《小數(shù)的意義》是蘇教版五年級上冊第三單元“小數(shù)的意義和性質(zhì)”的第一課時，學(xué)生在三年級時已經(jīng)兩次初步認識了小數(shù)，知道了“十分之幾可以寫成零點幾”，在這個基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)的意義。本學(xué)期，筆者對這節(jié)課進行了兩次執(zhí)教，頗有想法。

初試：形式類比掩蓋了豐富的數(shù)學(xué)思考

考慮到學(xué)生已經(jīng)初步認識了一位小數(shù)，那何不利用學(xué)生已有知識經(jīng)驗進行教學(xué)。于是教學(xué)中從舊知引入教學(xué)，試圖喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗，并引導(dǎo)學(xué)生有效運用已有經(jīng)驗進行新知的學(xué)習(xí)。

首先，教師讓孩子將3/10、8/10、9/10改寫成小數(shù)，并思考這些小數(shù)和分數(shù)有什么關(guān)系，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)十分之幾可以寫成零點幾，零點幾就是十分之幾。

接著，教師出示了25/100、4/100、36/100、5/1000這幾個小數(shù)，讓學(xué)生猜一猜把這些分數(shù)改寫成小數(shù)，可能是什么小數(shù)，學(xué)生通過類比說出自己的想法，有的想到25/100可以寫成0.25、4/100可以寫成0.04，36/1000可以寫成0.036，5/1000可以改寫成0.005；有的由分母是10的分數(shù)都可以改寫成一位小數(shù)，想到分母為100的可以改寫成兩位小數(shù)，那分母是1000的小數(shù)就可以改成三位小數(shù)。還有的甚至想到一萬分之幾可以寫成零點零零零幾，就是四位小數(shù)。

上課時，感覺很順暢，可當解決下面問題時，學(xué)生卻出現(xiàn)了以下的錯誤。

細究原因，學(xué)生僅憑借著三年級時所初步認識的小數(shù)的經(jīng)驗來研究，用已有經(jīng)驗類推新知，“十分之幾可以寫成零點幾”，分母是10的分數(shù)可以寫成一位小數(shù)，那么百分之幾就可以寫成兩位小數(shù)，千分之幾寫成三位小數(shù)，學(xué)生學(xué)會了形式上的類比、模仿，表面看學(xué)生自己研究沒有很大的困難，貌似都會了，可是學(xué)生缺少豐富的感性認識，沒有很好地將小數(shù)的意義和分數(shù)的意義建立起內(nèi)在聯(lián)系，始終沒有觸及到小數(shù)的意義的內(nèi)涵，顯然這便是問題的癥結(jié)所在。      

類比法是數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生可以根據(jù)兩個對象之間在某些方面的相同或相似，從而推出它們在其他方面也可能相同或相似，數(shù)學(xué)中的許多定理、公式和法則是通過類比得到的，在解題中尋找問題的線索，往往也借助于類比方法，從而達到啟發(fā)思路的目的。但是，我們的教學(xué)不能止步于類比，而要在類比的基礎(chǔ)上更著重于意義的建構(gòu)，深入到知識的本質(zhì)。由此看來，形式的類比還要上升到意義的建構(gòu)。

重建：多元表征促成了學(xué)生的意義建構(gòu)

有了上述的反思，于是在重新設(shè)計這節(jié)課時進行了更深刻地思考，小數(shù)的意義相對來說比較抽象，學(xué)生對小數(shù)意義的建構(gòu)，要建立在對十進制分數(shù)理解之上，需要積累豐富的感性認識，那么在教學(xué)時給學(xué)生呈現(xiàn)多種直觀載體、模型，來豐富學(xué)生對小數(shù)意義的認識，該是教學(xué)的很好策略。出于這樣的認識，就有了以下的設(shè)計。

A.情境表征

①實物情境——借助長度單位研究。

1厘米、9厘米、47厘米、1毫米、3毫米用分數(shù)、小數(shù)表示分別是多少米？在尺子上數(shù)一數(shù)、指一指，并在小組內(nèi)說說每個小數(shù)的意義。

    小組匯報：

生1:把1米平均分成100份，1厘米是其中的1份，是1/100米，也就是0.01米。9厘米是其中的9份，是9/100米，也就是0.09米。47厘米是其中的47份，是47/100米，也就是0.47米。

生2：怎么知道是把1米平均分成100份？

生3：因為1米等于100厘米。

師：0.01米小數(shù)點后面的0可以去掉嗎？

生：不可以，那就變成0.1米了，0.1米是1分米，而不是1厘米。

……

②生活情境——借助貨幣單位研究。

給物品的單價設(shè)計標簽（單位是元）：1元5角、5分、4角8分。

學(xué)生交流想法。

生：1元=10角，把1元平均分成10份，9角是9份，是9/10，也就是0.9元。

生：1元=100分，把1元平均分成100份，5分是其中的5份，是5/100元，也就是0.05元。

生：4角8分=48分，1元平均分成100份，48分是其中的48份，是48/100元，也就是0.48元。

③多種情境——自由靈活表達。

師：剛才我們借助了長度單位和貨幣單位認識了小數(shù)，你還能想到利用什么單位來研究小數(shù)呢？舉例子說說吧。

生1：我想到了體積單位，5毫升=0.005升。

生2：我想到了質(zhì)量單位，356克=0.356千克，75千克=0.075噸。

生3：我還想到了面積單位，104平方厘米=0.104平方分米。

師：咦，你們怎么沒有人提到時間單位？

生：時間單位不行，時與分的進率是60，分和秒的進率也是60，不好直接寫成小數(shù)。

多種上單位的自由表達，一方面幫助學(xué)生積累豐富的感性認識，另一方面，體會到時間單位的進率是60，所以多少分、多少秒不能直接寫成小數(shù)的形式,溝通十進制分數(shù)與小數(shù)之間的關(guān)系。

B.符號表征

忽略分數(shù)和小數(shù)后面的單位，脫離情境，只留下分數(shù)和對應(yīng)的小數(shù)。

C.語言表征

引導(dǎo)學(xué)生讀一讀分數(shù)和對應(yīng)的小數(shù)，用自己的語言概括出小數(shù)的意義。

師：自己小聲讀一讀黑板上的式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？和同桌討論交流一下。

生：分母是10、100、1000……的分數(shù)可以用小數(shù)表示。

生：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……

生：如果是四位小數(shù)，就表示萬分之幾。

D.圖形表征

通過直觀圖形，學(xué)生進一步體會分數(shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系，理解小數(shù)的意義。

①正方形、正方體

②數(shù)軸

“小數(shù)的意義”是節(jié)概念教學(xué)課，研究表明，學(xué)習(xí)者需要通過內(nèi)化概念的多種表達形式，并與已有的內(nèi)在表象發(fā)生相互作用，以此促進或影響學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)理解^[1]。那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于一個數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，往往可以通過多元的形式來表征，不同的表征形式是為了對不同的概念或不同的問題進行不同的闡述，使學(xué)生獲得更深刻的體驗，從而達到對數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟。教學(xué)中我們運用圖形、符號、語言等從多角度來表征小數(shù)的意義。當然，對于不同的表征形式，教師應(yīng)更重視必要的引導(dǎo)，幫助學(xué)生在表征的不同成分之間建立充分的聯(lián)系，并進行靈活的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生較全面地把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的本質(zhì)與非本質(zhì)屬性，從而進行意義的建構(gòu)。

小數(shù)的意義是比較抽象的，需要和十進制分數(shù)建立起聯(lián)系?？紤]到學(xué)生的認知經(jīng)驗和思維特點，先從形象的、具體的情境表征入手，讓學(xué)生結(jié)合米尺和貨幣單位、面積單位、質(zhì)量單位等，借助單位之間的進率來體會小數(shù)的意義，當學(xué)生建立了表象后，再去情境，擦掉單位名稱，抽象出符號，分數(shù)和對應(yīng)的小數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言概括出小數(shù)的意義，實現(xiàn)了由形象的表征到抽象的表征之間的轉(zhuǎn)換。接下來再由抽象的表征轉(zhuǎn)換到形象的表征，由直觀圖形的演示，讓學(xué)生進一步體會分數(shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系，更加深刻地理解小數(shù)的意義，當然，這里，也可以讓學(xué)生具體說一個小數(shù)的意義，學(xué)生或是結(jié)合具體情境來說，或是抽象地說。種種，都是幫助學(xué)生溝通不同表征之間的聯(lián)系，并經(jīng)歷形象到抽象，再到形象的過程，建構(gòu)起小數(shù)的意義。