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傅里葉 北京大學(xué) 郭敦仁 孫小禮 傅里葉，J．B．J．(Fourier，Jean Baptiste Joseph)1768年3月21日生于法國奧塞爾；1830年5月16日卒于巴黎．?dāng)?shù)學(xué)、物理學(xué)． 傅里葉出身平民，父親是位裁縫．9歲時(shí)雙親亡故，以后由教會(huì)送入鎮(zhèn)上的軍校就讀，表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)的特殊愛好．他還有志于參加炮兵或工程兵，但因家庭地位低貧而遭到拒絕．后來希望到巴黎在更優(yōu)越的環(huán)境下追求他有興趣的研究．可是法國大革命中斷了他的計(jì)劃，于1789年回到家鄉(xiāng)奧塞爾的母校執(zhí)教． 在大革命期間，傅里葉以熱心地方事務(wù)而知名，并因替當(dāng)時(shí)恐怖行為的受害者申辯而被捕入獄．出獄后，他曾就讀于巴黎師范學(xué)校，雖為期甚短，其數(shù)學(xué)才華卻給人以深刻印象．1795年，當(dāng)巴黎綜合工科學(xué)校成立時(shí)，即被任命為助教，協(xié)助J．L．拉格朗日(Lagrange)和G．蒙日(Monge)從事數(shù)學(xué)教學(xué)．這一年他還諷刺性地被當(dāng)作羅伯斯庇爾(Robespierre)的支持者而被捕，經(jīng)同事營救獲釋．1898年，蒙日選派他跟隨拿破侖(Napoleon)遠(yuǎn)征埃及．在開羅，他擔(dān)任埃及研究院的秘書，并從事許多外交活動(dòng)，但同時(shí)他仍不斷地進(jìn)行個(gè)人的業(yè)余研究，即數(shù)學(xué)物理方面的研究． 1801年回到法國后，傅里葉希望繼續(xù)執(zhí)教于巴黎綜合工科學(xué)校，但因拿破侖賞識他的行政才能，任命他為伊澤爾地區(qū)首府格勒諾布爾的高級官員．由于政聲卓著，1808年拿破侖又授予他男爵稱號．此后幾經(jīng)宦海浮沉，1815年，傅里葉終于在拿破侖百日王朝的尾期辭去爵位和官職，毅然返回巴黎以圖全力投入學(xué)術(shù)研究．但是，失業(yè)、貧困以及政治名聲的落潮，這時(shí)的傅里葉處于一生中最艱難的時(shí)期．由于得到昔日同事和學(xué)生的關(guān)懷，為他謀得統(tǒng)計(jì)局主管之職，工作不繁重，所入足以為生，使他得以繼續(xù)從事研究． 1816年，傅里葉被提名為法國科學(xué)院的成員．初時(shí)因怒其與拿破侖的關(guān)系而為路易十八所拒．后來，事情澄清，于1817年就職科學(xué)院，其聲譽(yù)又隨之迅速上升．他的任職得到了當(dāng)時(shí)年事已高的 P．S．M．de 拉普拉斯(Laplace)的支持，卻不斷受到 S．D．泊松(Poisson)的反對．1822年，他被選為科學(xué)院的終身秘書，這是極有權(quán)力的職位．1827年，他又被選為法蘭西學(xué)院院士，還被英國皇家學(xué)會(huì)選為外國會(huì)員． 傅里葉一生為人正直，他曾對許多年輕的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家給予無私的支持和真摯的鼓勵(lì)，從而得到他們的忠誠愛戴，并成為他們的至交好友．在他幫助過的科學(xué)家中，有知名的 H．C．奧斯特(Oersted)、P．G．狄利克雷(Dirichlet)、N．H．阿貝爾(Abel)和 J．C．F．斯圖姆(Sturm)等人．有一件令人遺憾的事，就是傅里葉收到 ．伽羅瓦(Galois)的關(guān)于群論的論文時(shí)，他已病情嚴(yán)重而未閱，以致論文手稿失去下落． 傅里葉去世后，在他的家鄉(xiāng)為他樹立了一座青銅塑像．20世紀(jì)以后，還以他的名字命名了一所學(xué)校，以示人們對他的尊敬和紀(jì)念． 傅里葉的科學(xué)成就主要在于他對熱傳導(dǎo)問題的研究，以及他為推進(jìn)這一方面的研究所引入的數(shù)學(xué)方法．早在遠(yuǎn)征埃及時(shí)，他就對熱傳導(dǎo)問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，不過主要的研究工作是在格勒諾布爾任職期間進(jìn)行的．1807年，他向科學(xué)院呈交了一篇很長的論文，題為“熱的傳播”(Mémoire sur la propagation de la chaleur)，內(nèi)容是關(guān)于不連結(jié)的物質(zhì)和特殊形狀的連續(xù)體(矩形的、環(huán)狀的、球狀的、柱狀的、棱柱形的)中的熱擴(kuò)散(即熱傳導(dǎo)，筆者注)問題．其基本方程是 這是三維情形． 在論文的審閱人中，拉普拉斯、蒙日和 S．F．拉克魯瓦(Lacroix)都是贊成接受這篇論文的．但是遭到了拉格朗日的強(qiáng)烈反對，因?yàn)槲闹兴萌缦碌娜羌墧?shù)(后來被稱為傅里葉級數(shù)) 表示某些物體的初溫分布與拉格朗日自己在19世紀(jì)50年代處理弦振動(dòng)問題時(shí)對三角級數(shù)的否定相矛盾．于是，這篇文章為此而未能發(fā)表．不過，在審查委員會(huì)給傅里葉的回信中，還是鼓勵(lì)他繼續(xù)鉆研，并將研究結(jié)果嚴(yán)密化． 為了推動(dòng)對熱擴(kuò)散問題的研究，科學(xué)院于1810年懸賞征求論文．傅里葉呈交了一篇對其1807年的文章加以修改的論文，題目是“熱在固體中的運(yùn)動(dòng)理論”(Theorie du mouvement de chaleur clansles corps solides)，文中增加了在無窮大物體中熱擴(kuò)散的新分析．但是在這一情形中，傅里葉原來所用的三角級數(shù)因具有周期性而不能應(yīng)用．于是，傅里葉代之以如下的積分形式(后來被稱為傅里葉積分)： 這篇論文在競爭中獲勝，傅立葉曾獲得科學(xué)院頒發(fā)的獎(jiǎng)金．但是評委——可能是由于拉格朗日的堅(jiān)持——仍從文章的嚴(yán)格性和普遍性上給予了批評，以致這篇論文又未能正式發(fā)表、傅里葉認(rèn)為這是一種無理的非難，他決心將這篇論文的數(shù)學(xué)部分?jǐn)U充成為一本書．他終于完成了這部書：《熱的解析理論》(Théorie anatylique de la chaleur)，于1822年出版．他原來還計(jì)劃將論文的物理部分也擴(kuò)充成一本書，名為《熱的物理理論》(Théorie physiquede la chaleur)．可惜這個(gè)愿望未能實(shí)現(xiàn)，雖然處理熱的物理方面的問題也是他的得獎(jiǎng)?wù)撐闹械闹匾獌?nèi)容，而且在他的晚年的研究工作中甚至是更重要的內(nèi)容． 《熱的解析理論》，是記載著傅里葉級數(shù)與傅里葉積分的誕生經(jīng)過的重要?dú)v史文獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)史，乃至科學(xué)史上公認(rèn)是一部劃時(shí)代的經(jīng)典性著作．然而，對于傅里葉在數(shù)學(xué)上和數(shù)學(xué)物理上工作的具體評價(jià)，歷來眾說紛壇．有些人只注意了傅里葉級數(shù)和傅里葉積分本身的推導(dǎo)，從非時(shí)代的嚴(yán)格性標(biāo)準(zhǔn)來要求他．實(shí)際上，要全面地理解傅里葉的成就，還應(yīng)該注意到以下兩個(gè)方面：一是他把物理問題表述為線性偏微分方程的邊值問題來處理．這一點(diǎn)，連同他在單位和量綱方面的工作，使分析力學(xué)超出了I．牛頓(Newton)在《原理》(Principia)中所規(guī)定的范疇．二是他所發(fā)明的解方程的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具產(chǎn)生了一系列派生學(xué)科，在數(shù)學(xué)分析中提出了許多研究課題，極大地推動(dòng)了19世紀(jì)及以后的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的第一流的工作，并且開拓了一些新的領(lǐng)域(見后文)．況且，傅里葉的理論和方法幾乎滲透到近代物理的所有部門． 傅里葉在《熱的解析理論》這部基本著作中，寫進(jìn)了他的差不多所有有關(guān)的工作，而且在此書的各個(gè)版本中幾乎絲毫未加更動(dòng)．因此，把這些內(nèi)容與其他沒有發(fā)表的、為人引述的、散見于各處的資料聯(lián)系貫串起來，就可以切實(shí)地概現(xiàn)他的全部研究成果，以及他表述和處理問題的風(fēng)格．同時(shí)，通過這些材料，也可以看出，在某些關(guān)鍵之處，傅里葉未能克服的困難和他失敗的原因． 傅里葉在熱的分析理論方面的第一件工作中，采用了這樣的模型：熱是由分立粒子間的穿梭機(jī)制傳送的，其物理理論是簡單的混合過程，所用數(shù)學(xué)屬于18世紀(jì)50年代．在他所從事研究的問題中，其一是關(guān)于排列在一圓環(huán)上的n個(gè)粒子．他獲得在n為有限的情形下的完全解．他想把結(jié)果推廣到連續(xù)的情形，未能成功，因?yàn)楫?dāng)n無限增大時(shí)，指數(shù)上的時(shí)間常數(shù)趨于零，從而使所得的解與時(shí)間無關(guān)．后來他才明白應(yīng)如何修正他的傳輸模型以避免這一反常的結(jié)果．此外，在他集中注意于完全解及其困難時(shí)，他未能意識到，當(dāng)t=0時(shí)，他的解給出一個(gè)內(nèi)推公式，可用以得到連續(xù)情形下的傅氏級數(shù)．(拉格朗日前此之所以未能發(fā)現(xiàn)傅氏級數(shù)也可類似地來解釋，而并非象通常所認(rèn)為的那佯，是由于顧慮到嚴(yán)格性所致．) 傅里葉成功地建立的熱傳導(dǎo)方程可能是得益于 J．B．畢奧(Biot)早先關(guān)于金屬條中的穩(wěn)定溫度的工作，畢奧區(qū)分了體內(nèi)傳導(dǎo)和體外輻射．但是畢奧的分析，由于用了一個(gè)錯(cuò)誤的物理導(dǎo)熱模型而導(dǎo)出一不正確的方程．傅里葉則因構(gòu)建了較好的物理模型而克服了困難，容易地獲得一、二維情形下充分顯示與時(shí)間的關(guān)系的類似于(1)這一型的方程． 傅里葉的杰作是選擇這樣一種情形的問題來應(yīng)用他的方程的，即一條半無窮的帶，一端是較熱的均勻溫度，沿其邊則是較冷的均勻溫度；具有極其簡單的、導(dǎo)源于伯努利兄弟(Bernoullis)和L．歐拉(Euler)的分析力學(xué)傳統(tǒng)中的物理意義．穩(wěn)定情形無非就是笛卡兒坐標(biāo)下的拉普拉斯方程．傅里葉可能試用過復(fù)變函數(shù)方法(這樣的解見于他的《熱的解析理論》一書)．但其后就用分離變數(shù)法得到了級數(shù)解和以下邊界條件的方程 用無窮矩陣的方法來求方程(4)的解，并將它推廣到任意函數(shù)f(x)，這一工作曾屢次遭受評議．但不應(yīng)忘記，這一工作是在柯西-魏爾斯特拉斯(Cauchy-Weierstrass)的正統(tǒng)理論建立之前幾十年做的．傅里葉不是一個(gè)頭腦簡單的形式主義者；他精于處理有關(guān)“收斂”的問題，在他討論鋸齒形函數(shù)的級數(shù)表示時(shí)就顯示出了這種能力．有關(guān)傅里葉級數(shù)的收斂性的幾種基本證明，例如狄利克雷的證明，其主要思想均可在傅里葉的著作中找到．而且，比任何人更早，他已看到，在計(jì)算傅氏級數(shù)的系數(shù)時(shí)，對一給定的三角級數(shù)逐項(xiàng)積分，是不能保證其正確性的． 傅里葉的三角級數(shù)展開的使人震驚之處在于，他示明一種似乎是矛盾的性質(zhì)：在一有限區(qū)間內(nèi)，完全不同的代數(shù)式之間的相等性．對于很廣泛的一類函數(shù)中的任何一個(gè)函數(shù)，都可以相應(yīng)地造出一個(gè)三角級數(shù)，它在指定的區(qū)間內(nèi)具有與這函數(shù)相同的值．他用例子說明，那給定的函數(shù)甚至可以在基本區(qū)間內(nèi)分段有不同的代數(shù)表示式．雖然三角級數(shù)展開和任意函數(shù)兩者都曾為其他人(包括泊松)用過，但前者只限于有關(guān)周期現(xiàn)象的問題，而后者，當(dāng)作為偏微分方程的解出現(xiàn)時(shí)，由于其性質(zhì)，是假定不可能用代數(shù)式表示的． 關(guān)于傅里葉這一首次成功的研究結(jié)果的早期記載，說明了這個(gè)結(jié)果的生命力和他本人對此成果的驚異．在他的工作中，有受到蒙日影響的痕跡，如用曲面表示解，以及確定方程的解的邊界值的分離表示．此后，傅里葉滿懷信心地進(jìn)入了新的領(lǐng)域．在三維情形遇到了一些困難，但把原方程分為兩個(gè)方程就解決了．這兩個(gè)方程，一個(gè)與內(nèi)部傳導(dǎo)有關(guān)，一個(gè)則與表面上的溫度梯度所產(chǎn)生的輻射有關(guān)．應(yīng)用于球體時(shí)運(yùn)用球坐標(biāo)，結(jié)果是一非諧的三角級數(shù)展開，其中的本征值是一超越方程的諸根．傅里葉運(yùn)用他關(guān)于方程式論的知識，論證了這些根的實(shí)數(shù)性．當(dāng)然，這一問題曾使他困惑了多年．在圓柱體的熱傳導(dǎo)問題中他又作了進(jìn)一步的推廣，其傅里葉解就是如今所稱的貝塞耳(Bessel)函數(shù)．所用的技巧由傅里葉后來的同事 J． C．佛朗索(Francois)、斯圖姆和 J．劉維爾(Liouville)全面地予以普遍化． 在研究沿一條無窮長的線上的熱傳導(dǎo)問題時(shí)發(fā)展出來的傅里葉積分理論，可能是基于拉普拉斯把熱擴(kuò)散方程的解表示為一任意函數(shù)的積分變換的思想，這函數(shù)表示初始的溫度分布．傅里葉通過對有限區(qū)間中級數(shù)展開的推廣，分別導(dǎo)出了對原點(diǎn)是對稱的和反對稱的情形之下的余弦和正弦變換．逐漸地他才認(rèn)識到，把一給定的函數(shù)分解為偶函數(shù)和奇函數(shù)的普遍性． 傅里葉在這方面的創(chuàng)造性工作于1817—1818年間又最后一次綻發(fā)光輝，他成功地洞察到積分變換解與運(yùn)算微積之間的關(guān)系．當(dāng)時(shí)，傅里葉、泊松、柯西之間形成了三足鼎立之爭．后二人于1815年已開始運(yùn)用這樣的技巧，但是傅里葉針對泊松的批評給予了摧毀性的反擊．他展示了幾個(gè)方程的積分變換解，這幾個(gè)方程是長期以來未能得到分析的，同時(shí)他還指出了導(dǎo)至系統(tǒng)理論之門徑．其后，柯西運(yùn)用復(fù)變函數(shù)中的殘數(shù)(residue)理論也獲得了同樣的結(jié)果． 作為一位數(shù)學(xué)家，傅里葉對于實(shí)際問題中的嚴(yán)格性的關(guān)心，不亞于除柯西和阿貝爾以外的任何人．但他未能想到極限理論本身的重要意義．在對他1811年獲獎(jiǎng)?wù)撐牡脑u議中，關(guān)于缺乏嚴(yán)格性和普遍性的批評，長久以來是被誤解了．那些批評，其動(dòng)機(jī)有許多是帶有非學(xué)術(shù)成分的．泊松和畢奧，是在熱擴(kuò)散理論方面被他超過的勁敵，多年來總是力圖貶低傅里葉的成就．關(guān)于嚴(yán)格性的批評，可能是根據(jù)泊松的觀點(diǎn)，即認(rèn)為在球形問題中出現(xiàn)的本征值未能證明是實(shí)數(shù)，而復(fù)數(shù)根將導(dǎo)致在物理上是不可能的解．(泊松自己在數(shù)年后為傅里葉解決了這一問題．)所謂傅里葉級數(shù)解(2)缺乏普遍性，可能是將它同拉普拉斯早先得到的積分解對比，而在后者中，被積函數(shù)清楚地含有任意函數(shù)． 傅里葉的機(jī)智在于分析力學(xué)方面．他對分析技巧和符號表示極為精 觀力，使他的研究能夠獲得成功．在他之前，分析力學(xué)中出現(xiàn)的主要方程常是非線性的，所用解法都是專設(shè)的近似法．當(dāng)時(shí)，微分方程領(lǐng)域也象是一個(gè)尚無通路的叢林．傅里葉為解偏微分方程創(chuàng)造了和說明了一種連貫的方法，即可以把一個(gè)方程及其級數(shù)解按照不同的物理情況清楚地分離為不同的分部來加以分析．我國數(shù)學(xué)家、微分方程方面的著名學(xué)者申又棖教授(1901—1978)曾經(jīng)說：傅里葉的創(chuàng)造，是給各種類型的偏微分方程(波動(dòng)方程、擴(kuò)散方程、拉普拉斯方程等)提供了一種統(tǒng)一的求解方法，就好比從前解“四則問題”時(shí)，各種難題有各種解法，而運(yùn)用代數(shù)方程以后，就有了統(tǒng)一的簡便的解法．這個(gè)比喻，很好地形容了傅里葉的方法在微分方程領(lǐng)域的重要意義和廣泛的實(shí)用價(jià)值．事實(shí)上，傅里葉的方法是如此之強(qiáng)有力，以致過了整整一個(gè)世紀(jì)，非線性微分方程才重新在數(shù)學(xué)物理學(xué)中突起． 對傅里葉來說，每一數(shù)學(xué)陳述(盡管不是形式論證中的每一中間階段)都應(yīng)有其物理含意，包括展示真實(shí)的運(yùn)動(dòng)和能夠(至少原則上)被測量兩個(gè)方面．他總是如是地說明他的解，使所得到的極限情況能為實(shí)驗(yàn)所檢驗(yàn)，而且一有機(jī)會(huì)他就自己動(dòng)手來作實(shí)驗(yàn)． 傅里葉早年草設(shè)的物理模型雖很粗糙，但在他1807年所寫的文章里，就已全面地把一些物理常數(shù)揉進(jìn)他的熱傳導(dǎo)理論中．對物理意義的關(guān)注，使他看到在他的形式技法中所存在的潛力，能檢驗(yàn)在傅里葉積分解的指數(shù)上出現(xiàn)的成群的物理常數(shù)的相關(guān)性．由此出發(fā)，他得出了關(guān)于單位和量綱的全面理論，雖然其中一部分是L．卡諾(Lazare Carnot)曾預(yù)期到的．這是自伽利略以來在物理量的數(shù)學(xué)表示理論方面第一個(gè)有成效的進(jìn)展．與他同時(shí)代的人，如畢奧，在同一問題上的混亂情形相比，就更顯示出傅里葉的成就． 雖然傅里葉多年從事熱的物理理論的研究．但是他最初基于熱輻射現(xiàn)象方面的貢獻(xiàn)卻未能存在長久．他對他的理論的各種應(yīng)用都很關(guān)心，諸如對溫度計(jì)的作用和房間供暖問題的分析，以及最重要的、對地球年齡下限首次作出的科學(xué)的估算等．令人不解的是，傅里葉相信熱作為宇宙中的首要媒介的重要性，但他似乎對于熱作為一種動(dòng)力方面的問題卻不感興趣，以致對 S．卡諾(Sadi Carnot，是 L．卡諾的兒子)有關(guān)熱動(dòng)力問題的著名論文毫無所知． 和傅里葉的著名的熱傳導(dǎo)問題的成就相比，他在數(shù)學(xué)的其他方面的工作就鮮為人知了．首先是他對方程式論有著長時(shí)間的濃厚興趣．早在16歲時(shí)他就作出了對笛卡兒正負(fù)號法則的一個(gè)新證明．這一法則可表述如下： 設(shè)f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am，則f(x)的諸系數(shù)具有一系列正負(fù)號．如果把同號的兩相鄰系數(shù)稱為“不變”，異號的稱為“變”，那么 f(x)的正(或負(fù))根的數(shù)目最多等于序列中“變”(或“不變”)的數(shù)目． 傅里葉的證明方法是這樣的：以(x+p)乘f(x)，得一新的多項(xiàng)式，它比 f(x)多了一個(gè)系數(shù)，使系數(shù)序列中多了一個(gè)正負(fù)號，同時(shí)多了一個(gè)正(或負(fù))根 p；并且可以看出系數(shù)序列中“變”(或“不變”)的數(shù)目至少增加1個(gè)．因?yàn)楦道锶~的這一成果很快就成為標(biāo)準(zhǔn)的證法，所以證明的詳情可見于任何一本講述這一法則的教科書，雖然人們未嘗知道這一證法的發(fā)明者就是青年傅里葉． 傅里葉還把笛卡兒法則推廣到估計(jì)在一給定區(qū)間[a，b]內(nèi)f(x)的實(shí)根數(shù)，并于1789年向科學(xué)院遞交了一篇文章，其中有他對自己的定理的證明，可惜文章在巴黎那革命動(dòng)蕩的年代里丟失了．大約30年后這篇文章才得以發(fā)表．由于另有一位兼職數(shù)學(xué)家比當(dāng)(Ferdinand Budan de Bois-Laurent)也發(fā)表過類似的結(jié)果，所以關(guān)于在給定區(qū)間內(nèi)n次代數(shù)方程的實(shí)根數(shù)的判定法，后來被稱為傅里葉-比當(dāng)定理．直到傅里葉逝世之前，他始終沒有中斷過方程式論方面的研究，并且計(jì)劃寫出一部七卷本的專著：《方程判定之分析》(Analyse des équations déterminées)．他已寫出頭兩卷，但他預(yù)感到生前大概不可能完成這部著作，于是寫了一個(gè)全書提要．1831年，即他逝世的第二年，由他的友人納維(Navier)將這部未完成的著作編輯出版．從全書提要中，可以看出傅里葉對方程式論有過十分廣泛的研究．其中最重要的是各種區(qū)分實(shí)根和虛根的方法，對牛頓-拉夫遜(Raphson)求根近似法的改進(jìn)，對D．伯努利求循環(huán)級數(shù)中相繼項(xiàng)之比的極限值的法則的推廣，等等．由于傅里葉還有線性不等式的求解法和應(yīng)用方面的工作以及他對這一問題的出眾的理解，因而也被后人稱為線性規(guī)劃的先驅(qū)． 在傅里葉的最后的歲月里，當(dāng)他支持統(tǒng)計(jì)局的工作時(shí)，他的研究接觸到概率和誤差問題．他寫下了一些關(guān)于根據(jù)大量觀測來估計(jì)測量誤差的重要文章，發(fā)表于1826年和1829年的統(tǒng)計(jì)局報(bào)告上． 傅里葉對力學(xué)問題也作過相當(dāng)多的探討，他曾發(fā)表過關(guān)于虛功原理的文章． 縱觀傅里葉一生的學(xué)術(shù)成就，他的最突出的貢獻(xiàn)就是他對熱傳導(dǎo)問題的研究和新的普遍性數(shù)學(xué)方法的創(chuàng)造，這就為數(shù)學(xué)物理學(xué)的前進(jìn)開辟了康莊大道，極大地推動(dòng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展．從而也有力地推動(dòng)了物理學(xué)的發(fā)展． 傅里葉大膽地?cái)嘌裕骸叭我狻焙瘮?shù)(實(shí)際上是在有限區(qū)間上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù))都可以展成三角級數(shù)，并且列舉大量函數(shù)和運(yùn)用圖形來說明函數(shù)的三角級數(shù)展開的普遍性．雖然他沒有給出明確的條件和嚴(yán)格的證明，但是畢竟由此開創(chuàng)出“傅里葉分析”這一重要的數(shù)學(xué)分支，拓廣了傳統(tǒng)的函數(shù)概念．l837年狄利克雷正是研究了傅里葉級數(shù)理論之后才提出了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中通用的函數(shù)定義．1854年 G．F．B．黎曼(Riemann)在討論傅里葉級數(shù)的文章中第一次闡述了現(xiàn)代數(shù)學(xué)通用的積分定義．1861年魏爾斯特拉斯運(yùn)用三角級數(shù)構(gòu)造出處處連續(xù)而處處不可微的特殊函數(shù)．正是從傅里葉級數(shù)提出來的許多問題直接引導(dǎo)狄利克雷、黎曼 G．G．斯托克斯(Stokes)以及從 H．E．海涅．(Heine)直至 G．康托爾(Cantor)、H．L．勒貝格(Lebesque)、F．里斯(Riesz)和E．費(fèi)希(Fisch)等人在實(shí)變分析的各個(gè)方面獲得了卓越的研究成果，并且導(dǎo)致一些重要數(shù)學(xué)分支，如泛函分析、集合論等的建立．傅里葉的工作對純數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了如此深遠(yuǎn)的影響，這是傅里葉本人及其同時(shí)代人都難以預(yù)料到的，而且，這種影響至今還在發(fā)展之中． 傅里葉之所以能取得富有如此深刻內(nèi)容的成就，正如撰寫過傅里葉傳記的兩位作者所說：這只有富于生動(dòng)的想象力和具有適合其工作的清醒的數(shù)學(xué)哲學(xué)頭腦的數(shù)學(xué)大師才能達(dá)到．從傅里葉的著作中，我們看到：他堅(jiān)信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最富饒的源泉”．這一見解是傅里葉一生從事學(xué)術(shù)研究的指導(dǎo)性觀點(diǎn)，而且已經(jīng)成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過研究實(shí)際問題發(fā)展數(shù)學(xué)(包括應(yīng)用數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué))的一派數(shù)學(xué)家的代表性格言． 傅里葉的研究成果又是表現(xiàn)數(shù)學(xué)的美的典型，傅里葉級數(shù)被一些科學(xué)家稱頌為“一首數(shù)學(xué)的詩”．他的工作還引起了他的同時(shí)代的哲學(xué)家的重視．法國哲學(xué)家、實(shí)證主義的創(chuàng)始人 A．孔德(Comte)在《實(shí)證哲學(xué)教程》(Cours de philosophie positive，1842)中，把牛頓的力學(xué)理論和傅里葉的熱傳導(dǎo)理論都看作是實(shí)證主義基本觀點(diǎn)在科學(xué)中的重要印證．而辯證唯物主義哲學(xué)家 F．恩格斯(Engels)則把傅里葉的數(shù)學(xué)成就與他所推崇的哲學(xué)家 G．W．F．黑格爾(Hegel)的辯證法相提并論，他寫道：傅里葉是一首數(shù)學(xué)的詩，黑格爾是一首辯證法的詩． |
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