反比例函數(shù)

易錯(cuò)清單

1. 利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)關(guān)系式.

【例1】　(2014·廣東梅州)已知反比例函數(shù)

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1).

(1)求該函數(shù)的表達(dá)式;

(2)當(dāng)2<>4時(shí),求y的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果).

【解析】　(1)利用待定系數(shù)法把(2,1)代入反比例函數(shù)y=中可得k的值,進(jìn)而得到解析式;

(2)根據(jù)y=可得x=,再根據(jù)條件2<>4可得24,再解不等式即可.

【答案】　(1)∵　 反比例函數(shù)

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1).∴　 k=2×1=2,

∴　該函數(shù)的表達(dá)式為

.

(2)

,

∵　2<>4,

解得

.

【誤區(qū)糾錯(cuò)】　此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,以及反比例函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是正確確定函數(shù)解析式.注意在求不等式的解時(shí)不能出錯(cuò).

2. 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【例2】　(2014·湖南婁底)如圖,M為反比例函數(shù)

的圖象上的一點(diǎn),MA垂直y軸,垂足為A,△MAO的面積為2,則k的值為 .

【解析】　根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得到

|k|=2,然后去絕對(duì)值得到滿足條件的k的值.

【答案】　∵　MA垂直y軸,

∴　S△AOM=

|k|,

∴　

|k|=2,即|k|=4.

而k>0,∴　k=4.

【誤區(qū)糾錯(cuò)】　本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義:在反比例函數(shù)

的圖象中任取一點(diǎn),過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.

3. 利用數(shù)形結(jié)合解決反比例函數(shù)與不等式相關(guān)問(wèn)題.

【例3】　(2014·四川南充)如圖,一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象相交于點(diǎn)A(2,5)和點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C(0,7).

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)x取何值時(shí),y1<>2.

【解析】　(1)將點(diǎn)C、點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得k,b的值,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得m的值,繼而可得兩函數(shù)解析式;

(2)尋找滿足使一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下面的x的取值范圍.

∴　一次函數(shù)解析式為y=-x+7.

將點(diǎn)(2,5)代入反比例函數(shù)解析式

,

∴　m=10.

∴　反比例函數(shù)解析式為

.

∴　點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,2),

當(dāng)0<>2或x>5時(shí),y1<>2.

【誤區(qū)糾錯(cuò)】　本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)立解析式,求出交點(diǎn)坐標(biāo).本題在寫(xiě)取值范圍時(shí)容易出錯(cuò).

4. 反比例函數(shù)和幾何圖形相結(jié)合問(wèn)題.

【例4】　(2014·四川遂寧)已知:如圖,反比例函數(shù)y=

的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交于點(diǎn)A(1,4)、點(diǎn)B(-4,n).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

(2)求△OAB的面積;

(3)直接寫(xiě)出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.

【解析】　(1)把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出A的坐標(biāo),把A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出即可;

(2)求出直線AB與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo),求出△ACO和△BOC的面積相加即可;

(3)根據(jù)A,B的坐標(biāo)結(jié)合圖象即可得出答案.

(2)如圖,當(dāng)x=-4時(shí),y=-1,B(-4,-1),

當(dāng)y=0時(shí),x+3=0,x=-3,故C(-3,0).

(3)∵　B(-4,-1),A(1,4),

∴　根據(jù)圖象可知:當(dāng)x>1或-4<>0時(shí),一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值.

【誤區(qū)糾錯(cuò)】　本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式,三角形的面積,一次函數(shù)的圖象等知識(shí)點(diǎn),用了數(shù)形結(jié)合思想.

名師點(diǎn)撥

1. 掌握反比例函數(shù)的定義,會(huì)判斷反比例函數(shù).

2. 會(huì)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.

3. 會(huì)畫(huà)反比例函數(shù)的圖象并能說(shuō)明其性質(zhì).

4. 借助函數(shù)思想解決實(shí)際問(wèn)題.

提分策略

1. 反比例函數(shù)值的大小比較.

比較反比例函數(shù)值的大小,在同一個(gè)象限內(nèi)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)比較,在不同象限內(nèi),不能按其性質(zhì)比較,函數(shù)值的大小只能根據(jù)特征確定.

A. 負(fù)數(shù)B. 非正數(shù)

C. 正數(shù)D. 不能確定

又　點(diǎn)(-1,y1)和均位于第二象限,-1<>,

∴　y1<>2.

∴　y1-y20,即y1-y2的值是負(fù)數(shù).

【答案】　A

2. 與反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積的求法.

過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線,所得矩形面積為|k|,是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn).這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,做此類題一定要正確理解反比例函數(shù)y=(k≠0)中k的幾何意義.

【例2】　如圖,點(diǎn)B在反比例函數(shù)

(x>0)的圖象上,橫坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)B分別向x軸,y軸作垂線,垂足分別為A,C,則矩形OABC的面積為( ).

A. 1B. 2

C. 3D. 4

【解析】　∵　點(diǎn)B在反比例函數(shù)

(x>0)的圖象上,過(guò)點(diǎn)B分別向x軸,y軸作垂線,垂足分別為A,C,故矩形OABC的面積S=|k|=2.

【答案】　B

3. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題解法.

主要題型:利用k值與圖象的位置關(guān)系綜合確定系數(shù)的符號(hào)或圖象位置;已知直線與雙曲線表達(dá)式求交點(diǎn)坐標(biāo);用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達(dá)式;應(yīng)用函數(shù)圖象性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例值的大小等.解題時(shí),一定要靈活運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識(shí),并結(jié)合圖象分析、解答問(wèn)題.

【例3】　如圖,一次函數(shù)y=-x+2的圖象與反比例函數(shù)

的圖象交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于D點(diǎn),且C,D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.

(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求△ABC的面積.

【解析】　(1)根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題得到方程組然后解方程組

即可得到A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)先利用x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定D點(diǎn)坐標(biāo),再利用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到C點(diǎn)坐標(biāo),然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD進(jìn)行計(jì)算.

(3)根據(jù)坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)換可得出AC,BD的長(zhǎng),然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.

【答案】　(1)根據(jù)題意,得解方程組

,得或

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1).

(2)把y=0代入y=-x+2,得-x+2=0,解得x=2,

所以D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

因?yàn)?em>C,D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,

所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0).

所以S△ABC=S△ACD+S△BCD

4. 利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.

把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立反比例函數(shù)模型,即列出符合題意的反比例函數(shù)解析式,然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)綜合方程(組)、不等式(組)及圖象求解.

【例4】　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小時(shí)內(nèi)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)與時(shí)間x(時(shí))的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y=-200x2+400x刻畫(huà);1.5小時(shí)后(包括1.5小時(shí))y與x可近似地用反比例函數(shù)

(k>0)刻畫(huà)(如圖所示).

(1)根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計(jì)算:

①喝酒后幾時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值?最大值為多少?

②當(dāng)x=5時(shí),y=45,求k的值.

(2)按國(guó)家規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時(shí)屬于'酒后駕駛',不能駕車上路.參照上述數(shù)學(xué)模型,假設(shè)某駕駛員晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否駕車去上班?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】　(1)①利用y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200確定最大值;

②直接利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可;

(2)求出x=11時(shí),y的值,進(jìn)而得出能否駕車去上班.

【答案】　(1)①y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200,

∴　喝酒后1時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值,最大值為200(毫克/百毫升).

②∵　當(dāng)x=5時(shí),y=45,y=(k>0),

∴　k=xy=45×5=225.

(2)不能駕車上班.

理由如下

∵　晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小時(shí),

∴　第二天早上7:00不能駕車去上班.

5. 利用反比例函數(shù)與幾何知識(shí)相結(jié)合解題.

在近幾年的中考題目中,常常把幾何知識(shí)和反比例函數(shù)相結(jié)合在一起,綜合性強(qiáng),對(duì)學(xué)生的思維能力要求高.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉常見(jiàn)幾何圖形的特征,將幾何圖形的隱含性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)知識(shí)挖掘出來(lái).

【例5】　如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)

(x>0)的圖象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x軸,且AB=2,AD=4,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,6).

(1)直接寫(xiě)出B,C,D三點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若將矩形向下平移,矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖象上,猜想這是哪兩個(gè)點(diǎn),并求矩形的平移距離和反比例函數(shù)的解析式.

【解析】　先根據(jù)矩形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)得到B,C,D三點(diǎn)的坐標(biāo),再?gòu)木匦蔚钠揭七^(guò)程發(fā)現(xiàn)只有A、C兩點(diǎn)能同時(shí)在雙曲線上,把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入

中,得到關(guān)于a,k的方程組,從而求得k的值.

【答案】　(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).

如圖,矩形ABCD平移后得到矩形A'B'C'D',

設(shè)平移距離為a,則A'(2,6-a),C'(6,4-a).

∵　點(diǎn)A',點(diǎn)C'在

的圖象上,

∴　2(6-a)=6(4-a), 解得a=3.

∴　點(diǎn)A'(2,3).

∴　反比例函數(shù)的解析式為

.

專項(xiàng)訓(xùn)練

一、 選擇題

1. (2014·江蘇泰州二中模擬)如圖,已知點(diǎn)(m,y1),(m-3,y2),(m-4,y3)在反比例函數(shù)

的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是( ).

A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3

C. y1>y3>y2D. y3>y2>y1

(第1題)

(第2題)

2. (2014·山東濟(jì)南二模)如圖,過(guò)x軸正半軸上的任意一點(diǎn)P,作y軸的平行線,分別與反比例函數(shù)

的圖象交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn),連接AC,BC,則△ABC的面積為( ).

A. 3 B. 4 C. 5 D. 10

3. (2013·新疆石河子中考一模)如圖,矩形ABOC的面積為3,反比例函數(shù)

的圖象過(guò)點(diǎn)A,則k的值為( ).

(第3題)

A. 3B. -1.5

C. -3D. -6

二、 填空題

4. (2014·安徽安慶正月21校聯(lián)考)如圖,點(diǎn)P1(x1,y1),點(diǎn)P2(x2,y2),…,點(diǎn)Pn(xn,yn)在函數(shù)

(x>0)的圖象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜邊OA1,A1A2,A2A3,…,An-1An都在x軸上(n是大于或等于2的正整數(shù)),則點(diǎn)P3的坐標(biāo)是 ;點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是 (用含n的式子表示).

(第4題)

5. (2013·江西高安模擬)一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì):①它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1);②它的圖象在第二、四象限內(nèi);③在每個(gè)象限內(nèi),函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,則這個(gè)函數(shù)的解析式可以為 .

三、 解答題

7. (2014·江蘇大豐模擬)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)

的圖象交于A(-2,1),B(1,m)兩點(diǎn).

(1)試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式;

(2)求△AOB的面積.

(第7題)

8. (2013·河北一模)如圖,一次函數(shù)y=mx+5的圖象與反比例函數(shù)

(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1,n)和B(4,1)兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線,垂足為M.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

(2)求△OAM的面積S;

(3)在y軸上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小.

參考答案與解析

1. C　[解析]根據(jù)圖形,得0<>11,

∴　1<>2,則點(diǎn)(m,y1)在第一象限,而點(diǎn)(m-3,y2),(m-4,y3)在第三象限.

2. C　[解析]△ABC的面積

3. C　[解析]根據(jù)矩形面積,得x與y的積等于3,圖象過(guò)第二象限,所以k=-3.

[解析]過(guò)點(diǎn)P1,P2向x軸作垂線,分別求出這二點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)在y=-x-1中,當(dāng)y=0時(shí),得x=-1.

∴　直線y=-x-1與x軸的交點(diǎn)為C(-1,0).

∵　線段OC將△AOB分成△AOC和△BOC,