他返回哥廷根大學(xué)繼續(xù)深造。并在 1851 年，25 歲時(shí)獲得了博士學(xué)位，他的導(dǎo)師不是別人，就是高斯。 圖：高斯 我給你講兩個(gè)傳說中的小故事來讓大家體會(huì)一下這位數(shù)學(xué)大牛有多牛。第一件事情是 1854 年，黎曼為取得哥廷根大學(xué)講師職位所作的入職演講。當(dāng)時(shí)的傳統(tǒng)是，有新人入職，必須做一次體現(xiàn)自己學(xué)術(shù)水平的演講，這有點(diǎn)像“投名狀”。黎曼準(zhǔn)備了三個(gè)題目，其中一個(gè)題目是關(guān)于幾何基礎(chǔ)的，這個(gè)題目黎曼自己不是很喜歡，準(zhǔn)備也不多。但是高斯偏偏讓他講這個(gè)題目。就是這個(gè)他“不喜歡不擅長”的題目，后來開創(chuàng)了一門新的幾何學(xué)，大名鼎鼎的“黎曼幾何”，這可是后來愛因斯坦廣義相對(duì)論所使用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一啊。 第二件事情是在 1859 年，他當(dāng)時(shí) 33 歲。作為當(dāng)選柏林科學(xué)院通信院士的回報(bào)，他發(fā)表了一篇論文，題目是“論小于給定數(shù)值的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)”。這個(gè)標(biāo)題聽上去就是質(zhì)數(shù)猜想，但實(shí)際其論文的意義要遠(yuǎn)超質(zhì)數(shù)猜想的結(jié)論。 就是在這篇論文中，他提出了一個(gè)函數(shù)，著名的“黎曼 zeta 函數(shù)”和三個(gè)有關(guān)這個(gè)函數(shù)的命題。為了讓你能夠初窺黎曼猜想的氣質(zhì)，我要給你介紹一下這個(gè) zeta 函數(shù)，咱們不用追求完全搞懂，能夠感受一下這個(gè)顆數(shù)學(xué)王冠上的明珠的氣質(zhì)就好了。Zeta 函數(shù)的歷史可以追溯到約 300 年前的歐拉時(shí)代。 我把它轉(zhuǎn)換成我們中學(xué)熟悉的代數(shù)字母，就是這樣的： y= 1/1^x +1/2^x +1/3^x +1/4^x +? 這個(gè) x 如果取 1，那么就是 1+1/2+1/3 + …一直加下去，如果x 取 -1,那就剛好是所有自然數(shù)的集合 1+2+3+4+…。如果你還記得我們高中里學(xué)過的最基本的級(jí)數(shù)求和的話，應(yīng)該還記得，這兩個(gè)級(jí)數(shù)的和都是發(fā)散的，也就是說，結(jié)果是無窮大。但如果這里的 x 取 2，那就不一樣了，實(shí)際上就是全體自然數(shù)平方的倒數(shù)和，這個(gè)級(jí)數(shù)的和是收斂的，收斂的意思就是說會(huì)等于一個(gè)具體的數(shù)字，等于 π 的平方除以6。 實(shí)際上，在這個(gè)函數(shù)中，只要 x 的取值是大于 1 ，那么，就一定是收斂的了。大家要知道，我們?nèi)绻谧鴺?biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，那么這個(gè)函數(shù)不能是發(fā)散的，你想啊，如果 y 的值是無窮大，那這個(gè)圖像就沒法畫了嘛。所以，這個(gè) zeta 函數(shù)想要畫出有意義的函數(shù)圖像，x 的取值就必須是大于 1，我們就把這個(gè)大于 1 稱作函數(shù)的定義域。 唉，說到這里，可能有些正在讀高中的聽眾會(huì)嫌我啰嗦。同學(xué)，跟你說個(gè)恐怖的真相，一般來說，高中階段就是你理科知識(shí)的巔峰階段了，除非你走上科研之路。從高考過后，你的理科知識(shí)就會(huì)一路狂跌了，等你到了我這個(gè)年紀(jì)，就知道我剛才說的那些像是回到高中課堂的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)大多數(shù)聽眾來說都是必須的。 剛才講的是 zeta 函數(shù)，但不是黎曼 zeta 函數(shù)，黎曼 zeta 函數(shù)是對(duì)歐拉 zeta 函數(shù)的一種擴(kuò)展。這個(gè)擴(kuò)展過程，術(shù)語稱為“解析延拓”，其要點(diǎn)之一就是拓展后的函數(shù)要保持原先定義域上的函數(shù)值，這樣才叫一種“拓展”。黎曼把 zeta 函數(shù)的定義域擴(kuò)展到了整個(gè)復(fù)數(shù)平面，而且僅在函數(shù)變量取 1 的時(shí)候是發(fā)散的。 （那邊有人說了：大兄弟，復(fù)數(shù)平面沒聽懂，再解釋一下吧。我給你點(diǎn)個(gè)贊，這位聽眾是個(gè)率真的人，沒有假裝聽懂了。） 所有的數(shù)可以分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩類，凡是平方之后是正數(shù)的數(shù)都叫實(shí)數(shù)，平方之后為負(fù)數(shù)的數(shù)就叫虛數(shù)。在數(shù)學(xué)中我們用小寫的字母 i 來表示根號(hào) -1，所以，任意一個(gè)復(fù)數(shù)就可以寫成 a+bi 這樣的形式，a 就被叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b 就被叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部。 那什么又是復(fù)數(shù)平面呢？大家知道，所有的實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，也就是說，如果把所有的實(shí)數(shù)連起來，就是一根連續(xù)的直線，現(xiàn)在我們把所有的虛數(shù)也連起來，又可以得到一根直線。那么我們就可以像畫笛卡爾坐標(biāo)系那樣，橫著畫一根直線表示實(shí)數(shù)，豎著再畫一根與之垂直的直線表示虛數(shù)，那么任何一個(gè)復(fù)數(shù)就是這個(gè)坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)了，實(shí)部的投影在實(shí)數(shù)軸上，虛部的投影在虛數(shù)軸上。這個(gè)就叫做復(fù)數(shù)平面啦。 黎曼 zeta 函數(shù)就是通過解析延拓的方法，把定義域擴(kuò)展到了整個(gè)復(fù)數(shù)平面上。這下能感受到一點(diǎn)黎曼 zeta 函數(shù)的氣質(zhì)了吧。 這里插播一下，你可能聽到過一個(gè)有關(guān)數(shù)學(xué)的高級(jí)梗，說黎曼證明了“全體自然數(shù)之和為 -1/12”。這個(gè)梗就是從黎曼 zeta 函數(shù)來的，因?yàn)?，如果?-1 代入，計(jì)算所得結(jié)果為負(fù)十二分之一（-1/12）。然后有人就把 -1代入到原先拓展前的級(jí)數(shù)表達(dá)式中，說，你看，全體自然的和不就是 (-1/12) 嗎，這個(gè)其實(shí)是欺負(fù)業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者不太深入了解解析延拓的梗，不過很多愛好者似乎很樂意被欺負(fù)，喜歡津津樂道的傳播這個(gè)梗。你看，我今天又傳播了一次不是。 黎曼當(dāng)然不會(huì)去搞這些小聰明，他專注于考察什么樣的取值會(huì)使得函數(shù)的值為0，他把這個(gè)稱為 zeta 函數(shù)的“零點(diǎn)”。考察下來，他發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)有一些很明顯的零點(diǎn)，就是負(fù)偶數(shù)，如果你把負(fù)偶數(shù)代入函數(shù)，就等于零。這個(gè)結(jié)果是顯而易見的，所以，黎曼把這些稱為平凡零點(diǎn)。所以我們還可以開玩笑說：“全體自然數(shù)的平方和為 0”。 但黎曼還發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)有些不太明顯的零點(diǎn)，他把這些零點(diǎn)叫做非平凡零點(diǎn)。對(duì)此，他提出了三個(gè)命題：
本期節(jié)目講到一半了，黎曼猜想是什么終于出來了！ 不知道你聽懂了沒有，我再給你總結(jié)一下。黎曼猜想就是說： 黎曼在歐拉的一個(gè)叫 zeta 函數(shù)的基礎(chǔ)上，拓展出了黎曼 zeta 函數(shù)，他發(fā)現(xiàn)，要讓這個(gè)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果為零，變量 x 的取值要么是全體平凡的負(fù)偶數(shù)，要么就是無窮多個(gè)不平凡的復(fù)數(shù)，如果把這些不平凡的復(fù)數(shù)連起來，它們就會(huì)全部落在復(fù)平面上的一根垂直于實(shí)數(shù)軸 1/2 這個(gè)點(diǎn)的直線上。嗯，簡單來說，黎曼猜想就是一根超凡脫俗的金色豎線。 怎么樣，搞明白黎曼猜想了嗎？我想，即便沒弄明白，至少能感受到它的氣質(zhì)了吧。哇，好高冷的氣質(zhì)啊。這也就是為什么宣稱證明哥德巴赫猜想的民間數(shù)學(xué)愛好者有許許多多，但是宣稱證明黎曼猜想的民間數(shù)學(xué)愛好者我沒見過一個(gè)，因?yàn)槿思业臍赓|(zhì)太超凡，一般的數(shù)學(xué)愛好者想弄明白這個(gè)猜想到底是咋回事都很困難，更不要說去證明了。
 黎曼猜想難在哪兒 黎曼在提出黎曼猜想時(shí)是十分謹(jǐn)慎的，他的用詞是“很可能所有非平凡零點(diǎn)都全部位于實(shí)部等于1/2的直線上”。但不管怎樣，黎曼的這篇論文體現(xiàn)了極為高深的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和造詣。黎曼的數(shù)學(xué)水平簡直深不可測，因?yàn)樵谒奈恼吕锝?jīng)常會(huì)提到類似“顯而易見”、“不證自明”的字樣，但其中有很多對(duì)于其他人來說，并不是“顯而易見、不證自明”的，可這些內(nèi)容后來大多數(shù)都被證明是正確的了。你說人和人的差距怎么就那么大。 不過天妒英才啊，黎曼在 1862 年，染上了肺結(jié)核，這在當(dāng)時(shí)沒有好的治療方法。1866 年，他在去意大利療養(yǎng)途中去世，年僅 40歲。但是，還有比黎曼早逝更悲劇的事情，他留下的手稿，大部分都被他的無知管家燒掉了！唉，雇一個(gè)有文化的管家多么重要啊。而留下的一小部分被他老婆保留了下來，并贈(zèng)送給了黎曼生前的好友，另一位德國數(shù)學(xué)家戴德金。你說這是幸運(yùn)吧，可黎曼老婆后來覺得黎曼的手稿里有很多私人和家庭方面的隱私信息，她又反悔了，向戴德金要回了一部分手稿。 在這些被要回來的手稿中，有一本小冊(cè)子被認(rèn)為十分重要，那本小冊(cè)子是 1860 年左右，黎曼在剛提出黎曼猜想不久后所使用的。很多人認(rèn)為那本小冊(cè)子里有黎曼對(duì) zeta 函數(shù)零點(diǎn)問題的重要思考和計(jì)算。但這本如同九陽真經(jīng)一般的小冊(cè)子被黎曼老婆索回后就不知所蹤了，唉，取一個(gè)有文化的老婆也很重要啊。有人說那本冊(cè)子后來被德國數(shù)學(xué)史學(xué)家哈根收藏 ，但哈根 1946 年死于二戰(zhàn)后十分混亂的德國，他的遺物從未被發(fā)現(xiàn)過。 但即使在黎曼留下的不多的手稿中，也有一個(gè)驚人的大發(fā)現(xiàn)：黎曼提出黎曼猜想時(shí)，不像有些人認(rèn)為是“憑直覺”所得，而是扎扎實(shí)實(shí)、認(rèn)認(rèn)真真的計(jì)算過黎曼 zeta 函數(shù)的大約前 10 個(gè)零點(diǎn)，也有人認(rèn)為達(dá)到 20 個(gè)，這一發(fā)現(xiàn)是在 1932 年。要知道黎曼去世后，其他人再次“找出” zeta 函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算方法花了四十四年，而且人們發(fā)現(xiàn)黎曼用的方法，比當(dāng)時(shí) 1932 年已知的任何零點(diǎn)計(jì)算方法都要先進(jìn)，也就是黎曼領(lǐng)先了其他人約 70 年時(shí)間之多！讓我再次膜拜一下這位大牛，我在做這期節(jié)目之前，我一直認(rèn)為最牛的數(shù)學(xué)家是歐拉、高斯這些神人，現(xiàn)在才知道，真正的神人是黎曼啊。 黎曼 zeta 函數(shù)的 0 點(diǎn)計(jì)算不但需要高超數(shù)學(xué)技巧，還需要很多的耐心，那是一個(gè)沒有計(jì)算機(jī)的年代。但黎曼為什么還要那么如此費(fèi)心的去手動(dòng)計(jì)算 zeta 函數(shù)的零點(diǎn)呢，就是因?yàn)樗靼桌杪孪氲闹匾浴?/strong> 這個(gè)重要性在于黎曼猜想與質(zhì)數(shù)分布有極大的關(guān)聯(lián)性。前面說過“質(zhì)數(shù)定理”給出了小于自然數(shù)N的質(zhì)數(shù)數(shù)量。但如果證明黎曼猜想，我們就不但能知道質(zhì)數(shù)的數(shù)量，而且能知道所謂質(zhì)數(shù)的“分布情況”。就像概率學(xué)當(dāng)中，我們知道隨機(jī)變量可以是均勻分布，正態(tài)分布等等。那同樣也可以問“質(zhì)數(shù)的分布”是啥？黎曼猜想就能回答這個(gè)問題。 另一方面，從黎曼猜想誕生至今 150 多年以來，人們發(fā)現(xiàn)有上千個(gè)命題可以從黎曼猜想中推出，以至于人們都經(jīng)常把黎曼猜想當(dāng)做真命題使用，所以它也被稱為“黎曼假設(shè)”，像是數(shù)學(xué)里一只“會(huì)下金蛋的雞”。而可想而知，如果黎曼假設(shè)被證偽，那將是人類對(duì)質(zhì)數(shù)認(rèn)知的一次重大打擊，那上千個(gè)命題中有一大半會(huì)掛掉，也就是那些以黎曼假設(shè)為必要條件的命題。 到目前為止，人類對(duì)黎曼猜想證明的最佳結(jié)果是1989年，美國數(shù)學(xué)家康瑞（Conrey)得出的：zeta 函數(shù)至少有約 40% 的零點(diǎn)在臨界線上。這與最終結(jié)論需要的 100% 還是有非常大的差距。說實(shí)話，在數(shù)學(xué)中，哪怕證明了 99%，但距離 100% 還有無窮遠(yuǎn)。
圖：康瑞 另外，人們也用計(jì)算機(jī)計(jì)算了黎曼 zeta 函數(shù)的上萬億個(gè)零點(diǎn)位置，無一發(fā)生例外，很明顯繼續(xù)計(jì)算是毫無意義了。而歷史告訴我們，有關(guān)質(zhì)數(shù)的命題，再多的實(shí)證也是白搭，數(shù)學(xué)家曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)過一個(gè)關(guān)于質(zhì)數(shù)的命題，它的反例會(huì)發(fā)生在 e 的 700 多次方這種恐怖的大數(shù)字之后。 另外，一個(gè)大家熟知的事實(shí)是，2000 年，美國克雷數(shù)學(xué)研究所提出了“千禧年7大數(shù)學(xué)難題”，每個(gè)問題懸賞一百萬美元，黎曼猜想當(dāng)然位列其中，而且是排在第一個(gè)。這七個(gè)問題，都是當(dāng)今數(shù)學(xué)中最為困難也是最有價(jià)值和意義的 7 個(gè)問題，到現(xiàn)在僅有龐加萊猜想被解決。 關(guān)于證明黎曼猜想的困難程度，我還可以舉兩個(gè)例子證明： 一個(gè)是關(guān)于“高斯類數(shù)”的命題。這個(gè)命題內(nèi)容不重要，關(guān)鍵是這個(gè)命題的證明模式是這樣的：如果黎曼假設(shè)成立，則這個(gè)命題成立；如果黎曼假設(shè)不成立；則這個(gè)命題也成立；所以這命題成立！但是黎曼假設(shè)是否成立，我們還是不知道。 這個(gè)命題的證明模式不但可能是數(shù)學(xué)史上獨(dú)一無二的，更重要的是，它也告訴我們：黎曼假設(shè)很難，因?yàn)樗幱谡_與不正確的邊緣。如果黎曼假設(shè)偏于正確或者偏于錯(cuò)誤更多一點(diǎn)，則以上推導(dǎo)模式必有一種會(huì)失敗。而以上推導(dǎo)模式能成立，則必然說明，黎曼假設(shè)處于正確和錯(cuò)誤的邊界上，即：比黎曼假設(shè)強(qiáng)一點(diǎn)的命題必錯(cuò)誤，比黎曼假設(shè)弱一點(diǎn)的命題，必成立。 另外一個(gè)例子是有關(guān)“德布魯因-紐曼常數(shù)”。這個(gè)常數(shù)與黎曼假設(shè)有這樣的關(guān)系：
那現(xiàn)在對(duì)這個(gè)常數(shù)的研究結(jié)果是是什么？目前的最好成果是：這個(gè)常數(shù)不超過1/2。而著名澳籍華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒和另一位研究者在今年1月合作發(fā)表的論文中，有待評(píng)議地證明了德布魯因-紐曼常數(shù)大于等于 0。所以，目前我們的最好成果就是，這個(gè)常數(shù)介于 0 和 1/2 之間，準(zhǔn)確地說就是大于等于 0，且小于 1/2，那這樣一來，黎曼猜想如果是真命題，就必須要證明這個(gè)常數(shù)不多不少，剛好等于 0?，F(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)常數(shù)處于如此狹小地接近 0，但是偏向否命題的區(qū)間內(nèi)，則再次說明黎曼猜想是恰好：“位于對(duì)與錯(cuò)的邊緣，讓人不知如何挑選”。 還有一個(gè)比較搞笑的例子是：曾經(jīng)有一位數(shù)學(xué)家接受采訪時(shí)說，他研究黎曼猜想的方式是：第一周，他會(huì)嘗試證明黎曼猜想；第二周，他會(huì)嘗試證偽黎曼猜想；第三周再回到證明猜想，如此循環(huán)往復(fù)。因?yàn)樗伦约赫惧e(cuò)隊(duì)伍，跑錯(cuò)方向，而把自己一生給浪費(fèi)了。 說到這里，我又想到了著名的哥德爾定理。數(shù)學(xué)家哥德爾證明了一個(gè)讓許多數(shù)學(xué)家三觀崩潰的定理，簡單來說，就是在數(shù)學(xué)中，會(huì)存在一些用數(shù)學(xué)本身既不能證明是真，也不能證明是假的命題。換句話說啊，一個(gè)數(shù)學(xué)命題，如果你假設(shè)它是假的，也就是用反證法，你不能用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論。但是，如果你假設(shè)它是真的，也不能用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論。數(shù)學(xué)就是這么神奇。老天保佑黎曼猜想不是這種真假莫辨的命題。 好了，關(guān)于黎曼猜想的歷史我就說到這里。 關(guān)于這次新聞 那我們?cè)賮砜纯催@次阿蒂亞爵士的新聞事件。 話說阿蒂亞爵士新聞剛出來的時(shí)候，我第一反應(yīng)就是，這可是爆炸性新聞??！第一時(shí)間就嘗試搜索英文相關(guān)報(bào)道。但是第一天的時(shí)候居然沒有任何報(bào)道，這不是一個(gè)好兆頭。第二天總算有些報(bào)道了，其中《新科學(xué)家》雜志說：他們?cè)儐柫艘恍?shù)學(xué)家的意見，但是所有人都拒絕了評(píng)論。 但是網(wǎng)上的評(píng)論大多是持悲觀態(tài)度的，給出的理由通常是這樣四個(gè)：
而對(duì)阿蒂亞爵士有利的情況只有一個(gè)，就是他提到了他的證明用到了“馮·諾依曼，狄拉克等人的成果。這個(gè)表述比較具體，提供了一些他證明的背景。 后來的情況是，阿蒂亞的證明論文提前在預(yù)印本網(wǎng)站上被放出來了，演講那一天，我們又看到了他的 PPT。論文實(shí)在是短的很，而且用到了物理中的一個(gè)所謂“精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)”和用他老師命名的“Todd 函數(shù)”。但是基本業(yè)內(nèi)沒有人理解他的這個(gè) Todd 函數(shù)，也幾乎無人看好他用的物理領(lǐng)域的結(jié)論去證明數(shù)學(xué)猜想。 阿蒂亞爵士在演講的時(shí)候說了一句很有趣的話，他說：“如果你默默無名，而你證明了黎曼猜想，你就出名了；而你已經(jīng)出名了，你又證明了黎曼猜想，那你會(huì)變得聲名狼藉”?？磥戆⒌賮喚羰繉?duì)他此次的這個(gè)舉動(dòng)的后果是有一定估計(jì)的，所以我也只能說老先生的精神可嘉。
會(huì)上也有人問了阿蒂亞爵士是否會(huì)去領(lǐng)克雷研究所的那 100 萬美元獎(jiǎng)金，他回答：“是，我的結(jié)果值得那個(gè)獎(jiǎng)”。但是克雷研究所目前對(duì)此事仍然保持沉默。從之前兩次重要數(shù)論猜想被證明的經(jīng)驗(yàn)來看，也就是懷爾斯證明費(fèi)馬大定理和佩雷爾曼證明龐加萊猜想，對(duì)證明的驗(yàn)證工作一般要持續(xù) 2 年之久，當(dāng)然，這是指最終被證明是正確的證明，如果是錯(cuò)誤的證明，恐怕用不了那么久。因?yàn)閿?shù)學(xué)論文中，只要有一行被發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了，全部的論文就都錯(cuò)了。 關(guān)于后續(xù)發(fā)展，我借用盧昌海先生在他博客上的評(píng)論，盧昌海老師寫了一本很好的科普書，就是我現(xiàn)在手頭這本《黎曼猜想漫談》，可以說，昌海老師對(duì)黎曼猜想是非常了解的，他是這么評(píng)論的：
我和大老李對(duì)此觀點(diǎn)都挺贊同，不了了之大概是此事件最可能的結(jié)局。所以，大老李說他有 99% 的把握，黎曼猜想在今后很長時(shí)間內(nèi)仍然是猜想。如果我們有生之年能看到黎曼猜想的解決，那是我們非常大的幸運(yùn)。要知道，著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)說，假如 500 年后我能活過來的話，我最想問的第一個(gè)問題是：黎曼猜想被證明了嗎？但是，我們還是要對(duì)阿蒂亞爵士保持著崇敬之情，我也很希望有人哪怕能從阿蒂亞的論文中發(fā)掘出一丁點(diǎn)有用的地方。 最后破除一個(gè)黎曼猜想的小的謠言，就是“證明黎曼猜想會(huì)讓密碼體系崩潰”。可能是因?yàn)槔杪孪肱c質(zhì)數(shù)相關(guān)，而我們確實(shí)有一種常用的密碼體系 RSA 算法是依賴質(zhì)因數(shù)分解問題的。但黎曼猜想雖然很強(qiáng)大，但是證明黎曼猜想并不能幫我們加速判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，也不能幫我們更快的分解一個(gè)合數(shù)，所以不可能影響那個(gè)加密體系?；蛘咭部梢赃@樣想，我們?cè)缫呀?jīng)把黎曼猜想當(dāng)成是一個(gè)真命題來用了，如果它會(huì)影響加密體系，那早就影響了，不用等到它證明的那一刻。說比特幣系統(tǒng)會(huì)崩潰的，那是不知道，比特幣系統(tǒng)用的加密算法是橢圓曲線算法 ECC，不需要用到大質(zhì)數(shù)，這個(gè)我在介紹比特幣和區(qū)塊鏈的文章中也詳細(xì)介紹過。
不管怎樣，此次事件雖然結(jié)局不太會(huì)真的證明黎曼假設(shè)，但能使更多的人了解這個(gè)數(shù)學(xué)中最重要也超困難的問題，不失為一件好事情。 你們想，如果不是因?yàn)橛羞@個(gè)大新聞再加上我這個(gè)標(biāo)題黨的震驚體標(biāo)題，你們有多少人會(huì)認(rèn)真收聽我這期談數(shù)學(xué)的節(jié)目呢？ 但是，數(shù)學(xué)真的很好玩，很有魅力，我最近一直在醞釀?wù)剶?shù)學(xué)的節(jié)目，希望能有更多人能關(guān)心數(shù)學(xué)喜歡數(shù)學(xué)，今天這期算是一個(gè)開端吧。 最后，再次感謝一下本期節(jié)目的第一撰稿人大老李，強(qiáng)烈推薦他的公號(hào)和節(jié)目：大老李聊數(shù)學(xué)。他的口號(hào)是： 數(shù)學(xué)不可怕，可怕的是你怕數(shù)學(xué)。 科學(xué)聲音新書各大網(wǎng)上書店已上架 |
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