【通信技術基礎第9講】

從信號處理角度來看，傅里葉變換建立了從時間域到頻率域的變換關系。一個時間域的信號可以分解為多個不同頻率的正弦波信號，每個頻率的正弦波信號可在頻率軸進行表示，正如圖1所示。

頻域率給我們提供了另外一種看問題的視角，世界如此紛繁復雜，換個角度可能會海闊天空。傅里葉變換讓我們從頻域看問題，拉普拉斯變換亦是如此，它建立了從時間信號到復頻域的關系。

函數可積角度

還記得傅里葉變換中絕對可積的條件嗎？傅里葉變換公式是積分運算，當然需要里面的函數可以積分。文章中變量有時會用時間t，有時會用x，是班長思維混亂導致，不影響閱讀。

在引入積分的時候，我們用“曲線面積”這一經典案例作為引子，然后通過計算長方形的面積去逼近曲線面積。當長方形的寬度逐漸變小，長方形的數量逐漸變多，我們計算的面積越精確，如圖3所示。

所以說積分運算，可以不嚴謹的認為區(qū)間內“面積”計算。當面積無窮大之時，表示不可積分。這樣看來，我們要保證f(t)絕對可積，那么f(t)覆蓋的面積不能無限大。

但實際情況是，很多類似像e^at(a>0)的指數函數，其曲線覆蓋的面積無窮大，不可積。具體可以從指數函數圖像4看出，當a>0之時，這是一個遞增函數。

既然不可積，不想愉快的玩耍，得想轍！

給它乘以一個因子，相乘之后可積不就完事了。這個因子已經有人想好了，就是e^-σt。根據傅里葉變換公式，我們得到了s=σ+jω。

OK，s是個復數，所以我們說拉普拉斯變換是將時域變換到復頻域，見圖2。在通過簡單的變量替換，我們可以得出拉普拉斯反變換：

引入一個e^-σt，可以解決絕對可積的問題，我們把它叫做衰減因子。從這個角度看，拉普拉斯變換就是f(t)*e^σt的傅里葉變換。

總結

除了信號處理與通信領域，似乎在經典控制理論中，更熱衷于使用拉普拉斯變換。因引入拉普拉斯變換的一個主要優(yōu)點，是可采用傳遞函數代替常系數微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性、分析控制系統(tǒng)的運動過程，以及提供控制系統(tǒng)調整的可能性。

最后，再讓我們看一看拉普拉斯變換的歷史。在19世紀末，英國有一位工程師叫做赫維賽德，他發(fā)明了一種算子，可以方便的解決電氣工程的一些問題。但是你知道的，工程師嗎？不會有嚴格的數學證明。直到拉普拉斯在自己的著作中給出了明確的數學依據，這一方法開始在電學、力學等眾多的工程與科學領域中得到廣泛應用。

法國數學家、天文學家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天體力學 和物理學。他認為數學只是一種解決問題的工具，但在運用數學時創(chuàng)造和發(fā)展了許多新的數學方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理論》中總結了當時整個概率論的研究，論述了概率在選舉、審判調查、氣象等方面的應用，并導入“拉普拉斯變換”。拉普拉斯變換導致了后來赫維賽德發(fā)現的運算微積分在電工理論中的廣泛應用。來自數學愛好者(高二新課標人教版)，2008年02期

拉普拉斯變換可以把線性時不變系統(tǒng)的時域模型簡便地進行變換，求解后再還原為時間函數。它是求解常微分方程的利器哦。微分、積分通過拉式變換后，會變成乘法、除法，整個微分方程也會變成代數方程。所以這也是考研中必考的一道答題！

至于標題的問題，一種說法是傅里葉先有，拉普拉斯還是傅里葉的論文評委呢；還一種說法是拉普拉斯先有：

傅里葉變換：In 1822, Joseph Fourier showed that some functions could be written as an infinite sum of harmonics.

拉普拉斯變換：These types of integrals seem first to have attracted Laplace's attention in 1782 where he was following in the spirit of Euler in using the integrals themselves as solutions of equations. However, in 1785, Laplace took the critical step forward when, rather than just looking for a solution in the form of an integral, he started to apply the transforms in the sense that was later to become popular.

來自維基百科。

所以你們自己決定吧，嘿嘿。