■張?zhí)烊?文

偉大的科學(xué)巨匠中，愛因斯坦在公眾中的影響力無人能比，他的頭像連小學(xué)生都認(rèn)識，他的名字家喻戶曉。如今，這位偉人離開這個(gè)世界已經(jīng)超過了半個(gè)世紀(jì)，他所作出的幾項(xiàng)最杰出的貢獻(xiàn)，包括1905年提出光電效應(yīng)和狹義相對論，以及1915年建立的廣義相對論，也都已經(jīng)是100年之前的故事了。偉人是否后繼有人呢？這幾十年的歷史時(shí)期中，為了繼承這位先輩的衣缽，理論物理學(xué)家們作了哪些努力？

十分令人感到遺憾，愛因斯坦將他天才的后半生貢獻(xiàn)給了一項(xiàng)前途渺茫的研究。他一直在理論物理中尋找一條統(tǒng)一之路，企圖將所有的物質(zhì)及各種基本的相互作用，囊括在一個(gè)單一的理論框架中。盡管愛因斯坦為此奮斗了幾十年沒有獲得成功，但這個(gè)大統(tǒng)一之夢，已經(jīng)深深扎根在理論物理學(xué)家們的心中，一直是理論物理學(xué)研究的中心問題之一。

1951年，也就是愛因斯坦在72歲壽誕時(shí)留下他那一張著名的吐舌頭照片的那一年，一個(gè)嬰兒降生在美國巴爾的摩，一個(gè)研究廣義相對論的猶太裔理論物理教授家里。

圖1.1：愛因斯坦72歲那年，威滕誕生于離普林斯頓不遠(yuǎn)的巴爾的摩

他就是現(xiàn)在普林斯頓高等研究院的數(shù)學(xué)物理教授，如今已成為最著名的理論物理學(xué)家之一的愛德華·威滕（EdwardWitten，1951-）。

盡管父親路易斯·威滕是研究廣義相對論的理論物理學(xué)家，年輕時(shí)威滕的夢想?yún)s是走向人文之路。他高中畢業(yè)后進(jìn)大學(xué)主修歷史，打算將來成為一名政治家或記者，畢業(yè)后還曾經(jīng)參與支持一位民主黨候選人的總統(tǒng)競選工作。不過后來，他感覺從政的道路上容易迷失自我，因此“半路出家”、“迷途知返”而殺向了理論物理。從他21歲進(jìn)入普林斯頓大學(xué)研究生院開始，他對物理及數(shù)學(xué)的興趣驟增，并且鉆進(jìn)去便一發(fā)不可收拾。由于威滕在物理及數(shù)學(xué)領(lǐng)域表現(xiàn)出與眾不同的才能，29歲便被普林斯頓大學(xué)物理系聘為教授。

威滕的物理直覺驚人，數(shù)學(xué)能力超凡。上世紀(jì)80年代，筆者在奧斯丁大學(xué)相對論中心讀博期間，聽過與溫伯格一起工作的，一位年輕而知名的弦論物理學(xué)家評價(jià)威滕。具體原話記不清楚了，大意是說：在當(dāng)今的粒子物理領(lǐng)域中，只有威滕是理論物理學(xué)界的莫扎特，相比而言，我們都只能算作宮廷樂師！

那位物理學(xué)家當(dāng)年還津津有味地描述了1984年11月的那天，威滕在普林斯頓大學(xué)就弦論作報(bào)告時(shí)的精彩熱鬧情景。威滕這位當(dāng)時(shí)涉獵弦論和量子場論并不太久的年輕人，以他關(guān)于卡拉比-丘流形緊化的文章【1】，在理論物理界掀起了一個(gè)超弦風(fēng)暴。后來人們用“第一次超弦革命”來命名這段弦論紅火的短暫時(shí)期。

到了1990年，弦論研究處于低谷，卻傳來了國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟授予威滕數(shù)學(xué)界最高獎項(xiàng)--菲爾茲獎的消息。

愛德華·威滕是第一位，也是迄今為止唯一的一位被授予菲爾茲獎的物理學(xué)家。

著名英國數(shù)學(xué)家邁克爾·阿蒂亞（MichaelAtiyah），當(dāng)年被邀請?jiān)诜茽柶潽勵C獎大會上介紹愛德華·威滕的工作，他因事未能出席大會，但他在書面發(fā)言中如此評論威滕：【2，3】

“雖然他絕對是一位物理學(xué)家，但他對數(shù)學(xué)的駕馭能力，足以與數(shù)學(xué)家媲美……他一次又一次超越了數(shù)學(xué)界，以巧妙的物理直覺導(dǎo)出新穎深刻的數(shù)學(xué)定理……他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響巨大……憑著他，物理再次成為數(shù)學(xué)的豐富靈感和直覺的源頭?！?br>

的確如此，從威滕幾百篇論文涉及的課題來看，大多數(shù)是物理方面的。他是弦論的開創(chuàng)者，研究量子場論的專家，1995年，他提出的M-理論掀起弦論的第二次革命。除了物理之外，威滕對相關(guān)的數(shù)學(xué)方面作出許多貢獻(xiàn)，我們在后面的章節(jié)中還會介紹，這兒就其與菲爾茲獎有關(guān)的工作簡單概括為如下幾點(diǎn)。

（一）正能量定理

愛因斯坦廣義相對論的核心是引力場方程。著名美國物理學(xué)家約翰·惠勒曾經(jīng)用一句話來概括廣義相對論：“時(shí)空告訴物質(zhì)如何運(yùn)動，物質(zhì)告訴時(shí)空如何彎曲”【4】。這句話的意思就是說，時(shí)空和物質(zhì)通過引力場方程聯(lián)系到了一起。這個(gè)方程的一邊是物質(zhì)的能量動量張量，另一邊則是由四維空間的曲率及其導(dǎo)數(shù)組成的愛因斯坦張量。引力場方程的解描述在一定的物質(zhì)分布下時(shí)空的幾何性質(zhì)，它實(shí)際上是一個(gè)二階非線性偏微分方程組，要想在數(shù)學(xué)上求得此方程組的解非常困難。方程只在某些特殊情形下有解析解，比如，引力場方程的真空解是平直的閔可夫斯基四維時(shí)空；物質(zhì)分布為球面對稱的準(zhǔn)確解稱為史瓦西解。

盡管求解引力場方程困難重重，但根據(jù)它來研究物質(zhì)及空間的種種性質(zhì)卻行之有效。為此物理學(xué)家們作了種種努力，正能量定理（或稱正質(zhì)量猜測）便是沿此思路而導(dǎo)出的一個(gè)漂亮結(jié)果。定理的大意如此：如果在一個(gè)引力系統(tǒng)中，物質(zhì)被包圍在一個(gè)有限的范圍內(nèi)的話，引力場方程的解是漸近的閔可夫斯基四維時(shí)空，也就是說，在距離這個(gè)物質(zhì)區(qū)域足夠遠(yuǎn)的地方，時(shí)空可以近似看作是平坦的。對這類漸近平坦引力體系，可以定義一個(gè)總能量值，即系統(tǒng)的全部能量之和。人們猜測：這個(gè)值是一個(gè)正數(shù)或零，并且，當(dāng)且僅當(dāng)該引力系統(tǒng)是完全平坦的閔可夫斯基空間時(shí)，該總能量值才會為零。進(jìn)一步，從這個(gè)定理可以推出閔可夫斯基空間是引力場方程的一個(gè)穩(wěn)定基態(tài)解。

是美籍華裔數(shù)學(xué)家丘成桐，使用非線性偏微分方程中的極小曲面理論，在1979年對此猜想給出了一個(gè)完全的證明。這在當(dāng)時(shí)是一個(gè)了不起的工作，也是丘成桐之后獲得Fields獎的主要成就之一。

兩年后的1981年，威滕用線性偏微分方程理論，源于物理中經(jīng)典超引力的思想，對正能量猜測給出了一個(gè)十分簡潔的證明【5】。

（二）Morse理論

記得在中科院理論物理所讀研時(shí)，指導(dǎo)教授用一個(gè)笑話來解釋拓?fù)浞椒ㄅc分析方法的區(qū)別：

人們需要捕獲山中的一只老虎。如何解決這個(gè)難題呢？作數(shù)學(xué)分析的專家回答：你們必須首先選擇一個(gè)坐標(biāo)，確定老虎某時(shí)某刻所在的準(zhǔn)確位置，老虎離你們的距離等等，然后，吧啦吧啦吧啦……。而拓?fù)鋵W(xué)家則說：不需要那么復(fù)雜的細(xì)節(jié)呀，你們只要建好一個(gè)關(guān)老虎的籠子，然后，再對整個(gè)空間作一個(gè)拓?fù)渥儞Q，將籠子外變換成籠子內(nèi)，老虎不就關(guān)進(jìn)籠子里了嗎……

這個(gè)笑話也許不算十分準(zhǔn)確，但卻大概地表明了拓?fù)鋵W(xué)的基本方法：它不在乎位置、距離、大小這些與度量有關(guān)的東西，而只研究曲線或曲面（或流形）連續(xù)變換時(shí)的性質(zhì)。

不過實(shí)際上，拓?fù)涞姆椒ㄅc分析的方法是可以關(guān)聯(lián)起來的。研究表明，流形的整體拓?fù)湫再|(zhì)，可以與流形上函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān)。莫爾斯（Morse）理論，就是通過研究流形上的函數(shù)性質(zhì)，來得到流形的拓?fù)湫畔ⅰ?br>

莫爾斯理論是微積分與拓?fù)涞慕Y(jié)合，屬于微分拓?fù)浞懂?。它通過研究流形上的函數(shù)全部臨界點(diǎn)的性態(tài)，來探索流形的整體拓?fù)湫再|(zhì)，因而也被稱為臨界點(diǎn)理論。所謂臨界點(diǎn)，就是一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，對應(yīng)于大家熟知的平面曲線上的極值點(diǎn)，是這個(gè)極點(diǎn)概念在泛函、變分、和流形上的推廣。莫爾斯理論的核心是莫爾斯本人于1925年推廣極小極大原理而得出的莫爾斯不等式。

威滕的工作則是給出了Morse不等式的一個(gè)新證明，把臨界點(diǎn)理論和同調(diào)倫聯(lián)系起來。人們認(rèn)為，威滕1982年就此工作發(fā)表的論文標(biāo)志著“量子數(shù)學(xué)”的開端【6】。

（三）Knots扭結(jié)理論

扭結(jié)理論是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支，它研究的是嵌入三維空間中的一維圈狀圖形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因而又將其俗稱為“繩結(jié)的數(shù)學(xué)”。從人類文明之初開始，繩結(jié)就與人類的生活糾結(jié)在一起，簡單如系鞋帶，復(fù)雜如織毛衣，這些生活體驗(yàn)都與繩結(jié)的結(jié)構(gòu)相關(guān)聯(lián)，還有歷史悠久傳遍世界的美麗而智慧的“中國結(jié)”，更是一個(gè)令國人自豪的例子。

雖然繩結(jié)的歷史已有幾千年，“扭結(jié)”發(fā)展成數(shù)學(xué)上的一門學(xué)科，卻只是一百多年之前的事，這得歸功于數(shù)學(xué)王子高斯（CarlFriedrich Gauss，1777-1855）。

拓?fù)鋵W(xué)研究中的核心問題之一是拓?fù)渥儞Q中的不變量。不變量具有將不同拓?fù)湫螤罘诸惖哪芰Γ鞣N拓?fù)洳蛔兞康姆诸惸芰τ兴煌?，有的能力?qiáng)，有的能力弱。找到能力更強(qiáng)的拓?fù)洳蛔兞渴峭負(fù)鋵W(xué)研究的目標(biāo)之一。在扭結(jié)理論中，有一類重要的不變量以多項(xiàng)式的形式表示，最早（1923年）提出的亞歷山大多項(xiàng)式一直被用來對各種扭結(jié)形態(tài)分類，但人們發(fā)現(xiàn)它的能力不夠強(qiáng)，無法區(qū)分某些顯然不一樣的扭結(jié)，比如手征性不同的扭結(jié)，這個(gè)困難直到60多年后的1984年才被新西蘭數(shù)學(xué)家沃恩·瓊斯（VaughanJones，1952-）發(fā)現(xiàn)的瓊斯多項(xiàng)式（jonespolynomial）所解決。瓊斯由此而在1990年，與威滕等共4名數(shù)學(xué)家共同分享該年的菲爾茲獎。

威滕的貢獻(xiàn)則是將瓊斯多項(xiàng)式的有關(guān)理論帶到了物理學(xué)界，將規(guī)范場理論中使用的陳省身- 西蒙斯理論（Chern–Simonstheory）與瓊斯多項(xiàng)式結(jié)合起來，他的方法對低維拓?fù)涞难芯坑猩钸h(yuǎn)影響。因?yàn)橥墓ぷ?，扭結(jié)理論重新成為理論物理學(xué)家們的寵兒【7】。對此我們將在后面正文的“拓?fù)洹辈糠肿鞲嗟慕榻B。

其實(shí)，歷史地看，威滕作為一個(gè)理論物理學(xué)家得到菲爾茲獎，也不是很奇怪的事情。理論物理和數(shù)學(xué)，本來就是同宗同源的兄弟，他們時(shí)分時(shí)合，源遠(yuǎn)流長，交叉滲透，互相影響。從伽利略和牛頓開始，到高斯、傅立葉、麥克斯韋、龐加萊、希爾伯特，以及近代的楊振寧、威滕等等，一個(gè)個(gè)人物都既懂物理，又通數(shù)學(xué)。更有趣的是，物理學(xué)界稱他們?yōu)槲锢韺W(xué)家，數(shù)學(xué)界則稱他們?yōu)閿?shù)學(xué)家。因此，自古以來數(shù)理同源，數(shù)學(xué)為物理學(xué)家提供解決問題實(shí)現(xiàn)理論的漂亮手段，物理則在一定程度上，成為數(shù)學(xué)家靈感和直覺的重要源泉。

這個(gè)博文系列將帶領(lǐng)你追溯數(shù)學(xué)物理的源頭，從微積分及變分法的發(fā)現(xiàn)歷史開始，到相對論與黎曼幾何，量子理論與拓?fù)?，以及群論和隨機(jī)過程在物理中的應(yīng)用等等，帶你進(jìn)入數(shù)學(xué)物理及與其發(fā)展緊密相關(guān)的理論物理的大門。

參考文獻(xiàn)：

【1】PCandelas, GT Horowitz, A Strominger, E Witten，Vacuum configurations forsuperstringsNuclear Physics B 258, 46-74，1985

【2】L DFaddeev, On the work of Edward Witten, Addresses on the works of Fieldsmedalists and Rolf Nevanlinna Prize winner (Tokyo, 1990).

【3】MAtiyah, On the work of Edward Witten, Proceedings of the International Congressof Mathematicians, Kyoto, 1990 I (Tokyo, 1991), 31-35.

【4】Wheeler,John A. (1990), A Journey Into Gravity and Spacetime, Scientific AmericanLibrary, San Francisco: W. H. Freeman

【5】E,Witten: A new proof of the positive energy theorem, Comm. Math, Phys. 80 (1981)，381

【6】E.Witten; Supersymmetry and Morse theory. J. Diff. Geom. 17 (1984) 661

【7】E.Witten: Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm, Math, Phys, 121 (1989) 351

來源：科學(xué)網(wǎng)張?zhí)烊夭┛?/span>