第2課時(shí)　反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用

1．使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握反比例函數(shù)及其圖象與性質(zhì)；(重點(diǎn))

2．深刻領(lǐng)會(huì)函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法；(重點(diǎn))

3．探索反比例函數(shù)和一次函數(shù)、幾何圖形以及圖形面積的綜合應(yīng)用．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

　　 如圖所示，對(duì)于反比例函數(shù)y＝(k>0)，在其圖象上任取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PQ⊥x軸于Q點(diǎn)，并連接OP.

 　　試著猜想△OPQ的面積與反比例函數(shù)的關(guān)系，并探討反比例函數(shù)y＝(k≠0)中k值的幾何意義．

二、合作探究

探究點(diǎn)一：反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義

 如圖所示，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，AC垂直x軸于點(diǎn)C，且△AOC的面積為2，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式．

解析：先設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后用點(diǎn)A的坐標(biāo)表示△AOC的面積，進(jìn)而求出k的值．

解：∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴x_A·y_A＝k，∴S_△AOC＝·k＝2，∴k＝4，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝.

方法總結(jié)：過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段與坐標(biāo)軸和向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形的面積等于|k|的一半．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題

探究點(diǎn)二：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用

【類型一】 利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小

 若M(－4，y₁)、N(－2，y₂)、P(2，y₃)三點(diǎn)都在函數(shù)y＝(k＜0)的圖象上，則y₁，y₂，y₃的大小關(guān)系為(　　)

A．y₂＞y₃＞y₁  B．y₂＞y₁＞y₃

C．y₃＞y₁＞y₂  D．y₃＞y₂＞y₁

解析：∵k＜0，故反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大．∵M(－4，y₁)、N(－2，y₂)是雙曲線y＝(k＜0)上的兩點(diǎn)，∴y₂>y₁>0.∵2＞0，P(2，y₃)在第四象限，∴y₃＜0.故y₁，y₂，y₃的大小關(guān)系為y₂＞y₁＞y₃.故選B.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)的解析式是y＝(k≠0)，當(dāng)k＜0時(shí)，圖象在第二、四象限，且在每個(gè)現(xiàn)象內(nèi)y隨x的增大而增大；當(dāng)k＞0，圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減?。?/span>

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第8題

【類型二】 利用反比例函數(shù)計(jì)算圖形的面積

 如圖，直線l和雙曲線y＝(k＞0)交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB上的點(diǎn)(不與A、B重合)，過點(diǎn)A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別是C、D、E，連接OA、OB、OP，設(shè)△AOC的面積是S₁，△BOD的面積是S₂，△POE的面積是S₃，則(　　)

A．S₁＜S₂＜S₃

B．S₁＞S₂＞S₃

C．S₁＝S₂＞S₃

D．S₁＝S₂＜S₃

解析：如圖，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B在雙曲線y＝上，∴S₁＝k，S₂＝k，S₁＝S₂.∵點(diǎn)P在雙曲線的上方，∴S₃＞k，∴S₁＝S₂＜S₃.故選D.

方法總結(jié)：在反比例函數(shù)的圖象上任選一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升” 第2題

【類型三】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

 函數(shù)y＝的圖象與直線y＝－x沒有交點(diǎn)，那么k的取值范圍是(　　)

A．k＞1  B．k＜1

C．k＞－1  D．k＜－1

解析：直線y＝－x經(jīng)過第二、四象限，要使兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)，那么函數(shù)y＝的圖象必須位于第一、三象限，則1－k＞0，即k＜1.故選B.

方法總結(jié)：判斷正比例函數(shù)y＝k₁x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可總結(jié)為：①當(dāng)k₁與k₂同號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y＝k₁x與反比例函數(shù)y＝有2個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)k₁與k₂異號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y＝k₁x與反比例函數(shù)y＝沒有交點(diǎn)．

【類型四】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題

 如圖，已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)y＝(m＜0)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D.

(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；

(2)求一次函數(shù)解析式及m的值；

(3)P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解析：(1)觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)－4＜x＜－1時(shí)，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方；(2)先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，然后把A點(diǎn)或B點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝可計(jì)算出m的值；(3)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用△PCA與△PDB的面積相等列方程求解，從而可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：(1)當(dāng)－4＜x＜－1時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；

(2)把A(－4，)，B(－1，2)代入y＝kx＋b中得解得所以一次函數(shù)解析式為y＝x＋，把B(－1，2)代入y＝中得m＝－1×2＝－2；

(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(t，t＋)，∵△PCA和△PDB的面積相等，∴××(t＋4)＝×1×(2－t－)，即得t＝－，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)．

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)所包含的信息．本題也考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題

三、板書設(shè)計(jì)

1．反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義；

2．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；

3．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．

本節(jié)課主要是要注重提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要思想，也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)突破口．在教學(xué)中要加強(qiáng)這方面的指導(dǎo)，使學(xué)生牢固掌握基本知識(shí)，提升基本技能，提高數(shù)學(xué)解題能力.