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目前關(guān)于數(shù)學(xué)思維及其方法的研究，已經(jīng)引起了數(shù)學(xué)教育研究者們廣泛的重視和深入的研究，這是一個(gè)不斷發(fā)展的學(xué)科。 （一）關(guān)于代數(shù)，幾何與數(shù)學(xué)概念的思維研究 鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論》一書中，通過對(duì)數(shù)學(xué)方法論的歷史分析，在學(xué)習(xí)心理學(xué)的鄰域內(nèi)，研究討論了數(shù)學(xué)思維及其由此形成的一些規(guī)律與方法。 1. 關(guān)于代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維活動(dòng) 在代數(shù)學(xué)習(xí)過程的思維研究中，把“過程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化，稱為“凝聚”，并且把它看作是數(shù)學(xué)思維的一種基本形式。國外的數(shù)學(xué)教育研究者還把“凝聚”這一思維過程進(jìn)一步細(xì)分為內(nèi)化，壓縮，客體化三個(gè)階段。 利用代數(shù)學(xué)習(xí)中思維的研究，獲得了關(guān)于學(xué)生思維發(fā)展過程的認(rèn)識(shí)。在代數(shù)學(xué)習(xí)中經(jīng)常把字母（符號(hào)表達(dá)式）看作是所要求取的未知量的直接取代物，并且主要關(guān)心的是如何通過運(yùn)算以求得所說的未知量。這種思維方式稱為代數(shù)的“程序性觀點(diǎn)”，即只是一種按照程序去解決問題的思維方法。在代數(shù)學(xué)習(xí)中又常把字母（符號(hào)表達(dá)式）看作是直接對(duì)象而非具體數(shù)量的取代物，關(guān)注的主要是式與式之間的相互關(guān)系，并由此對(duì)各種符號(hào)表達(dá)式實(shí)施新的運(yùn)算。顯然，在這種思維下，字母（符號(hào)表達(dá)式）成了整體性代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)組成部分。這種思維方式稱為代數(shù)的“結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)”。 從學(xué)習(xí)心里學(xué)的層面研究，對(duì)于代數(shù)的學(xué)習(xí)可以被看作是一系列的由“程序性”觀點(diǎn)向“結(jié)構(gòu)性”觀點(diǎn)（由“過程”向“對(duì)象”）的重要演化。國外的學(xué)者研究表明，學(xué)生對(duì)于字母項(xiàng)的理解可以分為六個(gè)不同的水平： （1）賦予特定數(shù)值的字母 （2）對(duì)字母不予考慮 （3）字母被看作具體的對(duì)象 （4）字母作為一個(gè)特定的未知量 （5）一般化的數(shù) （6）字母作為一個(gè)變量 國外的一些學(xué)者認(rèn)為，從思維發(fā)展的學(xué)習(xí)心理層面分析，幫助學(xué)生由“程序性”觀點(diǎn)向“結(jié)構(gòu)性”觀點(diǎn)的轉(zhuǎn)變是代數(shù)教學(xué)中的一個(gè)重要目標(biāo)。 2. 關(guān)于幾何思維的發(fā)展 從心里學(xué)的層面考察思維，著名心理學(xué)家，哲學(xué)家皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展的“四階段說”（感知運(yùn)動(dòng)階段，前運(yùn)演階段，具體運(yùn)演階段，形式運(yùn)演階段）在西方教育界有很大影響。對(duì)于這種完全否認(rèn)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的客觀基礎(chǔ)的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)教育學(xué)者認(rèn)為它是“極端建構(gòu)主義”理論一個(gè)弊病的表現(xiàn)，即未能正確認(rèn)識(shí)“反映”與“建構(gòu)”之間的辯證關(guān)系。 荷蘭數(shù)學(xué)教育家馮.希爾夫婦提出的思維發(fā)展理論，是專門對(duì)幾何思維的分析。這種幾何思維的研究避免了皮亞杰一般心理學(xué)研究的寬泛性，針對(duì)幾何學(xué)的思維方式，馮.希爾夫婦把學(xué)生的幾何思維分為五個(gè)水平： （1）直觀 （2）描述，分析 （3）抽象，關(guān)聯(lián) （4）形式推理 （5）嚴(yán)密化，元數(shù)學(xué) 同時(shí)，他們認(rèn)為學(xué)生需要在教師引導(dǎo)下通過五個(gè)階段達(dá)到各個(gè)新的水平。五個(gè)階段分別為： （1）信息，學(xué)生開始熟悉相關(guān)內(nèi)容 （2）定向指導(dǎo)，讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探索 （3）解釋，學(xué)生認(rèn)識(shí)道所要學(xué)習(xí)的關(guān)系要用自己的語言作出描述 （4）自由定位，學(xué)生需要綜合應(yīng)用概念和關(guān)系求解問題 （5）整合，學(xué)生對(duì)學(xué)到的知識(shí)作出總結(jié) 馮.希爾夫婦認(rèn)為，學(xué)生在五個(gè)階段完成后，數(shù)學(xué)的幾何思維可以上升到一個(gè)新的更高的水平。 3. 代數(shù)思維與幾何思維在形式與方法上的比較 代數(shù)思維與幾何思維具有不同的思維形式，并形成了自己的思維方法。英國數(shù)學(xué)教育家道爾對(duì)兩種思維形式進(jìn)行了區(qū)別與比較。 （1）抽象的基礎(chǔ)：幾何思維是感知；代數(shù)（算術(shù)）思維是運(yùn)作 （2）抽象的性質(zhì)：幾何思維是經(jīng)驗(yàn)抽象；代數(shù)（算術(shù)）思維是凝聚 （3）抽象的立場：幾何思維是感知性對(duì)象；代數(shù)（算術(shù)）思維是構(gòu)思性對(duì)象 （4）心理表征的類型：幾何思維是圖像型；代數(shù)（算術(shù)）思維是符號(hào)（語言）型 4. 關(guān)于數(shù)學(xué)概念思維的研究 幾何思維與代數(shù)思維之間存在重要區(qū)別，但是隨著數(shù)學(xué)思維的不斷發(fā)展，這種區(qū)別變得越來越不重要了，這兩者可看作是數(shù)學(xué)概念思維的兩種基本形式。從幾何思維，代數(shù)思維形成的數(shù)學(xué)概念思維具有三種最重要的形式：感知，運(yùn)作和反思。其主要性質(zhì)如下表： 西方學(xué)習(xí)心理學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)概念思維的一些特征還進(jìn)行了方法論意義上的描述。其中重要的特征包括以下幾個(gè)方面 （1）過程---對(duì)象型思維。把數(shù)學(xué)概念看作是一種“過程---對(duì)象的對(duì)偶體”，概念是“過程”與“對(duì)象”兩個(gè)側(cè)面的一種整合。 （2）形象思維與邏輯思維。從數(shù)學(xué)概念思維具有形象性與邏輯性的不同思維特征，形象思維與邏輯思維的互補(bǔ)應(yīng)被看作是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)。 （3）概念域。這里是指數(shù)學(xué)概念在心理表征的不同側(cè)面之間作出必要的轉(zhuǎn)換，也即應(yīng)當(dāng)善于通過對(duì)立環(huán)節(jié)的綜合發(fā)展形成概念的整合性意象。 （二）中國與西方學(xué)生數(shù)學(xué)思維比較研究 《華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)》一書從實(shí)證對(duì)比的角度對(duì)華人學(xué)生數(shù)學(xué)思維與西方學(xué)生數(shù)學(xué)思維的差異做出比較，分析與評(píng)判，對(duì)數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思維的方法研究很有借鑒意義。 蔡金法先生運(yùn)用3類任務(wù)去檢測美國學(xué)生和中國學(xué)生的數(shù)學(xué)表現(xiàn)（其中20個(gè)多項(xiàng)選擇題檢測計(jì)算技能；18個(gè)多項(xiàng)選擇題檢測簡單問題解決技能；7個(gè)開放性題檢測復(fù)雜問題解決技能）。 研究結(jié)果表明：我們感受到一些有關(guān)數(shù)學(xué)思維的跨文化研究的獨(dú)特性和挑戰(zhàn)，中國學(xué)生在計(jì)算類任務(wù)中都表現(xiàn)得明顯好于美國學(xué)生；然而，我們發(fā)現(xiàn)，令人奇怪的是，美國學(xué)生在過程開放的任務(wù)上的表現(xiàn)要明顯勝過中國學(xué)生，而這種過程開放的任務(wù)，我們認(rèn)為是最具新奇性的。 這個(gè)研究的結(jié)論描述了中國學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)思維的六個(gè)特征： （1）在計(jì)算技能和基礎(chǔ)知識(shí)的任務(wù)上表現(xiàn)好于復(fù)雜問題解決的任務(wù)上 （2）中國學(xué)生喜歡使用抽象的策略和符號(hào)特征 （3）中國學(xué)生通常應(yīng)用更加常見的解題方法 （4）提出要求，中國學(xué)生能提供更多的解題方法 （5）與美國學(xué)生一樣會(huì)犯不正確的符號(hào)操作的錯(cuò)誤 （6）中國學(xué)生在問題解決中不太愿意冒風(fēng)險(xiǎn) 從數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)思維的關(guān)系分析，這些研究的數(shù)據(jù)，樣本還缺乏一種文化傳統(tǒng)方面的思考與分析，顯然，“過程開放任務(wù)”及“冒風(fēng)險(xiǎn)”的思維比較，已超出數(shù)學(xué)課堂教育的范疇，它明顯帶有個(gè)人或群體的非智力因素（情感，意志，性格等）方面的特征，而這種特征更多地體現(xiàn)在民族文化傳統(tǒng)和數(shù)學(xué)文化的傳統(tǒng)之中。目前，這方面還缺乏深入的研究工作，可以認(rèn)為，中西方學(xué)生數(shù)學(xué)思維的比較，將為數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)思維的研究提供更為廣闊的發(fā)展空間。 |
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