在高三復(fù)習(xí)的最后階段，由于離高考的時(shí)間越來越近的緣故，不論是學(xué)生、家長(zhǎng)還是任課教師，都出現(xiàn)了不同程度的急躁情緒。如何盡快地提高學(xué)生數(shù)學(xué)的思維能力，以期在7周后的高考中取得令自己滿意的分?jǐn)?shù)，成為大家共同關(guān)注、焦慮的話題。

我以為要解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，在于明確學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，仍存在的最大的問題是什么？阻礙學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績(jī)的最大的障礙是什么？只有如此，才能夠提高最后階段數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的針對(duì)性，也才能夠真正提高學(xué)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的價(jià)值。

我在海淀區(qū)教委宣傳科組織的“家庭教育大講堂”上，就“高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的策略與方法”和自愿來聽講座的家長(zhǎng)們做了比較深入的交流。一位有在英國留學(xué)讀博經(jīng)歷的家長(zhǎng)給我留下了比較深刻的印象，他非常認(rèn)同我在講座中對(duì)中學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)狀的理解和思考，他認(rèn)為在高三復(fù)習(xí)中對(duì)數(shù)學(xué)基本思想和方法的喚醒不僅非常必要，而且難能可貴。

他的觀點(diǎn)是：“在當(dāng)前應(yīng)試教育的背景下，使學(xué)生能夠從哲學(xué)角度去看問題，用系統(tǒng)性的方法論去嘗試解決問題，對(duì)學(xué)生未來的生活、工作，以及當(dāng)前的考試都會(huì)很大的幫助。”

他在后來發(fā)給我的郵件中闡述道：“從廣義的意義上來說，許多社會(huì)問題，無論是科學(xué)的（Basic particle）、政治的(Political view）、經(jīng)濟(jì)的（Allocation identify）、文化( Taboos boundary)的，甚至是軍事(Power contrast)的，很多都是起源于對(duì)基本單位的定義和理解，也就是數(shù)學(xué)上的1，以及0到1的由來。在這個(gè)問題上沒有共識(shí)，隨后的基數(shù)遞增以及更大級(jí)數(shù)上產(chǎn)生的誤差和沖突的數(shù)量就可想而知了。即便是沒有在基態(tài)上有明確的定義，在次級(jí)或次2級(jí)態(tài)能有最大程度的一致，就可以降低幾何基數(shù)的分歧”。

這位家長(zhǎng)用“基本單位”這一概念從宏觀的層面上揭示了許多社會(huì)現(xiàn)象的本質(zhì)，其實(shí)何嘗不是對(duì)于我們的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)工作，特別是我們高中的數(shù)學(xué)教育來說也是一種啟示呢。

其中一個(gè)重要的原因就是從單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)來看，似乎學(xué)生都已經(jīng)過了一遍，但是把這些知識(shí)整合起來，變成學(xué)生自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成自己的思考數(shù)學(xué)問題的思維還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到要求。而這也正是高三最后階段的八周復(fù)習(xí)的重要任務(wù)。

我們的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所遇到的困難的原因不是學(xué)生做的題目少，也不能怪罪學(xué)生不刻苦。需要我們反思的是，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)是不是從學(xué)生開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，就本著從數(shù)學(xué)的概念出發(fā)去引導(dǎo)學(xué)生去思考數(shù)學(xué)的問題，學(xué)生是否能夠從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)問題。

在目前的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，學(xué)生的思維活動(dòng)還常常受制于教師，缺乏獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，缺乏獨(dú)立解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題的體驗(yàn)，學(xué)生還不習(xí)慣自己對(duì)解決問題的策略和方法做出選擇和判斷，也沒有形成自己的思維方式。

許多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)稍弱的學(xué)生更喜歡按著老師教給的步驟去理解問題和解決問題；更喜歡通過“套”公式得到問題的答案、通過背結(jié)論甚至背按題型所對(duì)應(yīng)的解法去解決數(shù)學(xué)問題。這種在老師后面亦步亦趨的學(xué)生不會(huì)去自己思考數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，不能意識(shí)到掌握數(shù)學(xué)與各個(gè)學(xué)科的不同思維特點(diǎn)的重要意義。

以上這些現(xiàn)象都是在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中存在的主要問題，而阻礙學(xué)生進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)成績(jī)的最大的障礙是研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)的淡漠。很多學(xué)生總是將數(shù)學(xué)問題的解決歸結(jié)為計(jì)算，甚至把數(shù)學(xué)成績(jī)不好的原因歸結(jié)為是在計(jì)算上出現(xiàn)了馬虎、做題的數(shù)量還不夠、計(jì)算的熟練程度還有欠缺等等。

如果我們的教師也還沒有看到學(xué)生問題的真正所在，仍然主導(dǎo)課堂的思維，不給學(xué)生思考問題的空間，不引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立地思考數(shù)學(xué)問題和解決問題，那將在隨后幾周的復(fù)習(xí)中喪失有可能提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的最后機(jī)會(huì)。

教師在復(fù)習(xí)課上給學(xué)生留出思維活動(dòng)的時(shí)間和空間，不等于放棄教師的主導(dǎo)作用。相反，為了使得學(xué)生的思維活動(dòng)針對(duì)于高考來說更有效，教師對(duì)課堂上所交流的問題的選取以及對(duì)學(xué)生思維活動(dòng)的引導(dǎo)與評(píng)價(jià)也是非常重要的。

在學(xué)生的思維活動(dòng)中，他（或她）所提出來的某些方法可能根本解決不了他們所面臨的數(shù)學(xué)問題，但是作為教師要善于分析學(xué)生思維活動(dòng)中合理的部分，幫助學(xué)生尋找到最終能夠解決問題的方法。也許教師給學(xué)生講一個(gè)解法不需要很長(zhǎng)的時(shí)間，但效果未必有效！而學(xué)生獨(dú)立思考出來的方法，哪怕不是最佳的、甚至是行不通的，但這種思維的狀態(tài)卻是目前最為需要的。

作為教師一定要保護(hù)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題的積極性，充分認(rèn)識(shí)到學(xué)生獨(dú)立思考的價(jià)值，創(chuàng)造條件鼓勵(lì)自學(xué)生積極思考。只有當(dāng)學(xué)生的思維活動(dòng)充分展開了，學(xué)生才會(huì)感受到數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的真正目的，也一定會(huì)體驗(yàn)到積極的數(shù)學(xué)思維是提高數(shù)學(xué)成績(jī)的必由之路。

學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的自信心不是源于教自己的老師多么的優(yōu)秀，也不是源于自己做了多少數(shù)學(xué)題目，而是在于他是否掌握了獨(dú)立思考數(shù)學(xué)問題的方法。而這也正是我們?cè)诟呷詈箅A段的復(fù)習(xí)中給學(xué)生留出思維空間的原因。

很多學(xué)生所理解的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)總是和解題相提并論，而解題又往往等同于計(jì)算，因而導(dǎo)致在高三學(xué)生中缺乏研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)成為比較普遍的問題。這種意識(shí)的缺乏導(dǎo)致的最直接的后果就是解決數(shù)學(xué)問題能力的弱化。也就使得這些學(xué)生無法適應(yīng)以選拔為主要功能的高考，也就無法順利地解決以能力為立意的高考試卷中的數(shù)學(xué)問題。

提高學(xué)生研究問題能力最重要的首先是要有研究問題的意識(shí)。在高三的最后階段，教師應(yīng)該在有限的復(fù)習(xí)課上，把研究意識(shí)的培養(yǎng)作為復(fù)習(xí)的重要任務(wù)之一。

如在函數(shù)的復(fù)習(xí)中只給學(xué)生函數(shù)的解析式（不給出具體的問題），讓學(xué)生分析這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)是什么，讓學(xué)生經(jīng)歷研究函數(shù)性質(zhì)的一般的思維過程，即：首先從這個(gè)函數(shù)的整體的性質(zhì)入手，看其是否具有對(duì)稱性。如果具有對(duì)稱性，不論是關(guān)于直線對(duì)稱，還是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么解決問題的范圍就可以簡(jiǎn)化為原來范圍的一半，從而簡(jiǎn)化研究問題的過程。

這種對(duì)稱性質(zhì)的特殊情況就是偶函數(shù)和奇函數(shù)。如果明確了這個(gè)函數(shù)是否具備某種對(duì)稱性之后，就應(yīng)該研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握這個(gè)函數(shù)的變化狀態(tài)，進(jìn)而研究函數(shù)的周期性，通過函數(shù)的解析式分析函數(shù)值的分布。在此基礎(chǔ)上，就可以根據(jù)所研究出來的函數(shù)性質(zhì)畫出這個(gè)函數(shù)的示意圖。

顧名思義，這個(gè)圖不是函數(shù)的真實(shí)的圖形，僅僅是能夠直觀體現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的示意圖，而利用這樣的圖象已經(jīng)足以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題并解決問題了。

在立體幾何的最后階段的復(fù)習(xí)中，老師要培養(yǎng)學(xué)生研究空間幾何體的意識(shí)。一些學(xué)生對(duì)于立體幾何的解答題常常是匆匆掃一眼題目的條件，對(duì)所要面臨的幾何問題還沒有太深刻的認(rèn)識(shí)就開始解答題目的第一問，之后基本上就是答一問，看一眼題目中相關(guān)的條件，對(duì)幾何體的認(rèn)識(shí)往往局限在很小的范圍內(nèi)。

由于缺乏對(duì)幾何體整體的分析，學(xué)生也就很難能夠?qū)λ媾R的問題有一個(gè)圓滿的解決了。為此，教師應(yīng)該以空間幾何體為載體，幫助學(xué)生掌握研究幾何體的基本方法：首先從圍成的空間幾何體的面去分析是什么樣的平面圖形；側(cè)面與底面具有什么樣的位置關(guān)系；側(cè)棱與底面具有什么樣的位置關(guān)系。進(jìn)而分析空間幾何體中比較重要的截面（如過棱及對(duì)棱中點(diǎn)的截面）與其它面之間的位置關(guān)系、與幾何體的棱及體對(duì)角線之間的位置關(guān)系等等。

我們要讓學(xué)生體會(huì)到，對(duì)于所面對(duì)的空間幾何體的線面位置關(guān)系能夠進(jìn)行比較細(xì)致的研究并做出準(zhǔn)確的判斷是解決好空間幾何體問題的重要前提。

在平面解析幾何復(fù)習(xí)中，很多學(xué)生對(duì)這門課程的認(rèn)識(shí)存在著不少的誤解，最典型的是把平面解析幾何簡(jiǎn)單地歸結(jié)為就是計(jì)算，所謂的代數(shù)方法解決幾何問題就是聯(lián)立方程組。因此，在最后的這段時(shí)間里，教師要幫助學(xué)生正確地認(rèn)識(shí)和理解這門學(xué)科的思維特點(diǎn)和方法，學(xué)會(huì)從幾何對(duì)象的幾何圖形中、從曲線方程中以及從已知條件的代數(shù)數(shù)據(jù)中去研究、分析幾何對(duì)象的幾何特征（包括幾何對(duì)象的性質(zhì)和不同幾何對(duì)象之間的位置關(guān)系），只有將幾何的特征分析得非常充分，對(duì)其代數(shù)化的過程才可能更加簡(jiǎn)單，代數(shù)運(yùn)算的難度也才可能降低。

實(shí)際上盡管不同學(xué)科、不同單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容有著很大的差別，但是從思維的層面上去看這些學(xué)科，便不難發(fā)現(xiàn)它們之間所具有的共性特征。無論是研究函數(shù)的解析式、還是研究空間幾何體或是曲線的方程，最為關(guān)鍵的是，學(xué)生要具有研究問題的意識(shí)并掌握研究問題的一般方法。只有具備了這種意識(shí)，在復(fù)習(xí)近八個(gè)多月的基礎(chǔ)上，研究問題能力的提高才可能成為現(xiàn)實(shí)。

精神層面的激勵(lì)是一個(gè)方面，但更重要的來自于他們的實(shí)力。經(jīng)過近一年的復(fù)習(xí)，如果他們已經(jīng)掌握了數(shù)學(xué)各個(gè)單元的思維方式，學(xué)會(huì)了如何思考數(shù)學(xué)問題；如果他們已經(jīng)掌握了研究數(shù)學(xué)問題的一般方法，會(huì)以研究問題的心態(tài)去解決一道道的數(shù)學(xué)題；如果他們已經(jīng)掌握了數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)科的學(xué)科觀點(diǎn)，會(huì)用學(xué)科的觀點(diǎn)理解數(shù)學(xué)問題的話，他們必然會(huì)有足夠強(qiáng)大的力量和自信。

作為教師要清醒地認(rèn)識(shí)到，只有讓學(xué)生始終保持一個(gè)良好的思維狀態(tài)，對(duì)所面對(duì)的數(shù)學(xué)問題有敏銳的洞察力，能夠深刻地理解問題，能夠制定出解決問題的策略、方法，才是最后階段的復(fù)習(xí)所要關(guān)注和實(shí)施的。

押題式的訓(xùn)練和死記硬背式的復(fù)習(xí)，都是和思維活動(dòng)的本質(zhì)背道而馳的。作為教師一定要在備課上下更大的功夫。精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，以此來訓(xùn)練學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題、思考數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的能力。而提煉、概括解決數(shù)學(xué)問題的一般方法仍然是思維活動(dòng)的主要內(nèi)容。

我們要堅(jiān)信，思考是一種力量！因?yàn)橹挥兴伎迹拍軌蚴沟脤W(xué)生的思維充分地活動(dòng)起來，也只有如此，數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)才最接近數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的本質(zhì)；只有思考，才能夠讓我們的學(xué)生變得越來越聰明、智慧！只有思考才能夠讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)富有意義。

我們要自信思考是一種安靜的力量！我們要拒絕任何浮躁的、形式主義的復(fù)習(xí)方式，因?yàn)槟鞘沁`背教學(xué)和學(xué)習(xí)規(guī)律的。作為教師的你，要讓學(xué)生能夠靜下心來，堅(jiān)持不斷地去思考從而提高自己的思維品質(zhì)，以積極的思維狀態(tài)迎接人生的一次思維盛宴。