這原本是我在知乎上對(duì)傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯(lián)系？為什么要進(jìn)行這些變換。研究的都是什么？問題的回答，實(shí)際上是我在本科學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和信號(hào)處理期間的思考，知乎上的答案因?yàn)閷懙脗}促，只寫了一些大致思想，沒有具體展開，也沒有圖，比較難以理解，這里重新整理了一下，匯成此文，目前尚未完成。

本文要求讀者需要在對(duì)傅里葉變換有一定的了解的基礎(chǔ)之上閱讀，至少要知道怎么算傅里葉變換。此外部分地方要求讀者有一定的微分方程基礎(chǔ)，至少會(huì)求簡諧振子的二階常微分方程吧。

• 什么是傅里葉變換
• 為什么要分解為正弦波的疊加
• 傅里葉變換與信號(hào)系統(tǒng)
• 傅里葉變換與量子力學(xué)
• 傅里葉變換、拉普拉斯、Z變換、離散傅里葉變換的關(guān)系
• 傅里葉變換特殊的原因解釋
• 其他微分算子的特征函數(shù)舉例

什么是傅里葉變換

高等數(shù)學(xué)中一般是從周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)開始介紹的，這里也不例外。簡單的說，從高中我們就學(xué)過一個(gè)理想的波可以用三角函數(shù)來描述，但是實(shí)際上的波可以是各種奇形怪狀的。首先我們來看具有固定周期的波，下圖中展示了4種常見的周期波。傅里葉級(jí)數(shù)告訴我們，這些周期信號(hào)都可以分解為有限或無限個(gè)正弦波或余弦波的疊加，且這些波的頻率都是原始信號(hào)頻率f0的整數(shù)倍。

這里f0被稱為這些波的基頻，A0/2代表直流系數(shù)，系數(shù)An被稱為幅度，?n被稱作相位。根據(jù)幅度和相位可以利用反變換恢復(fù)信號(hào)的波形，因此幅度和相位包含了信號(hào)的全部信息。這里的幅度關(guān)于頻率的函數(shù)，我們稱之為頻譜，相位關(guān)于頻率的函數(shù)，稱之為相位譜。

下圖是矩形波分解為多個(gè)正弦波的示意圖，隨著正弦波數(shù)目的增加，可以無限地逼近矩形波。對(duì)于非周期信號(hào)，我們不能簡單地將它展開為可數(shù)個(gè)正弦波的疊加，但是可以利用傅里葉變換展開為不可數(shù)的正弦波的疊加，其表達(dá)式可以通過f0→∞簡單得到。

我們?nèi)粘Ｓ龅降那僖?、震?dòng)等都可以分解為正弦波的疊加，電路中的周期電壓信號(hào)等信號(hào)都可以分解為正弦波的疊加。那么問題來了，為什么我們要將信號(hào)分解為正弦波的疊加呢？這里面包含兩個(gè)問題，為什么要分解？為什么是正弦波（或余弦波），可不可以是其他的波？另一個(gè)問題是對(duì)通信的同學(xué)的，我們學(xué)過多個(gè)變換那么這些變換之間有哪些關(guān)系？ 在下面的篇章中，我將回答這三個(gè)問題。

為什么要分解為正弦波的疊加

這個(gè)問題可以追溯到傅里葉變換的創(chuàng)始人傅里葉解熱傳導(dǎo)方程的時(shí)候，因?yàn)闊醾鲗?dǎo)方程要求讀者對(duì)熱力學(xué)有一定了解，這里我以簡諧振子系統(tǒng)為例來說明這個(gè)問題。沒有阻尼的簡諧振子系統(tǒng)可以用下面這個(gè)微分方程來描述

x,t,ω0,F分別代表位移、時(shí)間、系統(tǒng)固有頻率和外界驅(qū)動(dòng)力。當(dāng)沒有外界驅(qū)動(dòng)力F時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)有通解

現(xiàn)在我們考慮存在外界驅(qū)動(dòng)力F的場景，熟悉常微分方程理論的可以知道此時(shí)的通解是上述其次方程的通解（F恒為0）加上一個(gè)特解，所謂特解就是某個(gè)滿足上述非齊次方程（F不恒為0）的任意一個(gè)接！那為什么能做這種分解呢？原因在于這是一個(gè)線性系統(tǒng)，或者說這個(gè)方程是一個(gè)線性方程，因此遵循疊加原理，可以簡單的證明這個(gè)一般性結(jié)論。假設(shè)線性系統(tǒng)可以由線性微分方程來描述

?L是線性算子，你可以簡單地理解為諧振子方程中的左邊操作。如果C(t),x0(t)分別是其次方程通解和非齊次方程特解，即他們滿足

那么將這兩個(gè)式子相加，就可以得到

因此，只剩下一個(gè)問題，對(duì)于給定的驅(qū)動(dòng)力F(t)，怎么找特解的問題了。也許你還記得在高數(shù)的書上，對(duì)F(t)為三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)時(shí)，可以有和F(t)形式相同的特解。例如F(t)=f0sin(wt)時(shí)，可以假定非齊次方程也有這種形式的特解Bsin(wt)，代入原方程，求出待定常數(shù)可得特解A(w?w0)2sin(wt)。指數(shù)形式的驅(qū)動(dòng)力也類似，那么對(duì)于其他形式的驅(qū)動(dòng)力，怎么求特解呢？很簡單，利用線性疊加原理，我如果求出很多個(gè)F為正弦驅(qū)動(dòng)力sin(wnt)下的特解xn(t)，并且如果F可以表達(dá)為這些正弦波的疊加，那么特解不就可以用這些特解的疊加得到了么？用數(shù)學(xué)語言表述就是

上面第二個(gè)式子右邊如果等于F(t)，那么左邊的∑nAnxn(t)就是原齊次方程的特解。簡單地說，就是將驅(qū)動(dòng)力做傅里葉變換（如果是周期驅(qū)動(dòng)力則展開為傅里葉級(jí)數(shù)），求出每個(gè)基驅(qū)動(dòng)力的特解，然后疊加得到特解。當(dāng)然實(shí)際求解不用那么繞，以簡諧振動(dòng)方程為例，直接對(duì)方程左右兩邊做傅里葉變換即得

上式帶尖頭的函數(shù)代表時(shí)域函數(shù)的傅里葉變換，這是一個(gè)代數(shù)方程，容易求得

通過上述描述，我們可以看到，將一個(gè)函數(shù)做傅里葉變換或者展開為傅里葉級(jí)數(shù)，可以幫助我們求解線性微分方程，或者從實(shí)際意義來說，可以幫助我們分析一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)外界做出如何響應(yīng)！之所以能這樣展開，是因?yàn)槲覀兎治龅氖蔷€性系統(tǒng)，如果是非線性系統(tǒng)就不能這樣操作了。至于為什么是三角函數(shù)，我在下面將會(huì)回答，接下來我們先來看看更多的例子。

傅里葉變換與信號(hào)系統(tǒng)

這里，我們對(duì)通信相關(guān)的領(lǐng)域再舉一個(gè)例子，來說明展開為三角函數(shù)（或者復(fù)指數(shù)函數(shù)）的重要性。這種分析，我們稱之為傅里葉分析，或者叫頻譜分析。

一個(gè)信號(hào)，通常用一個(gè)時(shí)間的函數(shù)x(t)來表示，這樣簡單直觀，因?yàn)樗暮瘮?shù)圖像可以看做信號(hào)的波形，比如聲波和水波等等。很多時(shí)候，對(duì)信號(hào)的處理是很特殊的，比如說線性電路會(huì)將輸入的正弦信號(hào)處理后，輸出仍然是正弦信號(hào)，只是幅度和相位有一個(gè)變化。這是因?yàn)榫€性電路都可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，輸入信號(hào)可以看做外界驅(qū)動(dòng)力，輸出可以看做系統(tǒng)地響應(yīng)，這和上面的諧振子方程類似。因此，如果我們將信號(hào)全部分解成正弦信號(hào)的線性組合（傅里葉變換）x(t)=ΣωX(ω)eiωt，那么就可以用一個(gè)傳遞函數(shù)H(w)=Y(w)/X(w)來描述這個(gè)線性系統(tǒng)。倘若這個(gè)信號(hào)很特殊，例如e2tsin(t)，傅里葉變換在數(shù)學(xué)上不存在，這個(gè)時(shí)候就引入拉普拉斯變換來解決這個(gè)問題x(t)=ΣsX(s)est。這樣一個(gè)線性系統(tǒng)都可以用一個(gè)傳遞函數(shù)H(s)=Y(s)/X(s)來表示。所以，從這里可以看到將信號(hào)分解為正弦函數(shù)（傅里葉變換）或者 復(fù)指數(shù)函數(shù)（拉普拉斯變換）對(duì)分析線性系統(tǒng)也是至關(guān)重要的。

傅里葉變換與量子力學(xué)

量子力學(xué)的波函數(shù)可以用多種不同的表象來描述，例如坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象等，不同表象之間的變換實(shí)際上是希爾伯特空間的一個(gè)幺正變換，其中坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象之間的變換就是傅里葉變換。

傅里葉變換、拉普拉斯、Z變換、離散傅里葉變換的關(guān)系

信號(hào)處理中經(jīng)常要對(duì)信號(hào)做各種變換，其中傅里葉變換、拉普拉斯、Z變換、離散傅里葉變換是最基礎(chǔ)的幾個(gè)變換。他們都是為了對(duì)信號(hào)做頻譜分析而采用的變換，只不過被變換的信號(hào)會(huì)有一些差異。

如果只關(guān)心信號(hào)本身，不關(guān)心系統(tǒng)，這幾個(gè)變換的關(guān)系可以通過下面這樣一個(gè)過程聯(lián)系起來。

從模擬信號(hào)x(t)開始，如果模型信號(hào)能量是有限的，那么我們可以對(duì)它做傅里葉變換，把它用頻域表達(dá)為X(w)。如果信號(hào)的能量是無限的，那么傅里葉變換將不會(huì)收斂，這種時(shí)候可以對(duì)它做拉普拉斯變換X(s)。如果我們將拉普拉斯的s=σ+jw域畫出來，他是一個(gè)復(fù)平面，拉普拉斯變換X(s)是這個(gè)復(fù)平面上的一個(gè)復(fù)變函數(shù)。而這個(gè)函數(shù)沿虛軸jw的值X(jw)就是傅里葉變換。

拉普拉斯變換和傅里葉變換廣泛應(yīng)用在模擬電路分析當(dāng)中，下圖就是對(duì)模擬電路中基本元件的s域建模示意圖，當(dāng)s=jw時(shí)，就是傅里葉變換了。

需要明確一個(gè)觀點(diǎn)，不管使用時(shí)域還是頻域（或s域）來表示一個(gè)信號(hào)，他們表示的都是同一個(gè)信號(hào)！也就是說，上面的時(shí)域表達(dá)、頻域表達(dá)和s域表達(dá)都表示的是同一個(gè)模擬信號(hào)。關(guān)于這一點(diǎn)，你可以從線性空間的角度理解。同一個(gè)信號(hào)，如果采用不同的坐標(biāo)框架（或者說基向量），那么他們的坐標(biāo)就不同。例如，采用{δ(t?τ)|τ∈R}作為坐標(biāo)，那么信號(hào)就可以表示為x(t)，而采用{eiwt|w∈R}則表示為傅里葉變換的形式X(w)。兩個(gè)不同坐標(biāo)框架下，同一個(gè)向量的坐標(biāo)可以通過一個(gè)線性變換聯(lián)系起來，如果是有限維的空間，則可以表示為一個(gè)矩陣，在這里是無限維，這個(gè)線性變換就是傅里葉變換。

到現(xiàn)在，對(duì)信號(hào)的形式還沒有多少假定，如果信號(hào)是帶寬受限信號(hào)，也就是說X(jw)只在一個(gè)小范圍內(nèi)（如?BwB）不為0。之所以要做這個(gè)假定以及這個(gè)假定的合理性是根據(jù)實(shí)際需要而定的。在一個(gè)通信系統(tǒng)或者信號(hào)處理系統(tǒng)中，無限帶寬的信號(hào)是無法處理的，而且一般接受信號(hào)的期間都會(huì)有一定的帶寬，所以這是對(duì)實(shí)際中的信號(hào)的一種理想假設(shè)?，F(xiàn)代的信號(hào)處理系統(tǒng)多是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，即使是模擬系統(tǒng)，現(xiàn)在也多將復(fù)雜的處理放到數(shù)字信號(hào)處理子系統(tǒng)端進(jìn)行處理，這兩個(gè)系統(tǒng)之間通過 AD、DA 連接起來。根據(jù)采樣定理，只要采樣的頻率足夠高（大于兩倍帶寬），就可以無失真地將信號(hào)還原出來。那么采樣對(duì)信號(hào)的影響是什么呢？從s平面來看，時(shí)域的采樣將X(s)沿虛軸方向作周期延拓！這個(gè)性質(zhì)從數(shù)學(xué)上可以很容易驗(yàn)證。下圖顯示的是就是采樣對(duì)信號(hào)頻譜的影響，只畫出虛軸上的圖像。這個(gè)性質(zhì)也很好的解釋了為什么要兩倍的采樣頻率，這樣才能使得周期延拓后頻譜不會(huì)重疊到一起。設(shè)fs=ws/2π是采樣頻率，則采樣后信號(hào)在s域可以表達(dá)為

對(duì)于采樣后的信號(hào)，可以利用指數(shù)變換將s域的帶狀區(qū)域變換到單位圓內(nèi)。這就是z變換，它可以看做拉普拉斯變換的一種特殊形式，即做了一個(gè)代換z=e?s/fs，fs是采樣頻率。這個(gè)變換將信號(hào)從s域變換到z域。請(qǐng)注意，s域和z域表示的是同一個(gè)信號(hào)，即采樣完了之后的信號(hào)，只有采樣才會(huì)改變信號(hào)本身！從復(fù)平面上來看，這個(gè)變換將與σ軸平行的條帶變換到z平面的一個(gè)單葉分支2kπ≤θ≤2(k+1)π，并且將虛軸映射到單位圓。z=e?jw/fs時(shí)也稱作離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)。你會(huì)看到前面采樣導(dǎo)致的周期延拓產(chǎn)生的條帶重疊在一起了，因?yàn)榫哂兄芷谛?，所以z域不同的分支的函數(shù)值X(z)是相同的。換句話說，如果沒有采樣，直接進(jìn)行z變換，將會(huì)得到一個(gè)多值的復(fù)變函數(shù)！所以一般只對(duì)采樣完了后的信號(hào)做z變換！

這里講了時(shí)域的采樣，時(shí)域采樣后，信號(hào)只有?fs/2→fs/2間的頻譜，即最高頻率只有采樣頻率一半，但是要記錄這樣一個(gè)信號(hào)，仍然需要無限大的存儲(chǔ)空間，可以進(jìn)一步對(duì)頻域進(jìn)行采樣。如果時(shí)間有限（實(shí)際上這與頻率受限互相矛盾，但大多數(shù)信號(hào)近似成立）的信號(hào)，那么通過頻域采樣（時(shí)域做周期擴(kuò)展）可以不失真地從采樣的信號(hào)中恢復(fù)原始信號(hào)。并且信號(hào)長度是有限的，這就是離散傅里葉變換(DFT)，它有著名的快速算法快速傅里葉變換(FFT)。為什么DFT這么重要呢，因?yàn)橛?jì)算機(jī)要有效地對(duì)一般的信號(hào)做傅里葉變換，都是用DFT來實(shí)現(xiàn)的，除非信號(hào)具有簡單的解析表達(dá)式！利用上述關(guān)系，可以推導(dǎo)出DFT在第k個(gè)頻點(diǎn)的值為

上述推導(dǎo)利用到兩個(gè)基本公式

總結(jié)起來說，就是對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，輸入輸出是線性關(guān)系的，不論是線性電路還是光路，只要可以用一個(gè)線性方程或線性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）來描述的系統(tǒng)，都可以通過傅里葉分析從頻域來分析這個(gè)系統(tǒng)的特性，比單純從時(shí)域分析要強(qiáng)大得多！兩個(gè)著名的應(yīng)用例子就是線性電路和傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)）。甚至非線性系統(tǒng)，也在很多情況里面使用線性系統(tǒng)的東西！所以傅里葉變換才這么重要！你看最早傅里葉最早也是為了求解熱傳導(dǎo)方程（那里其實(shí)也可以看做一個(gè)線性系統(tǒng)）！

傅里葉變換的思想還在不同領(lǐng)域有很多演變，比如在信號(hào)處理中的小波變換，它也是采用一組基函數(shù)來表達(dá)信號(hào)，只不過克服了傅里葉變換不能同時(shí)做時(shí)頻分析的問題。

傅里葉變換特殊的原因解釋

最后，我從純數(shù)學(xué)的角度說一下傅里葉變化到底是什么。還記得線性代數(shù)中的代數(shù)方程Ax=b嗎？如果A是對(duì)稱方陣，可以找到矩陣A的所有互相正交的特征向量{v_i,i=1..n}和特征值λi,i=1..n，然后將向量x和b表示成特征向量的組合x=Σixivi,b=Σibivi。由于特征向量的正交關(guān)系，矩陣的代數(shù)方程可以化為n個(gè)標(biāo)量代數(shù)方程λixi=bi，是不是很神奇！！你會(huì)問這跟傅里葉變換有毛關(guān)系?。縿e急，再看非齊次線性常微分方程y′+ay=z(x)，可以驗(yàn)證指數(shù)函數(shù)y=esx是他的特征函數(shù)，如果把方程改寫為算子表示Λy=z，那么有Λy=λy，這是不是和線性方程的特征向量特征值很像。把y 和 z都表示為指數(shù)函數(shù)的線性組合，那么經(jīng)過這種變換之后，常微分方程變?yōu)闃?biāo)量代數(shù)方程了！！而將y和z表示成指數(shù)函數(shù)的線性組合的過程就是傅里葉變換（或拉普拉斯變換）。在偏微分方程如波動(dòng)方程中也有類似結(jié)論！這是我在上數(shù)理方程課程的時(shí)候體會(huì)到的。歸納起來，就是說傅里葉變換就是線性空間中的一個(gè)特殊的正交變換！他之所以特殊是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是常系數(shù)微分算子的特征函數(shù)！

其他微分算子的特征函數(shù)舉例

這里舉其他特征函數(shù)的例子是為了說明，傅里葉變換只是常系數(shù)微分算子的特征函數(shù)，如果是變系數(shù)就不是了。所謂常系數(shù)微分算子就是具有這種形式的微分算子

對(duì)于變系數(shù)的微分算子，ak是自變量t的函數(shù)，這種算子的特征函數(shù)并沒有一般性的結(jié)論。這里列舉幾個(gè)我遇到過多次的特征函數(shù)及變系數(shù)算子。

柱坐標(biāo)下的貝塞爾函數(shù)是下述微分算子的特征函數(shù)

球坐標(biāo)下的勒讓德多項(xiàng)式

它是下述微分算子的特征函數(shù)，這是一個(gè)變系數(shù)的微分算子

拉蓋爾多項(xiàng)式

這樣的例子還有很多，這些函數(shù)實(shí)際上都是一個(gè)函數(shù)族，這些函數(shù)互相正交，這和實(shí)對(duì)稱陣的本征向量互相正交的性質(zhì)一樣，這里的線性算子也是其泛函空間上的對(duì)稱實(shí)軛米算子。這些函數(shù)族構(gòu)成一組完備正交基，可以表達(dá)對(duì)應(yīng)泛函空間中的任意函數(shù)。這和傅里葉變換的基函數(shù)——復(fù)指數(shù)函數(shù)一樣。