——基于“幾何概型”的課例研析

過燕晶 寧連華 (南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，210023)

摘要：課堂導(dǎo)入是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。高質(zhì)量的課堂導(dǎo)入能為后續(xù)的課堂教學(xué)活動(dòng)帶來便利和高效。對(duì)兩節(jié)展示課例的導(dǎo)入部分進(jìn)行分析與思考，展現(xiàn)課堂導(dǎo)入應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生探究并提出課題。

關(guān)鍵詞： 幾何概型；課堂導(dǎo)入；案例分析；

課堂引入是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。巧妙而有效的導(dǎo)入,不僅可以使學(xué)生聚焦課堂主題,還能引起學(xué)生濃厚的求知欲,喚起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生真正參與到課堂中.那么,怎樣的導(dǎo)入形式才算有效？雖然數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入沒有一個(gè)統(tǒng)一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，但筆者認(rèn)為，良好的課堂導(dǎo)入應(yīng)當(dāng)能夠引導(dǎo)學(xué)生探究并提出課題。本文基于2014年度全國數(shù)學(xué)教育研究會(huì)上的兩節(jié)“幾何概型”課例的課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)進(jìn)行分析、思考，談些認(rèn)識(shí).

課例1教學(xué)片斷1：

情境:《青花瓷》這首歌全長有四分鐘,它的高潮部分約在50秒末開始,到1分50秒末結(jié)束．小明最愛聽這首歌,有一天,他正戴著耳機(jī)以單曲循環(huán)的播放模式聽這首歌,這時(shí),媽媽喊他有事．小明回來后,又立刻戴上耳機(jī)．請(qǐng)問:小明恰好聽到這首歌高潮部分的概率是多少?

2. 問題情境應(yīng)充分體現(xiàn)其價(jià)值

問題情境是思維的本源，在教學(xué)中適當(dāng)而準(zhǔn)確地創(chuàng)設(shè)問題情境，以問題為紐帶來組織和調(diào)控教學(xué)，既能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，又能促進(jìn)學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，提高課堂教學(xué)效果。教師通過現(xiàn)實(shí)背景提出暗含性的問題:“小明恰好聽到這首歌高潮部分的概率是多少”,這是本節(jié)課所要解決的具體問題,是一個(gè)值得探究的原始性問題.這個(gè)問題能不能用古典概率計(jì)算公式來解決？若不能，應(yīng)該怎么做？分析這個(gè)問題與既有解決問題方法的差距所在,使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突.教師通過啟發(fā)性提示語引領(lǐng)學(xué)生類比古典概型的特點(diǎn)——基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)。此題基本事件的個(gè)數(shù)為無限個(gè),基本事件個(gè)數(shù)從有限變成了無限，無法像古典概型那樣計(jì)算。要解決這個(gè)問題，數(shù)“個(gè)數(shù)”不行了，轉(zhuǎn)而要看基本事件對(duì)應(yīng)的“點(diǎn)”所構(gòu)成的圖形。這樣師生活動(dòng)的焦點(diǎn)就集中在如何解決基本事件的個(gè)數(shù)為無限的問題，使得研究幾何概型成為必然.

為導(dǎo)入新課而創(chuàng)設(shè)問題情境的根本目的在于揭示事物的矛盾或引發(fā)主體內(nèi)心的沖突，打破主體已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，從而喚起思維，激發(fā)其內(nèi)驅(qū)力，使學(xué)生進(jìn)入問題者角色，真正融入學(xué)習(xí)活動(dòng)之中.倘若教師在創(chuàng)設(shè)了富有啟發(fā)性的問題情境之后,不能給出一些引導(dǎo)性提示語進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的思考和探究活動(dòng),學(xué)生就不能認(rèn)識(shí)到有研究本課題的需要。學(xué)生可能會(huì)在熱鬧的情境中糊涂地學(xué)習(xí), 問題情境無法起到預(yù)設(shè)的作用。

教學(xué)片斷2：

問題1：學(xué)習(xí)了古典概型后，大家有沒有想到什么新的問題？

生1：古典概型的基本事件是有限個(gè)，但是很多實(shí)際問題中，基本事件有無數(shù)個(gè)。在當(dāng)基本事件有無數(shù)個(gè)的時(shí)候，怎樣求出其概率？

問題2：古典概型只解決了一類問題,不能解決所有的隨機(jī)試驗(yàn)問題。你能舉出一個(gè)不是古典概型的例子嗎？

生2：在吃西瓜的時(shí)候，咬一口有時(shí)能吃得到籽，有時(shí)卻吃不到籽，基本事件的概率不相等，就不是一個(gè)古典概型的例子.

生3：一塊圓形區(qū)域，投一塊磁鐵，磁鐵是否落入圓形區(qū)域，這個(gè)基本事件是無數(shù)個(gè).

問題3：方才兩位同學(xué)舉出了非古典概型的例子,說說你是怎么想到的？

生4：基本事件的概率是不相等的，我想它就不是一個(gè)古典概型的例子.

師:下面我們把生3的例子提煉一下，看成這樣一個(gè)問題.

問題：取一個(gè)邊長為2的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率.

生11:面積.

教學(xué)片斷2的導(dǎo)入設(shè)計(jì)體現(xiàn)了導(dǎo)入的本質(zhì)。

1.從無到有，提出課題——體現(xiàn)“探什么”

好的問題情境,可使學(xué)生在尋求問題解決過程中不斷探究,不斷發(fā)現(xiàn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題情境中的問題,已有的知識(shí)不夠用了,需要研究與這個(gè)問題有關(guān)的未知問題,也就是本課的課題.為導(dǎo)入新課而創(chuàng)設(shè)問題情境的根本目的是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到有研究本課題的需要,進(jìn)而提出本課的課題,這正是教學(xué)片斷1和教學(xué)片斷2的本質(zhì)差別.

教學(xué)片斷2在導(dǎo)入環(huán)節(jié)中的問題情境主要由前兩個(gè)開放性問題構(gòu)成。核心問題是“如何求解非古典概型的概率”.教師并沒有代替學(xué)生思考直接提出問題，而是在教學(xué)伊始，拋出兩個(gè)非常富有挑戰(zhàn)性的問題.顯然,問題是驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維展開思考的鑰匙,啟發(fā)學(xué)生自己提出新問題,舉出非古典概型的例子,增加了學(xué)生思考和理解的深度.同時(shí),提問屬于啟發(fā)性提示語,不但具有元認(rèn)知意義,還具有方法論意義.對(duì)于這樣具有挑戰(zhàn)性的問題,學(xué)生無法立即解決，需要經(jīng)過一番認(rèn)真思考，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.學(xué)生創(chuàng)造性地提出新的問題，慢慢體會(huì)到學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性.

反思性教學(xué)原理要求教師對(duì)學(xué)生的思考與回答要能經(jīng)常提出追問、反詰.問題3通過回顧、質(zhì)疑、追問、反詰學(xué)生舉出的例子,讓學(xué)生搞清楚自己是怎么想到的,也讓學(xué)生明白，要舉出非古典概型的例子,即舉出的例子不能滿足古典概型的特點(diǎn).從學(xué)生的回答情況來看，這三個(gè)富有啟發(fā)性的問題設(shè)計(jì)較成功，學(xué)生思維看似發(fā)散，實(shí)則通過認(rèn)真思考都在圍繞“非古典概型”的特點(diǎn)回答.

2. 從“有”到“深”,探索新知——體現(xiàn)“怎么探”

遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是數(shù)學(xué)教學(xué)不變的原則，教學(xué)設(shè)計(jì)必須立足于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，聯(lián)系舊知，探索新知.基于教學(xué)片斷2的前三個(gè)問題，學(xué)生經(jīng)歷了從無到有的探究過程.

接下來，教師通過不斷設(shè)問,排除次要因素,突出主要因素,揭示出本節(jié)課真正的問題。細(xì)化后的課題，是在師生協(xié)作下形成的一個(gè)新課題,這個(gè)新課題源于初課題,又高于初課題.教師的這些具有梯度和層次的設(shè)問,保證了學(xué)生較大的探索余地和思考空間.這些問題,有的可能是事先預(yù)設(shè)好的,有的可能就是課堂生成的，體現(xiàn)了教師教學(xué)有法。

這些問題中，“古典概型的概率公式和這個(gè)計(jì)算式子在形式上面有什么關(guān)系?”“為什么有這種替代?”讓學(xué)生集中注意教材中的一些關(guān)鍵點(diǎn)，也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)公式需要經(jīng)過嚴(yán)格的論證才能得到.“我們分析一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的概率問題首先考慮什么？”“為什么可以用面積比得到這個(gè)概率呢？”讓學(xué)生從探究中認(rèn)識(shí)到還存在沒有解決的問題,還有需要探究的問題?；臼录膫€(gè)數(shù)為無限，數(shù)是數(shù)不清了，可以整體來看，即看它們的集合——線、面、體，進(jìn)而自然提出課題。這樣層層遞進(jìn)的設(shè)問，可謂獨(dú)具匠心.

三、反思

教學(xué)有法，但無定法.數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入雖然只是短短的幾分鐘，但課堂導(dǎo)入的成功與否直接影響到后續(xù)整個(gè)課堂教學(xué)的發(fā)展，如何實(shí)現(xiàn)有效的導(dǎo)入，這是值得每位教師反復(fù)思考的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 涂榮豹,寧連華,徐伯華.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2011.