傅立葉級(jí)數(shù)實(shí)在是我最痛恨的一種學(xué)問之一，來得突兀之至，一點(diǎn)兆頭都沒有，課本上就突然告訴我說世界上的函數(shù)啊，都可以表示成這樣一種級(jí)數(shù)。TMD，為什么？每每想到這里，就不由得怒從心頭起，惡向膽邊生，總想把數(shù)學(xué)分析課本付之一炬。在燒與忍住不燒之間徘徊掙扎了苦久，終于數(shù)學(xué)分析這門課也已經(jīng)結(jié)束了，后來也就不再去翻那些比星爺還無厘頭的書了?？尚Α澜缟献罹伦钪v究邏輯的一門學(xué)問，在中國(guó)變成了最沒有道理，最蠻橫，最無厘頭的學(xué)問，然后還看到好多大學(xué)的老師抱怨學(xué)生不認(rèn)真學(xué)習(xí)。我真想請(qǐng)問，這種背結(jié)論的課我學(xué)好了干嘛？如果只是徒然背結(jié)論，那一本數(shù)學(xué)手冊(cè)豈不比花偌大時(shí)光去背這些無厘頭的東西好多了？老實(shí)說，傅立葉級(jí)數(shù)我當(dāng)年也曾好好地看過幾回，可是實(shí)在是搞不明白他是怎么來的。翻遍了書店和圖書館也不見有講的。終于還是在外國(guó)人的教材上看到了原來傅立葉級(jí)數(shù)是大大的有道理的。
這本書名字叫做<patial differential equations an introduction>，就是偏微分方程導(dǎo)論。作者是Walter A.Strauss。
如果你也真正疑惑于傅立葉級(jí)數(shù)這樣一種玩竟兒，極力推薦看一下。我就把里面比較重要的一些點(diǎn)選譯在下面，希望能說得明白，當(dāng)然下面的文字中只有最關(guān)鍵的文字才是書上的，其他的更多的是我自己的理解，還請(qǐng)各位看官多多指正。
還是從牛頓說起吧，微積分是牛頓還是萊布尼茲發(fā)明的，歷史上有很大的爭(zhēng)論，但是，我個(gè)人認(rèn)為，即便是萊布尼茲所發(fā)明，牛頓只是拿來用一下，老牛還是很牛的。因?yàn)樗麑懥嗽磉@本書，把數(shù)學(xué)分析的方法引入了物理問題的研究之中，這確實(shí)可以說是一項(xiàng)偉大的工作了。我沒讀過原理這本書，據(jù)說牛頓第二定律是寫成了F等于質(zhì)量乘以路程的二階導(dǎo)數(shù)(據(jù)說牛頓那時(shí)候是把導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)的)，而不是我上高中的時(shí)候?qū)W的那個(gè)加速度a。也就是牛頓是利用二階微分方程表示牛頓第二定律的，在解方程的過程中，自然的就可以計(jì)算速度，位移等等的物理量，省去了很多描述上的麻煩，為研究更加復(fù)雜的情況提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。在牛頓所建立起來的這種框架之下，后人們不斷發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，而新的規(guī)律也總是可以表示為各種各樣的微分方程，于是經(jīng)典物理便一點(diǎn)點(diǎn)擴(kuò)充起來了。從這個(gè)角度來說牛頓是近代物理之父那是一點(diǎn)也不錯(cuò)的。
正是在建立經(jīng)典物理學(xué)的過程之中，傅立葉在研究熱的傳播時(shí)，伯努利（伯努利家是數(shù)學(xué)世家，他們爺們我一個(gè)也搞不清，統(tǒng)稱為伯努利，總之是錯(cuò)不了的）在研究波的傳播和擴(kuò)散時(shí)，都得到了以下的偏微分方程（這個(gè)推導(dǎo)在物理課本上有，國(guó)內(nèi)的諸多教材都有推導(dǎo)，也不是很難，不是這篇文章關(guān)注的焦點(diǎn)，就略提一下，不詳談了）：
(1)
當(dāng)然，這個(gè)方程的第二個(gè)式子和第三個(gè)式子是偏微分方程的初值和邊值條件，現(xiàn)在這個(gè)被稱做是狄利克萊條件。在不同的場(chǎng)合下，初邊值一般是不同的，比如其他還有紐曼條件，羅賓條件等，但是方程的解法卻是大同小異。
傅立葉又是怎么解這個(gè)方程的呢。OK，接下來就來看看傅立葉是怎樣給這個(gè)方程的解加上自己的名字的。
在上面這個(gè)方程的推導(dǎo)過程中，傅立葉發(fā)現(xiàn)，這個(gè)解u其實(shí)可以表示為X(x)·T(t)，如果哪位仁兄想問為什么，只好請(qǐng)您再屈駕看一下物理課本了。u=X(x)T(t)代入上述方程就可以得到
（其中λ是一個(gè)常數(shù)。因?yàn)?nbsp;
)
行了，現(xiàn)在得到兩個(gè)二階常微分方程，自己都會(huì)解了。經(jīng)過一番嘗試，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)λ>0時(shí)，這兩個(gè)方程的解才會(huì)有一些意義。我們就來看一看吧，現(xiàn)在已經(jīng)假設(shè)λ=β*β>0并且β>0
那么這個(gè)常微分方程組的解就具有以下形式
其中A，B，C，D都是常數(shù)。
第二步就是把邊界條件加進(jìn)來
對(duì)于C=D=0這樣的平凡解，我們當(dāng)然不感興趣，所以我們還是讓?duì)?/span>l=nπ
A和B是一些確定的常數(shù)，這些解的和仍然是一個(gè)解，所以任意的有限和是原方程的一個(gè)解
呵呵，到此為止，看到傅立葉級(jí)數(shù)了。接下的任務(wù)就是計(jì)算A和B。
幸好，我們有以下規(guī)律
于是，有以下推導(dǎo)
(2)
有了這個(gè)公式以后，方程（1）的解才算是完全地得到了。
接下來，人們自然會(huì)想，那么什么樣的函數(shù)才可以用傅立葉級(jí)數(shù)來表示呢？經(jīng)過近一個(gè)世紀(jì)的爭(zhēng)論，才驚訝地知道原來所有函數(shù)都可以表示為傅立葉級(jí)數(shù)（這句話大有問題，但是像我這樣的升斗小民也就只能把所有可積函數(shù)理解為黎曼可積的了）。
這個(gè)問題的證明思路也不難，那就是用公式（2）把一個(gè)普通函數(shù)強(qiáng)行化為傅立葉級(jí)數(shù)，再證明這個(gè)級(jí)數(shù)收斂甚至是一致收斂就可以了。
說到這里，可以總結(jié)一下了。傅立葉研究一個(gè)物理過程，得到了一個(gè)偏微分方程，用特殊的方法去處理這個(gè)方程，發(fā)現(xiàn)解是三角函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。而它就是后來被稱做傅立葉級(jí)數(shù)的東西。進(jìn)一步又發(fā)現(xiàn)，隨便一個(gè)函數(shù)都可以用公式（2）處理成傅立葉級(jí)數(shù)，再一研究又發(fā)現(xiàn)這個(gè)級(jí)數(shù)竟收斂于原來的函數(shù)。于是這個(gè)意義就大了。在通訊的時(shí)候可以說成是任何信號(hào)都可以表示成幾個(gè)三角函數(shù)的疊加（因?yàn)槭諗?，所以取有限和便可以很好地達(dá)到實(shí)際應(yīng)用時(shí)的精度要求），而三角函數(shù)的信號(hào)是最容易產(chǎn)生的。這在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)都是通訊的基礎(chǔ)。
整個(gè)推導(dǎo)過程其實(shí)是很細(xì)致的，我能寫下以上文字已是很吃力了，中間有很多模糊的地方，現(xiàn)在看來也只好這樣了。
