(1.廈門市思北小學，福建 廈門 361000；2.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130021)

[摘 要] 數(shù)感是數(shù)學素養(yǎng)的基本要素之一，而直觀表征是現(xiàn)實世界與數(shù)量世界之間的重要聯(lián)結，是培養(yǎng)中小學生數(shù)感的有效途徑。數(shù)感直觀表征有四種基本形式：即情境表征，操作表征，圖像表征和簡約符號表征。數(shù)感的形成是從線性到網(wǎng)狀方式，從操作表征過渡到圖像表征，經(jīng)歷了簡約符號表征到抽象思考。小學數(shù)學課程中數(shù)感直觀表征具有層次性、多元化和程序性等核心特征，研究其特征對小學數(shù)學課程設計有一定的指導意義。

[關鍵詞] 數(shù)感；直觀表征；課程設計；小學

數(shù)感是數(shù)學素養(yǎng)的基本要素之一，而直觀表征是培養(yǎng)中小學生數(shù)感的有效途徑。我國《義務教育數(shù)學課程標準》指出：數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟，建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。[1]可見，數(shù)感是數(shù)的感悟，是對數(shù)學的研究對象進行直接感知、整體把握的能力。[2]數(shù)感的直觀表征是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系直接感知數(shù)量關系，表現(xiàn)為對量與數(shù)的一種直觀能力。[3]因此，數(shù)感的培養(yǎng)需要直觀表征來促進學生對數(shù)的理解和思維的發(fā)展。

一、數(shù)感直觀表征的基本形式

直觀表征是現(xiàn)實世界與數(shù)量世界之間的重要聯(lián)結紐帶：作為溝通工具，是數(shù)感形成不同階段的“橋梁”，描述活動經(jīng)驗；作為思維材料，代表物化的數(shù)概念或內化操作的載體。數(shù)感的直觀表征形式主要包括情境表征、操作表征、圖像表征和簡約符號表征。

1.情境表征

借助與研究對象有著一定關聯(lián)的情境，利用自然語言的簡潔闡述，獲得對數(shù)感的直觀判斷。如6個兒童平均分18只彩筆，每個兒童可以分到幾只彩筆？

2.操作表征

通過與實際存在物和關聯(lián)的媒介操作獲得針對數(shù)感的直觀判斷，主要包括實物操作(例如實物展示、借助刻度尺、刻度盤等)和媒介操作表征(如利用多媒體展示、動畫等)。

3.圖像表征

以明確的幾何圖形為載體來理解數(shù)量關系的幾何直觀表征。主要使用和解釋線段、面積、柱形圖、扇形圖，使用表格和圖像的形式收集和解釋數(shù)據(jù)等。

4.簡約符號表征

在上述直觀的基礎上，進行一定程度的抽象，形成半符號化的數(shù)感直觀，例如數(shù)軸、比率表、直方模式(見圖1)等。解決行程問題使用的線路圖也是一種簡約的、符號化的直觀圖示，這種簡約符號直觀是經(jīng)過一定的數(shù)學抽象而形成的，與現(xiàn)實生活原型相比，具有一定程度的半抽象性。憑借這種圖示分析解決問題，就是簡約符號層面的直觀(能力)在發(fā)揮作用。

圖1 直方模式

二、數(shù)感直觀表征的核心特征

1.直觀表征的層次性

數(shù)感形成是從線性到網(wǎng)狀方式，從操作表征過渡到圖像表征，經(jīng)歷簡約符號表征最后到抽象思考；數(shù)感的直觀表征按照從易到難的順序具有一定的層次性，兒童意識到數(shù)，首先從生活情境中開始談論數(shù)的言語開始，然后以活動操作為載體，通過動作操作(實物表征)和視覺操作(圖像表征)去探究數(shù)的表征形式，進行內在的思維活動，經(jīng)歷半抽象的簡約符號表征到抽象思考的活動階段。圖2展示了數(shù)感表征設計思想，表征領域以較低水平的知識為目標不斷進行更高水平的知識活動，表征形式具有逐級抽象的特點，表征順序內隱藏著學生的思維進程，讓表象再現(xiàn)，促進知識理解由粗略向精致提升。

圖2 數(shù)的表征的五種形式和表征出現(xiàn)的領域

2.數(shù)感直觀表征的多元化

圖的多元表征

多元表征之間的相互轉化，尤其是不同操作表征之間的轉化理解，在數(shù)學知識本質提煉時，有助于促進學生內部表征的思維操作。例如的多元表征(如圖3所示)，案例1利用三種不同表征，有助于數(shù)感的歸納、抽象和概括。在對數(shù)感進行深刻理解或應用時，多元表征可以進行整合，即在不同層次和不同種類的表征之間統(tǒng)整，具有可操作、可觀察的交互性表征。例如案例2利用學生多元表征的不一致性產生認知沖突，表征互補，達到比較完整的心理意象；案例3用兩種算法直觀表征，形成利于數(shù)感理解的恰當心理表征，凝聚成比較有活性的動態(tài)數(shù)感網(wǎng)絡結構，促進數(shù)感素養(yǎng)的培養(yǎng)。

案例1：情境表征與簡約符號表征轉化(如圖4所示)。

圖4 情境表征與簡約符號表征轉化

案例2：簡約符號與數(shù)字符號表征轉化(如圖5所示)。

圖5 簡約符號與數(shù)字符號表征轉化

案例3：要把10個棒球卡片每2個分成一組，能分成多少組？

用重復的減法發(fā)現(xiàn)10÷2的值。一種方法是數(shù)軸線操作(如圖6所示)，從10開始，每次2個格的依次向后數(shù)直到0。一共用了幾組減法？所以，10÷2=5，將會有5組卡片。另一種方法是紙和鉛筆操作(如圖7所示)，2個為一組的做減法直到為0，一共用了幾組減法？

圖6 數(shù)軸線操作

圖7 紙和鉛筆操作

3.數(shù)感直觀表征的程序化

良好的問題情境和問題串設計是數(shù)學程序性的表征形式之一，美國教材中關于數(shù)感形成的設計，以“活動操作”為核心，讓學生體會數(shù)感是從現(xiàn)實生活到數(shù)學的一個提煉過程。例如計算設計了游戲活動，刺激學生的數(shù)感形成，學生所獲得的程序性知識屬于“模式再認知識”或“技術的知識”。要求學生在適當?shù)臈l件下采取相應數(shù)值操作，掌握“動作操作系列知識”，學生由“知道怎樣做”開始變得“會做數(shù)學”，利用數(shù)值操作的直觀形成數(shù)感，從而把程序性知識的學習轉化為以數(shù)感培養(yǎng)為設計目標。

案例4：活動操作表征：計算

操作準備：幾何板找到第一個因數(shù)是第二個因數(shù)是

第一步：用一排幾何板展示用另一排展示在幾何板上(如圖8示)；

第二步：用幾何板形成一個矩形，幾何板的一排顯示另一排顯示

第三步：連接幾何板展示一個小矩形；

圖8 活動操作

小矩形的區(qū)域是6個方形單位，大矩形的區(qū)域是12個方形單位。所以或

三、數(shù)感直觀表征對小學數(shù)學教學的啟示

1.重視體驗，強化感知，展現(xiàn)表征過程

數(shù)學教學中注重在現(xiàn)實情境下進行活動操作，數(shù)感的直觀表征一定會經(jīng)歷操作表征，通過學生的體驗活動，安排科學的感知程序，將具體的操作活動和背后的數(shù)學知識密切聯(lián)系在一起。例如案例3除法的運算，兩種算法使得多元表征在合理結合的基礎上建立數(shù)感，幫助學生實現(xiàn)數(shù)學知識由表面到深層的理解，發(fā)展思維能力。同時，直觀表征顯然要經(jīng)過一定的“加工提純”的教學設計，才能讓學生體驗到其中的“數(shù)學味”，才能讓學生盡快形成數(shù)感。教師提供感性材料，關注其中所蘊含的數(shù)學內容，在具體的教學活動中應通過教師的有效指導來實現(xiàn)價值引導，積累感性經(jīng)驗，展現(xiàn)表征過程，促進數(shù)的理解，體現(xiàn)具體到抽象的理解過程，完成由感性到理性的飛躍。

2.注重關聯(lián)，抓住本質，強調多元表征

直觀表征有助于將抽象的數(shù)學對象直觀化、顯性化，多元化表征的教學設計注重引導學生捕捉聯(lián)系，由直觀表征向心理意象表征轉化，注重表征間的邏輯和知識的聯(lián)結。例如“分數(shù)的意義”借助現(xiàn)實情境、面積表征、簡約符號等表征，構建分數(shù)表征“支架”。借助外力多元表征來激活學生思維的建構，自覺地反思多元表征，經(jīng)過“舊平衡—不平衡—新平衡”的過程，形成比較清晰的心理意象，將直觀經(jīng)驗和符號定義有機聯(lián)系，回歸現(xiàn)實背景，豐富數(shù)感原型來支撐概念本質。在數(shù)感教學時，教師應當盡可能提供豐富多樣的事物原型，幫助學生建立豐富、立體化的概念意象。

3.直觀表征協(xié)同，形成深刻表象，導向符號表征

從上述設計看出，圖示或操作模型等直觀表征是聯(lián)結具體到抽象“溝”的橋梁，因此，必須調度好多種感官協(xié)同感知。直觀表征只是形成數(shù)感的過程，是幫助學生理解抽象的數(shù)學內容，并不能直接導致學生的數(shù)學理解，而具體表征最后必須上升到抽象才是“數(shù)學”，僅停留在具體表征階段永遠只是“操作”[5]，因此必須趨向符號表征。數(shù)感表征只有通過思維凝聚才能認識到事物抽象的本質，課程設計者有意促進學生的思維從具體向抽象、由低層次向高層次抽象發(fā)展，有助于喚醒和提取表象，促進學生感知向抽象思維過渡，進行高層次數(shù)學思維活動，這些對我國數(shù)感課程設計應該具有警示和借鑒作用。

[參 考 文 獻]

[1] 教育部.全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)[M].北京：北京師范大學出版社，2013：66-68.

[2] 秦德生，孔凡哲.關于幾何直觀的思考[J].中學數(shù)學教學參考，2005(10):9-11

[3] 孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式[J]. 課程·教材·教法，2012(7)：92-97.

[4] BAILEY R，DAY R，F(xiàn)REY P，et al.Mathematics:Applications and Concepts ancourse1[M].Columbus O H：The McGraw-Hill Company，2006..

[5] 秦德生.美國中小學“估算”課程設計及其啟示[J].外國中小學教育，2013(12)：50-54.

[責任編輯：陳學濤]

[DOI] 10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2017.03.010

[收稿日期] 2016-11-17

[基金項目] 吉林省發(fā)改委項目(2015Y054)；東北師大教改項目(2015JSJY011)。

[作者簡介] 郭方年(1967-)，男，福建龍巖人，小學高級教師，校長；秦德生(1974-)，男，內蒙古通遼人，副教授。

[中圖分類號] G623.5

[文獻標志碼]A

[文章編號]1002-1477(2017)03-0035-04