文：Natalie Paquette 

翻譯： 安宇森

譯者序：

本文作者NataliePaquette是加州理工學(xué)院的一名博士后研究員。這篇精彩的文章涵蓋了數(shù)學(xué)物理的諸多領(lǐng)域，介紹了其中令人拍案叫絕的科研進(jìn)展。通過(guò)拓?fù)鋱?chǎng)論，Donaldson理論，枚舉幾何，魔群月光等方向，展示了數(shù)學(xué)和物理之間深刻的相似性，體現(xiàn)了物理學(xué)的思想對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的啟發(fā)。是一篇不可多得的數(shù)學(xué)物理科普佳作。

弦理論是一個(gè)引力的量子理論。Albert Einstein的廣義相對(duì)論可以從弦論的方程中自然的衍生出來(lái)。這個(gè)結(jié)果是自洽的，因?yàn)樗挠?jì)算并不會(huì)導(dǎo)致發(fā)散。弦理論也許是唯一自洽的引力的量子理論。如果它是對(duì)的，那么它將具有巨大的價(jià)值。無(wú)論它是不是對(duì)的，弦理論都無(wú)疑是數(shù)學(xué)中許多驚人的想法的來(lái)源。這是非常奇怪的一件事。因?yàn)橹翱偸菙?shù)學(xué)影響物理學(xué)。當(dāng)愛(ài)因斯坦努力的想要表達(dá)廣義相對(duì)論的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn)他需要的工具早在60年前就已經(jīng)被黎曼創(chuàng)造出來(lái)了。這是個(gè)典型的例子。并且數(shù)學(xué)家在物理學(xué)家開(kāi)始用群論之前早就發(fā)現(xiàn)了它。而在弦理論中，這卻是反過(guò)來(lái)的。物理學(xué)將它尊貴的想法提供給了數(shù)學(xué)。這個(gè)結(jié)果就是Greg Moore所說(shuō)的物理數(shù)學(xué)。

我們總是在平直的空間背景下發(fā)現(xiàn)物理。彈力球是圓的，但是桌子是平的。在地球表面做實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，我們認(rèn)為地球的曲率是可以忽略的，將三維的歐式空間作為我們的背景。從球面推到環(huán)面，再繼續(xù)推廣，我們可以在更多的形狀上研究物理系統(tǒng)。這些提供了一個(gè)不同且令人興奮的理解物理的方式。一個(gè)被束縛在有磁場(chǎng)流通過(guò)的球上的電子只能占據(jù)特定的量子化的能級(jí)。相似的，一個(gè)環(huán)面有兩個(gè)非平庸的環(huán)路（cycle）。弦的纏繞數(shù)記錄了它在每個(gè)環(huán)路（cycle）中繞了多少次。

量子力學(xué)是一回事，狹義相對(duì)論是另一回事。這些理論不是自然的共存的。正統(tǒng)的量子力學(xué)不允許粒子的產(chǎn)生和湮滅。狹義相對(duì)論支持它們。我們需要引入場(chǎng)來(lái)處理這個(gè)不一致。量子場(chǎng)論是滿(mǎn)足狹義相對(duì)論的量子力學(xué)系統(tǒng)。標(biāo)準(zhǔn)模型是一個(gè)量子場(chǎng)論。物理學(xué)家總是給量子場(chǎng)論以額外的對(duì)稱(chēng)性。例如，超對(duì)稱(chēng)理論要求粒子是配對(duì)的。對(duì)于每個(gè)玻色粒子總有一個(gè)費(fèi)米子作為超伙伴。

超對(duì)稱(chēng)場(chǎng)論有一個(gè)令人沮喪的障礙。假設(shè)一個(gè)超對(duì)稱(chēng)量子場(chǎng)論定義在一個(gè)一般的彎曲流形上。牛頓物理的歐式度規(guī)和狹義相對(duì)論的洛倫茲度規(guī)被流形自己的度規(guī)代替。超荷對(duì)應(yīng)于守恒的Killing旋量。在平空間下Killing旋量方程的解有很多，但是在彎曲空間下這個(gè)解變的非常的有限。它們太有限了，以至于一般情況下是沒(méi)有解的。將一個(gè)平空間的超對(duì)稱(chēng)場(chǎng)論推廣到一般的彎曲流形上破缺了所有的超對(duì)稱(chēng)?？ɡ龋鹆餍危鼈兪菨M(mǎn)足特定的平直性質(zhì)-----里奇平直性，一種弱化了的平直性的流形。它們?cè)试S有守恒的Killing旋量。

但是球面沒(méi)有這樣的解。

上世紀(jì)80年代，Edward Witten給物理學(xué)家介紹了拓?fù)渑ぷ?。一個(gè)扭變可以成功的將超對(duì)稱(chēng)場(chǎng)論耦合到彎曲流形上。選取正確的扭變，Killing旋量方程的非平庸解就會(huì)出現(xiàn)。這很大程度上是一種營(yíng)救措施，我們拯救了一部分在平空間中發(fā)現(xiàn)的超對(duì)稱(chēng)。扭變理論中的物理觀測(cè)量就是非扭變理論中出現(xiàn)的觀測(cè)量的子集。盡管非扭變理論中的觀測(cè)量，在諸多因素中，依賴(lài)于背景流形的精確幾何結(jié)構(gòu)，出現(xiàn)在扭變理論中的子集只依賴(lài)于流形拓?fù)浞矫娴募?xì)節(jié)。

這是重要的，并且在數(shù)學(xué)上也是重要的。

拓?fù)渑ぷ儓?chǎng)論有時(shí)也被叫做上同調(diào)場(chǎng)論。這個(gè)扭變給這一個(gè)理論提供了格拉斯曼或者反對(duì)易的標(biāo)量對(duì)稱(chēng)性Q。物理可觀測(cè)量在這個(gè)對(duì)稱(chēng)性的上同調(diào)中。度規(guī)的變形對(duì)于Q算子是恰當(dāng)?shù)?，它立刻?qiáng)化了理論的關(guān)聯(lián)函數(shù)的度規(guī)無(wú)關(guān)性。對(duì)于Q操作閉的場(chǎng)的關(guān)聯(lián)函數(shù)某些時(shí)候可以通過(guò)強(qiáng)大的超對(duì)稱(chēng)局域化的技術(shù)來(lái)精確計(jì)算。

這些可以計(jì)算的關(guān)聯(lián)函數(shù)是拓?fù)浠蛘邘缀蔚牟蛔兞?。即使不考慮物理，這些不變量依然是許多數(shù)學(xué)課題的焦點(diǎn)。

Edward Witten

四維幾何具有豐富的特殊結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)家的第一要?jiǎng)?wù)是通過(guò)對(duì)四維流形進(jìn)行分類(lèi)來(lái)給這個(gè)豐富的結(jié)構(gòu)賦予秩序。不是每件事都馬上要做。關(guān)鍵的事情要先做。例如什么時(shí)候兩個(gè)流形是拓?fù)涞葍r(jià)的，即同胚的。在1982年，Michael Feedman展示了兩個(gè)流形是同胚的當(dāng)且僅當(dāng)它們?cè)冢ㄉ希┩{(diào)格子里有著相同的相交形式（intersection form）。其次重要的是，同胚的流形不一定是微分同胚的。作為光滑流形它們不是等價(jià)的。光滑性給流形之間提出了新的層面上的問(wèn)題。如何分辨相互之間同胚但不是微分同胚的流形和相互之間微分同胚的流形？1983年，Donaldson在四維光滑流形中引入了一系列的不變量，用以區(qū)分同胚但不是微分同胚的流形。Donaldson不變量有著嚴(yán)格的幾何定義，但是它們卻受到了楊米爾斯規(guī)范理論的瞬子構(gòu)形的啟發(fā)。這個(gè)構(gòu)形是理論的運(yùn)動(dòng)方程的解。在數(shù)學(xué)家之間，這個(gè)解叫做反自對(duì)偶聯(lián)絡(luò)。

給定一個(gè)李群G和M上的一個(gè)主叢P。聯(lián)絡(luò)是A，這個(gè)量可以和平移的概念結(jié)合起來(lái)。物理學(xué)家把A叫做規(guī)范場(chǎng)，就像所有其他的場(chǎng)一樣，A在路徑積分中是允許漲落的。M上還有其他自然的矢量叢。通過(guò)應(yīng)用G的主叢，這些是和G的表示相關(guān)的伴叢。它們的聯(lián)絡(luò)可以從A誘導(dǎo)出來(lái)。物理學(xué)家把這看作物質(zhì)場(chǎng)。A的曲率是一個(gè)叫做規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)的二形式，它可能會(huì)分解成自對(duì)偶和反自對(duì)偶的分量。如果一個(gè)場(chǎng)強(qiáng)是完全反自對(duì)偶的，那么它們?cè)贛上的積分是一個(gè)正整數(shù)，叫做瞬子數(shù)。反自對(duì)偶聯(lián)絡(luò)使楊米爾斯作用量取極小值，因此不同的瞬子數(shù)標(biāo)志著不同的拓?fù)浞种?，或者叫做?chǎng)構(gòu)形空間中的不同區(qū)域。對(duì)于一個(gè)固定的瞬子數(shù)，對(duì)于可能的反自對(duì)偶（ASD）聯(lián)絡(luò)存在一個(gè)抽象的幾何空間－－瞬子?？臻g。在最簡(jiǎn)單的情況下，?？臻g的方向?qū)?yīng)于一些參數(shù)，例如瞬子的空間位置。

Donaldson用微分形式的積分定義了他的拓?fù)洳蛔兞?。微分形式的積分并不比高等微積分更為復(fù)雜，但是Donaldson對(duì)于這些技術(shù)的使用給人最為印象深刻的一點(diǎn)是，他決定在反自對(duì)偶（ASD）聯(lián)絡(luò)的?？臻g下計(jì)算這些積分。Donaldson也構(gòu)造了一個(gè)映射來(lái)從M的同調(diào)群中得到合適的微分形式。

在理解Donaldson不變量的過(guò)程中，物理學(xué)家挖到寶了。他們提供了一個(gè)實(shí)際的計(jì)算，和在完成證明中需要的幾個(gè)重要概念。M上的Donaldson不變量能夠被整理成Donaldson-Witten生成函數(shù)。“Donaldson－Witten”中的Witten是Edward Witten，唯一一個(gè)得到了菲爾茲獎(jiǎng)的物理學(xué)家。

在1994年，Witten給數(shù)學(xué)家引入了楊－米爾斯的扭變超對(duì)稱(chēng)版本，將這個(gè)理論放在了彎曲的四維流形上。這個(gè)結(jié)果是Donaldson-Witten理論。Donaldson不變量變成了扭變楊米爾斯的關(guān)聯(lián)函數(shù)。每個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)用來(lái)計(jì)算Donaldson-Witten生成函數(shù)的一個(gè)系數(shù)。Witten清楚具體的展示了拓?fù)鋱?chǎng)論中規(guī)范不變的多項(xiàng)式，以及它們的Q對(duì)稱(chēng)性，是如何生成Donaldson映射的像中所有的微分形式的。

Seiberg和Witten之后做了一個(gè)關(guān)于超對(duì)稱(chēng)規(guī)范理論的漂亮的工作，發(fā)現(xiàn)它們的行為等價(jià)于一個(gè)描述弱耦合磁單極的場(chǎng)論。這兩個(gè)看上去不同的物理系統(tǒng)之間的等價(jià)性叫做對(duì)偶。它們?cè)趫?chǎng)論和弦論中到處都是。這個(gè)系統(tǒng)的一種描述是容易研究的，而另一種通常不是。

Seiberg和Witten的工作導(dǎo)致了一類(lèi)新的可以計(jì)算的幾何不變量，叫做Seiberg-Witten不變量，它計(jì)數(shù)了磁單極方程的解。Witten描述道，這些不變量表達(dá)了Donaldson不變量能提供的所有信息，但是它們簡(jiǎn)單的磁單極描述使得Donaldson不變量的許多性質(zhì)非常的平常并且很容易計(jì)算。隔了幾周之后，Donaldson寫(xiě)道：“ 長(zhǎng)時(shí)間的問(wèn)題解決了，新的預(yù)想不到的結(jié)果發(fā)現(xiàn)了，已知的結(jié)果有了新的證明，研究的新天地打開(kāi)了?！?/p>

深刻而困難的數(shù)學(xué)想法的極端簡(jiǎn)化的版本是從理論物理中獲得的。數(shù)學(xué)家從沒(méi)想過(guò)可以得到它，而物理學(xué)家從沒(méi)想過(guò)可以給出它。

弦理論是在一個(gè)空間維度下延展的，并且在時(shí)空中運(yùn)動(dòng)。隨著它的運(yùn)動(dòng)，弦在時(shí)空中掃出了一個(gè)二維面，它的世界面。弦世界面的上的場(chǎng)論即是共形不變的又是超對(duì)稱(chēng)的。共形對(duì)稱(chēng)性和系統(tǒng)的尺度不變性有著密切的聯(lián)系。不論是放大還是縮小，這個(gè)系統(tǒng)總是不變的。

枚舉幾何是用來(lái)計(jì)數(shù)自然的幾何問(wèn)題中解的數(shù)量的學(xué)問(wèn)。在公元前200年，Apollonius 想要知道如何尋找在一個(gè)平面上和三個(gè)給定的圓同時(shí)相切的圓的個(gè)數(shù)?？偣灿?個(gè)。如果Apollonius活到現(xiàn)在，他可能想要問(wèn)有多少個(gè)面可以被鑲嵌到一個(gè)高維的流形里，例如卡拉比－丘流形。

在一個(gè)卡拉比－丘流形上傳播的弦可能會(huì)通過(guò)它對(duì)于復(fù)曲線的個(gè)數(shù)非常敏感這一點(diǎn)來(lái)探索這個(gè)幾何。這個(gè)信息非常的有用，因?yàn)榫褪沁@些數(shù)列舉了弦的世界面可能鑲嵌進(jìn)卡拉比－丘流形上的可能的方式。考慮一系列從黎曼面（或者叫世界面）到卡拉比－丘流形X的映射。描述它的二維的量子場(chǎng)論叫做超對(duì)稱(chēng)－非線性sigma理論。二維的玻色場(chǎng)可以理解成X上的局域的坐標(biāo)。費(fèi)米場(chǎng)和規(guī)范場(chǎng)映射到相應(yīng)的叢的截面上，作用量中的耦合常數(shù)是和X相關(guān)的幾何參數(shù)。玻色動(dòng)能項(xiàng)的耦合常數(shù)就是X上的度規(guī)。

弦理論針對(duì)于枚舉幾何有很多可以說(shuō)的，如果它能夠在sigma模型里分離出編碼流形上曲線數(shù)量的數(shù)據(jù)的話，就可以說(shuō)的更多。

有這個(gè)提取過(guò)程的印象，我們可以將非線性sigma模型進(jìn)行拓?fù)渑ぷ?。二維的拓?fù)渑ぷ兪强赡艿?，有A扭變和B扭變兩種方式，有A(X)和B(X)兩種理論。它們都是拓?fù)鋱?chǎng)論，可以用自身相應(yīng)的方式和Donaldson-Witten理論進(jìn)行對(duì)比。它們的關(guān)聯(lián)函數(shù)和二維的世界面上的度規(guī)是沒(méi)有關(guān)系的。另一方面，根據(jù)扭變，這些關(guān)聯(lián)函數(shù)有著不同的時(shí)空解釋?zhuān)恳粋€(gè)對(duì)應(yīng)于在非扭變模型里映射的不同的子集。A扭變將變量局域在了一個(gè)X上的全純映射中。而B(niǎo)扭變，局域化選取了常數(shù)映射。

盡管兩個(gè)扭變產(chǎn)生了看起來(lái)非常不同的理論，后來(lái)發(fā)現(xiàn)A和B扭變的區(qū)別只是符號(hào)的差別。在一個(gè)非扭變的理論中，有一個(gè)sigma模型之間的同構(gòu)映射，區(qū)別僅在于符號(hào)。一個(gè)sigma模型有一個(gè)靶空間卡拉比－丘流形X. 另一個(gè)則是卡拉比－丘空間Y。這個(gè)等價(jià)性叫做鏡像對(duì)稱(chēng)性。Y是X的鏡像。在扭變理論的層次上，這個(gè)等價(jià)性變成了等式A(X)=B(Y),.  因?yàn)槌?shù)映射很容易去研究而全純映射不那么容易，在B(Y)中計(jì)算物理量是計(jì)算A(X)中的物理量的一個(gè)有力的方法。

這導(dǎo)致了Gromov-Witten不變量，它直接和計(jì)數(shù)曲線有關(guān)。鏡像對(duì)稱(chēng)的威力第一次在簡(jiǎn)單的卡拉比丘流形五次型（quantic）中展現(xiàn)了出來(lái)。在流形中曲線的計(jì)數(shù)可以通過(guò)曲線的等級(jí)簡(jiǎn)化，然后變成一個(gè)用來(lái)表達(dá)每一級(jí)曲線數(shù)目的生成函數(shù)。曲線越復(fù)雜精巧，它的等級(jí)越高。隨著等級(jí)的升高，曲線的數(shù)目會(huì)激增。等級(jí)1的曲線就是直線，在五次型卡拉比丘空間中直線的數(shù)目很容易計(jì)算。這由Hermann Schubert在19世紀(jì)末就得到了。在五次型中有2875個(gè)復(fù)直線。在1986年，SheldonKalz確定了五次型包括609250條等級(jí)為2的曲線。

枚舉幾何的進(jìn)展是緩慢的，計(jì)算很快就變得非常繁瑣。如果任何人想要通過(guò)蠻力來(lái)數(shù)等級(jí)為3的曲線的數(shù)目，那么他的工作將是極其艱辛的。

Philip Candelas等人在1990s開(kāi)始研究五次型(quantic)上的弦論。他們是由鏡像對(duì)稱(chēng)性指引的。指定五次型為X，它的鏡像是Y?？紤]A（X），拉式量有一項(xiàng)是Q恰當(dāng)?shù)?，因此在算符的上同調(diào)類(lèi)中是平庸的。剩下的項(xiàng)是一個(gè)凱勒形式的積分，凱勒形式是一個(gè)微分形式。正是這一形式允許我們測(cè)量卡拉比丘流形X中的環(huán)的體積。A（X）只依賴(lài)于凱勒形式。A（X）上的關(guān)聯(lián)函數(shù)退化到全純映射空間下的積分，這正好和Gromov－Witten不變量一致。Sigma模型要求一個(gè)困難的非微擾修正的無(wú)窮級(jí)數(shù)。因?yàn)殓R像對(duì)稱(chēng)性的魔力，它們一定等價(jià)于B（Y）上的一個(gè)量，它們退化到恒等映射空間中的積分。這些積分正好就是經(jīng)典下精確叫做周期的量，這個(gè)量依賴(lài)于Y的復(fù)結(jié)構(gòu)。凱勒結(jié)構(gòu)控制著流形或者子流形的尺度，其上的復(fù)結(jié)構(gòu)和它的形狀。Candelas等人能夠計(jì)算Y的周期積分，用一個(gè)大膽的叫做鏡面映射的變量替換，通過(guò)在全純映射的等級(jí)下一級(jí)一級(jí)的做，來(lái)將答案進(jìn)行展開(kāi)來(lái)提取Gromov－Witten不變量。

緊接著就是物理數(shù)學(xué)的令人眩目的演出了

Candelas等人用鏡像流形中漫步的時(shí)候，數(shù)學(xué)家正在努力用他們復(fù)雜的工具和一系列天才的計(jì)算機(jī)程序來(lái)計(jì)數(shù)等級(jí)為3的曲線。Geir Ellingsrud and Stein Str?mme 猜測(cè)有 2,682,549,425 個(gè)這樣的曲線，解析的計(jì)算方法和證明這時(shí)沒(méi)用了，而簡(jiǎn)單粗暴的方法勝出了。他們?cè)诓死臄?shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)展示了這個(gè)結(jié)果。那是1991年，Candelas和他的同事表示異議，這個(gè)數(shù)是317206375.數(shù)學(xué)家很懷疑。在鏡像對(duì)稱(chēng)性中，物理學(xué)家用了數(shù)學(xué)家沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)的技巧。他們的計(jì)算依賴(lài)于一個(gè)非凡的猜想，在一個(gè)卡拉比丘流形中的經(jīng)典的周期積分等價(jià)于另外一個(gè)完全不同的卡拉比丘流形中計(jì)數(shù)的曲線數(shù)目。這個(gè)命題，如果是對(duì)的，就是革命性的。Ellingsrud和Stromme謹(jǐn)慎的檢查了他們的工作，然后在計(jì)算機(jī)程序中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤。

他們宣布他們的修正：物理學(xué)勝利了。

丘成桐先生

高能物理學(xué)家用對(duì)稱(chēng)性來(lái)編織他們的理論。超對(duì)稱(chēng)和共形對(duì)稱(chēng)是其中的例子。一個(gè)物理理論的很多方面，像是粒子激發(fā)，是要求它們和系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性相容來(lái)限制的。群理論無(wú)處不在。

有限群包含有限個(gè)元素。一般來(lái)說(shuō)，有限群可以分解成正規(guī)子序列，在這個(gè)序列中每個(gè)群都是下一個(gè)群的正規(guī)子群。有限單群是沒(méi)有非平庸的正規(guī)子群的那些有限群。它們是有限群的基本組成元。有限單群類(lèi)似于素?cái)?shù)。隨著有限群理解的深入，數(shù)學(xué)家表達(dá)了想要將它們分類(lèi)的愿望。在幾十年的繁瑣枯燥的合作之后，2004年，他們完成了這件事。有限單群分類(lèi)為18個(gè)被理解的很好的群，例如素?cái)?shù)階的循環(huán)群，還有26個(gè)額外或者叫做散在的單群。在散在單群中，最大的就是魔群，魔群中包含了1054個(gè)元素。許多其他的散在的單群可以作為這個(gè)怪物的子商群被實(shí)現(xiàn)。散在單群是奇特的結(jié)構(gòu)，它們?cè)跀?shù)學(xué)中是否具有更深層次的意義依然是有待研究的。

這個(gè)問(wèn)題的答案和魔群的表示密切相關(guān)，一個(gè)表示是將一個(gè)抽象的群用線性空間的變換具體化，因此將一個(gè)抽象的群中的元素和一個(gè)矩陣結(jié)合起來(lái)。矩陣的大小是表示的維數(shù)。不可約表示構(gòu)成一個(gè)不可分割的表示的完備集，所有其它的表示都可以通過(guò)類(lèi)似直和這樣的簡(jiǎn)單操作從它們構(gòu)造出來(lái)。魔群有194個(gè)不可約表示。每個(gè)群都有一個(gè)一維表示對(duì)應(yīng)于平庸的群操作。在平庸的表示之后，魔群第二小的不可約表示是196883維的，第三小的是21296876維的等等。這些不是能夠激發(fā)數(shù)學(xué)家通過(guò)精確構(gòu)造來(lái)進(jìn)行思考的數(shù)字。魔群和它作用的自然的對(duì)象，直到魔群月光猜想發(fā)現(xiàn)之前，依然是神秘的。

模形式在數(shù)論中很自然的產(chǎn)生，它們定義在上半復(fù)平面上的函數(shù)f(τ)。它在τ被一個(gè)模群SL2(Z): f(γ.τ) =(cτ + d)kf(τ)上的元素γ 的作用下是協(xié)變的。這是一個(gè)2 × 2矩陣群，每個(gè)元素都是整數(shù)且行列式為1. 半整數(shù)的k叫做模形式的權(quán)重，c和d代表在矩陣γ第二行中的兩個(gè)整數(shù)元素。模形式是重要的數(shù)學(xué)對(duì)象。這個(gè)形式的展開(kāi)式的系數(shù)經(jīng)常是數(shù)論學(xué)家感興趣的整數(shù)。這些整數(shù)等式的證明有時(shí)可以通過(guò)之前模形式滿(mǎn)足的泛函等式進(jìn)行證明。J函數(shù)是一個(gè)在模變換下不變的特殊函數(shù)，它按照權(quán)重為0的模形式進(jìn)行變換。J函數(shù)，實(shí)際上，是所有這一類(lèi)模不變函數(shù)的生成元，因?yàn)樗鼈兌伎梢杂蒍函數(shù)多項(xiàng)式的比表示出來(lái)。

接下來(lái)一件令人驚奇的物理數(shù)學(xué)的特征事件發(fā)生了，最初由群論學(xué)家JohnMcKay在1978年注意到的。當(dāng)閑著沒(méi)事翻翻數(shù)論書(shū)的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn)j函數(shù)并且觀察到它的傅立葉展開(kāi)從一個(gè)有趣的因子1開(kāi)始，然后是196884，但是196884=1+196883，這是魔群的頭兩個(gè)不可約表示維數(shù)相加得到的維數(shù)。他寫(xiě)信給John Tompson，而John Tompson發(fā)現(xiàn)j函數(shù)的下一個(gè)因子是21,493,760 = 21,296,876 +196,883 + 1.

這個(gè)優(yōu)雅的數(shù)論結(jié)構(gòu)能夠給出最大的散在單群的信息嗎？它看上去是令人震驚并且奇怪的。因此得名：魔群月光猜想。

數(shù)學(xué)家John Conway和Simon Norton，首先通過(guò)問(wèn)一個(gè)模對(duì)象的特定的類(lèi)如何編碼魔群的數(shù)據(jù)來(lái)將魔群月光猜想表達(dá)出來(lái)。他們猜想，我們可以對(duì)每個(gè)魔群上的共軛類(lèi)賦予一個(gè)模函數(shù)，這個(gè)共軛類(lèi)在特殊的，虧格為0的SL2(R)的子群G的變換下是不變的。如果是這樣，他們的傅立葉展開(kāi)可能包括魔群的表示的信息。它們的系數(shù)是群元素的特征標(biāo)，模函數(shù)和恒等類(lèi)相聯(lián)系，那就是J函數(shù). 

一系列的猜想以魔群月光猜想而出名。

然后在1992年，它們由Richard Borcherds證明了。他的證明中的一些元素直接受到弦論的啟發(fā)。他也引入了許多新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，廣義的Kac-Moody代數(shù)，這些反過(guò)來(lái)導(dǎo)致了有趣的物理。許多魔群月光猜想的物理內(nèi)容，和Borcherds的證明的核心組成部分，來(lái)自數(shù)學(xué)家對(duì)于共形場(chǎng)論的完善。在數(shù)學(xué)中，共形場(chǎng)論叫做頂點(diǎn)算子代數(shù)。澄清魔群月光猜想的頂點(diǎn)算子代數(shù)是由Igor Frenkel，James Lepowsky，Arne Meurman三人構(gòu)造的。而翻譯到弦論的工作由LanceDixon，Paul Ginsparg，JeffreyHarvey.完成。對(duì)于弦論學(xué)家，j函數(shù)是一個(gè)專(zhuān)門(mén)的東西，是一個(gè)能級(jí)上的粒子狀態(tài)數(shù)目的配分函數(shù)。魔群在頂點(diǎn)算子代數(shù)上通過(guò)一個(gè)對(duì)稱(chēng)性來(lái)作用。它和哈密頓量對(duì)易并且保持基態(tài)不變，盡管真空上的激發(fā)態(tài)通過(guò)對(duì)稱(chēng)性的表示來(lái)組織起來(lái)。

配分函數(shù)的模不變性物理上是自然的?？紤]一個(gè)閉弦圈的世界面上的共形場(chǎng)論。世界面具有圓柱型的拓?fù)?。為了?jì)算配分函數(shù)，圓柱的兩頭融合形成一個(gè)環(huán)面。歐式的時(shí)間坐標(biāo)起到了有限的溫度的作用——這是在量子力學(xué)和量子場(chǎng)論中都經(jīng)常使用的一個(gè)認(rèn)同。模群SL2(Z)是將環(huán)面看成是一個(gè)拓?fù)淇臻g后其上的對(duì)稱(chēng)群，因此給同胚變換的類(lèi)指定的群將環(huán)面映射到自身。這些對(duì)稱(chēng)性不影響背后的物理。這是我們熟悉的在量子力學(xué)中計(jì)算點(diǎn)粒子不依賴(lài)于世界線的參數(shù)化這一基本事實(shí)在弦理論下的擴(kuò)展。物理上的一致性要求關(guān)于環(huán)面的一個(gè)任意的參數(shù)化不影響像配分函數(shù)之類(lèi)的可觀測(cè)量。配分函數(shù)在SL2(Z).下一定是模不變的

另外一個(gè)魔群月光的模函數(shù)，和SL2(R)的虧格為0的子群有聯(lián)系，當(dāng)虧格為0的群是SL2(Z)的子群時(shí)，它也有一個(gè)共形場(chǎng)論的理論理解。它們的模不變性的論證和剛剛給出的物理論證是一致的。對(duì)于虧格為0但不在SL2(Z)里的SL2(R)的子群，相關(guān)函數(shù)的模不變性沒(méi)有明顯的解釋?zhuān)徽撌俏锢砩系倪€是數(shù)學(xué)上的。Borcherds，當(dāng)然，證明了這個(gè)猜想，但是他的證明中的這部分關(guān)于虧格為0的性質(zhì)，需要暴力的驗(yàn)證，而不像是概念上的解釋。它在神秘的月光猜想中一直就是一個(gè)重要的謎團(tuán)。就在最近Daniel Persson, Roberto Volpato 和我提出了關(guān)于魔群月光中虧格為0的性質(zhì)的一個(gè)概念上的解釋?zhuān)覀冇玫搅穗s化弦中時(shí)空的性質(zhì)。這個(gè)構(gòu)造將Borcherd證明中的代數(shù)的部分在物理上夯實(shí)了。

魔群月光的觀察最終是弦論時(shí)空和世界面上的對(duì)稱(chēng)性的自然結(jié)果，產(chǎn)生了令人震驚的代數(shù)結(jié)構(gòu)。許多年前，Eugene Wigner問(wèn)了一個(gè)如何解釋數(shù)學(xué)在物理中難以置信的有效性的問(wèn)題。相比于回答這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閱?wèn)出了這個(gè)問(wèn)題使得他的文章是很有影響力的。今天，可能我們可以寫(xiě)一個(gè)類(lèi)似的文章，來(lái)尋求為什么物理在數(shù)學(xué)中那么有效的解釋。如果數(shù)學(xué)和物理在許多層面上是等價(jià)的，那么它們的不同將不是內(nèi)容上的而是技巧上的不同。最終會(huì)展示出他們都通向唯一的一個(gè)實(shí)在。

這么想想是不是非?？蓯?ài)？

推薦參考資料：

弦論通俗讀物：

Brian Greene, The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory (New York: Vintage, 1999). 

弦論教科書(shū)：

Joseph Polchinski, String Theory Volume 1: An Introduction to the Bosonic String(Cambridge: Cambridge University Press, 1998); 

Joseph Polchinski, String Theory Volume 2: Superstring Theory and Beyond (Cambridge: Cambridge University Press, 1998). 

網(wǎng)站：

String Reviews：

http://www.nuclecu./~alberto/physics/stringrev.html

Homepage of Greg Moore:

 http://www.physics./~gmoore/