●系統(tǒng)總結(jié)反思
    總結(jié)反思是數(shù)學(xué)課堂的第二次回歸，是對(duì)新知識(shí)模塊內(nèi)在聯(lián)系的系統(tǒng)整理，是把新知識(shí)模塊通過順應(yīng)與同化有機(jī)地融入已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是讓學(xué)生既要回歸數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)法則，更要回歸數(shù)學(xué)的基本原理，是數(shù)學(xué)知識(shí)系列化、系統(tǒng)化的過程。
    總結(jié)的策略：歸納總結(jié)式、練習(xí)鞏固式、引申總結(jié)式、首尾照應(yīng)式、激發(fā)興趣式、存疑探究式。
    反思的策略：學(xué)生反思學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的（思維）習(xí)慣、方式、方法、效果，反思自己的成功、失誤之處和師生的見解等，特別要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思。
    (3)對(duì)初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維“主過程”與“輔過程”的理解
    ●“主過程”與“輔過程”具有不同的思維特征
    “主過程”是以“學(xué)”為主，學(xué)生通過感覺、知覺，在豐富的情境中感知數(shù)學(xué)新知識(shí)，體味數(shù)學(xué)的生動(dòng)，形成對(duì)數(shù)學(xué)新知識(shí)的認(rèn)識(shí)。
    “輔過程”以“習(xí)”為主，通過應(yīng)用新知識(shí)，系統(tǒng)整理新知識(shí)，形成新的知識(shí)模塊，并將其有機(jī)融入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
    將學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過程分為“主過程”和“輔過程”，有利于根據(jù)每一過程的不同學(xué)習(xí)目標(biāo)、思維特征，有針對(duì)性地選擇指導(dǎo)策略。
    ●“主過程”與“輔過程”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必不可少的兩個(gè)過程
    “主過程”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過程的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的過程，是“輔過程”的基礎(chǔ)與前提。
    “輔過程”是學(xué)習(xí)思維過程的深化，是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成過程。
    “主過程”與“輔過程”不存在通常意義上的“主”與“輔”，在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過程中同等重要，相互依存，相得益彰，缺一不可，共同構(gòu)成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)完整的思維過程。
    (4)“主過程”、“輔過程”中教師的有效作為
    我們對(duì)全縣的數(shù)學(xué)課題教學(xué)提出了“四讓”要求：讓情境承載問題——激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，讓問題引領(lǐng)思維——引導(dǎo)學(xué)生思維，讓探究充滿課堂——突出思維過程，讓學(xué)生成為主人——發(fā)揮主體作用。
    1)巧妙設(shè)置導(dǎo)入情境，激發(fā)學(xué)生求知欲望
    教師應(yīng)致力于設(shè)計(jì)精妙的導(dǎo)入情境，使之蘊(yùn)涵豐富的懸念，在短時(shí)間內(nèi)使學(xué)生迅速地集中注意力，激發(fā)學(xué)生求知欲望和思維活動(dòng)，使學(xué)生從心理和思維上進(jìn)入良好的準(zhǔn)備狀態(tài)，為學(xué)生深入鉆研、主動(dòng)探索新知打下良好的基礎(chǔ)。導(dǎo)入情境的內(nèi)容設(shè)計(jì)必須緊扣教學(xué)內(nèi)容，使問題情境能承上啟下，指引方向，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與和合作學(xué)習(xí)；要切合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，內(nèi)容應(yīng)為學(xué)生所喜聞樂見，問題必須是“殘缺”的，容易引起認(rèn)知沖突，這樣才能夠激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的強(qiáng)烈愿望，促進(jìn)他們更好地理解新知識(shí)；內(nèi)容材料要少而精，否則學(xué)生容易把握不住重點(diǎn)，思維方向不明確。
    2)準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)教材意圖，注重內(nèi)容呈現(xiàn)方式
    由于受篇幅和結(jié)構(gòu)體系的制約，有些數(shù)學(xué)教材內(nèi)容往往省略了探究過程，這樣，學(xué)生學(xué)到的只是“死”的結(jié)論。因此，在明確任務(wù)和確定內(nèi)容的基礎(chǔ)上，要改變以往演繹規(guī)律、記憶規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律的思維方式，花大力氣對(duì)數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)按照知識(shí)結(jié)構(gòu)體系以及人類發(fā)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的過程進(jìn)行整合與“激活”，不但對(duì)教材中呈現(xiàn)的這些規(guī)律性知識(shí)按其被發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)的過程進(jìn)行教材的還原，而且根據(jù)課堂教學(xué)的需要，對(duì)這些規(guī)律性知識(shí)進(jìn)行教材的重組，還原知識(shí)的生長過程，帶領(lǐng)學(xué)生通過“似真”發(fā)現(xiàn)，模擬數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)，培養(yǎng)探究能力。但是，適度改變內(nèi)容的呈現(xiàn)方式并不是對(duì)課本的摒棄，而是建立在尊重教材的基礎(chǔ)上，有效地對(duì)教材進(jìn)行處理。
    3)精心安排教學(xué)過程，暴露師生思維軌跡
    在教學(xué)中，教師要經(jīng)常把自己置于困境中，然后再現(xiàn)自己從中走出來的過程，讓學(xué)生看到老師真實(shí)的思維過程，同時(shí)也要讓學(xué)生思考為什么要這樣去做，其思路方法是怎樣想到的，并把自己在解決問題過程中遇到的挫折暴露出來。教師設(shè)計(jì)問題時(shí)要難易相宜，深淺互補(bǔ)，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。
    4)適時(shí)有效提問引導(dǎo)，促進(jìn)課堂良性互動(dòng)
    讓學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，并在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，讓學(xué)生不斷地領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，從而潛移默化地提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這一過程中，教師不可能替代學(xué)生去接受數(shù)學(xué)知識(shí)，而只能起到一個(gè)引導(dǎo)的作用，因此教師要不斷地提出口的明確、針對(duì)性強(qiáng)的問題，以便一步步地展開教學(xué)。教師提出的每一個(gè)問題都要給學(xué)生一定的思考時(shí)間，當(dāng)學(xué)生的回答與教師的設(shè)想不一致時(shí)，需要教師耐心傾聽，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維非常重要。當(dāng)然，在傾聽學(xué)生的回答以后，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)刈鲆恍c(diǎn)評(píng)，及時(shí)糾正學(xué)生思考過程中存在的一些問題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和獨(dú)創(chuàng)性。我們不僅要提倡師生互動(dòng)，還要關(guān)注課堂中存在的師生互動(dòng)形式，例如觀察學(xué)生之間的言語、眼神以及動(dòng)作交流等。
    5)具體做到以下幾點(diǎn)：
    ①啟發(fā)到位。提供“學(xué)習(xí)提綱”啟發(fā)學(xué)生“獨(dú)立思考”；提供“合作指南”啟發(fā)學(xué)生“合作探究”；提供“交流建議”啟發(fā)學(xué)生“數(shù)學(xué)表達(dá)”。
    ②真正放手。學(xué)生能“動(dòng)手”的要放手讓他們?nèi)?#8220;操作”；學(xué)生能“發(fā)現(xiàn)”的要放手讓他們?nèi)?#8220;探究”；學(xué)生能“體驗(yàn)”的要放手讓他們?nèi)?#8220;經(jīng)歷”；學(xué)生能“實(shí)踐”的要放手讓他們?nèi)?#8220;踐行”。
    ③收得適時(shí)。“收”在“思維卡殼”時(shí)；“收”在“歸納概括”時(shí)；“收”在“總結(jié)反思”時(shí)。
    3　研究效果
    3.1　教學(xué)質(zhì)量的變化
    (1)中考成績大幅度大面積提升
    我縣近年來中考數(shù)學(xué)成績與2000年相比，呈直線上升且保持穩(wěn)定，兩極分化大為降低，A等級(jí)百分比從2000年的35.2%上升到2008年的51.8%，C等級(jí)從2000年的31.3%下降到2008年的20.8%，改變了研究前少數(shù)學(xué)校數(shù)學(xué)成績優(yōu)異與巨大落后面并存的局面，縣城與鄉(xiāng)鎮(zhèn)的差距明顯縮小，不僅高于全市數(shù)學(xué)平均水平，而且高于本縣其他學(xué)科教學(xué)質(zhì)量。
    (2)全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽成績喜人
    學(xué)生參加“全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”，不但參賽人數(shù)逐年增多，而且競(jìng)賽成績從全市七個(gè)縣（市、區(qū)）的倒數(shù)第一名躍到第一名。
    3.2　學(xué)生群體的變化
    (1)學(xué)生群體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣濃厚
    隨機(jī)抽取了八所學(xué)校對(duì)初一到初三學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和習(xí)慣進(jìn)行了問卷調(diào)查和課堂觀察與分析，研究實(shí)施初有47%的學(xué)生不喜歡、討厭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，研究實(shí)施后有81%的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，不喜歡、討厭學(xué)數(shù)學(xué)的比例下降為19%。在課堂上，無論是“積極思考，爭取發(fā)言”、“認(rèn)真做題，喜歡討論”，還是“愿意參與，期待提示”、“被動(dòng)應(yīng)付，等待答案”等參與數(shù)學(xué)活動(dòng)情況的對(duì)比，都有很大差異。學(xué)習(xí)過程中積累了積極的學(xué)習(xí)情感和態(tài)度體驗(yàn)，產(chǎn)生了主動(dòng)學(xué)習(xí)的要求，從“要我學(xué)”變?yōu)?#8220;我要學(xué)”。
    (2)學(xué)生群體的認(rèn)知水平顯著提高
    2000年與2008年，分別采用大樣本測(cè)試結(jié)果，從初中三年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中大量外顯行為所表征的教學(xué)目標(biāo)中析取其主要因素，由此確定目標(biāo)框架的層次，并運(yùn)用因素分析的方法得出測(cè)試結(jié)果：實(shí)踐研究后，學(xué)生的認(rèn)知水平測(cè)試與總分都有較大幅度的提高，總平均得分率從43.36%提升到54.83%，說明學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過程的有效性有了顯著提高；從統(tǒng)計(jì)分析看，無論是學(xué)生表征的認(rèn)知水平，還是學(xué)生內(nèi)隱的認(rèn)知水平，均有了較大幅度的提高。
    (3)學(xué)生群體的數(shù)學(xué)思想方法和思維品質(zhì)逐步形成
    通過調(diào)查對(duì)比，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法和思維的敏捷性、靈活性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性等數(shù)學(xué)思維品質(zhì)隨著課題的研究與實(shí)施逐步形成。
    (4)學(xué)生群體的思維能力明顯提高
    在全縣城鎮(zhèn)中學(xué)、單設(shè)初中、鄉(xiāng)附設(shè)初中分別進(jìn)行了跟蹤抽樣檢測(cè)：學(xué)生的平均成績、各種思維能力的百分比呈上升趨勢(shì)。學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素質(zhì)一屆超過一屆；標(biāo)準(zhǔn)差呈下降趨勢(shì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提高了，80%以上的學(xué)生具有形象記憶能力、空間想象能力、數(shù)字圖形文字的轉(zhuǎn)化處理能力。“數(shù)學(xué)考試，沒問題”，是近幾年全縣老師、學(xué)生、家長的共同語言。據(jù)高中階段調(diào)查，老師們普遍反映，近幾屆高中新生與上世紀(jì)90年代的學(xué)生相比，他們的數(shù)學(xué)思維能力有了明顯提高，良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)對(duì)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到了很好的促進(jìn)作用。
    (5)逐步養(yǎng)成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣
    對(duì)2720名學(xué)生從初一上學(xué)期到初三下學(xué)期進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，以問卷的形式對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣的“常規(guī)習(xí)慣”、“思維習(xí)慣”和“學(xué)習(xí)方式”等方面進(jìn)行了調(diào)查。
    ●常規(guī)習(xí)慣。課前能夠預(yù)習(xí)的人數(shù)從51%增加到88%，課后能夠復(fù)習(xí)的人數(shù)從58%增加到94%，獨(dú)立思考或合作交流完成作業(yè)的人數(shù)從49%上升到91%，抄襲作業(yè)人數(shù)從51%下降到9%。
    ●思維習(xí)慣。會(huì)閱讀數(shù)學(xué)教材的人數(shù)從33%上升到56%，獨(dú)立或合作分析數(shù)學(xué)問題的從17%上升到53%；作業(yè)完成后進(jìn)行檢查的從52%上升到78%，問題反思的從19%上升到47%。
    ●學(xué)習(xí)方式。認(rèn)為既注重結(jié)果，又注重過程，甚至過程比結(jié)果更重要的人數(shù)從26%上升到72%，喜歡嘗試用新方法解決問題的從5%上升到31%，能夠與同學(xué)合作學(xué)習(xí)或與老師交流與討論的從47%上升到83%，復(fù)習(xí)課本和老師所講內(nèi)容或總結(jié)歸納知識(shí)點(diǎn)及其聯(lián)系，有選擇地適當(dāng)練習(xí)的從38%上升到66%。
    3.3　教師群體的變化
    2008年3月到2008年7月，課題組歷時(shí)5個(gè)月，深入全縣各級(jí)各類初中53所，共走進(jìn)了318名（節(jié)）數(shù)學(xué)教師的課堂，采用課堂觀察的方式進(jìn)行了調(diào)研。這318名數(shù)學(xué)教師中，有137名女教師，181名男教師；有年齡在30歲以下的122人，31～45歲的137人，45歲以上的59人；有城鎮(zhèn)初中教師115人，農(nóng)村初中教師178人，邊遠(yuǎn)山區(qū)初中教師25人。
    (1)教師的教育教學(xué)觀念發(fā)生了深刻變化
    教師的教學(xué)觀、學(xué)生觀、質(zhì)量觀發(fā)生了深刻變化。普遍認(rèn)為，教學(xué)是對(duì)話與知識(shí)的建構(gòu)活動(dòng)，沒有溝通、交流的教學(xué)是不可想象的；教師不再僅僅把教會(huì)學(xué)生知識(shí)作為惟一的教學(xué)目標(biāo)，而是在教學(xué)目標(biāo)中融入“激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣”、“掌握學(xué)習(xí)方法”、“養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣”、“形成數(shù)學(xué)思想方法”、“培養(yǎng)思維能力”、“情感、態(tài)度和價(jià)值觀與知識(shí)同樣重要”等；教師尊重學(xué)生個(gè)體差異，注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心；教研活動(dòng)中教師談?wù)摰脑掝}是如何從學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，密切知識(shí)與生活之間的聯(lián)系；如何引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、論證等參與思維的過程；如何在實(shí)際活動(dòng)中體驗(yàn)、感悟并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決問題。
    (2)教師的教學(xué)行為發(fā)生了深刻變化
    縱觀這318節(jié)初中數(shù)學(xué)課，有307節(jié)課不同程度地遵循了初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的“主過程”與“輔過程”這個(gè)基本規(guī)律，老師按照基本規(guī)律組織教學(xué)活動(dòng)，指導(dǎo)學(xué)生有效思維。有95%的課堂不同程度地體現(xiàn)著問題意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)思維過程中積極自主發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。75.7%的學(xué)生認(rèn)為教師在教學(xué)中善于啟迪學(xué)生的思維，69.3%的學(xué)生認(rèn)為以“學(xué)生探究為主”，58.9%的學(xué)生認(rèn)為“以學(xué)生合作學(xué)習(xí)為主”等。在課堂觀察中，教師和學(xué)生之間不再是被動(dòng)的、服從的關(guān)系，而是和諧、互動(dòng)的合作關(guān)系。創(chuàng)設(shè)探究式的學(xué)習(xí)氛圍，想方設(shè)法設(shè)計(jì)一些師生、生生互動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)，通過活動(dòng)實(shí)現(xiàn)合作學(xué)習(xí)。87.7%的學(xué)生認(rèn)為師生、生生間“經(jīng)常交流”或“交流”，交流不僅局限于解答習(xí)題，更多的是交流各自解決問題的想法、學(xué)習(xí)的體驗(yàn)、感悟等。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的反映：自己的活動(dòng)多了，交流的時(shí)間多了，思維的要求高了，自我滿足感強(qiáng)了，再也不怕考試了。
    (3)科研型教師隊(duì)伍形成
    通過課題的研究與實(shí)施，48所學(xué)校還自立了與本課題相關(guān)的子課題，如《中學(xué)數(shù)學(xué)探究性教學(xué)設(shè)計(jì)研究》、《初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)的策略研究》、《初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)問題生成的策略研究》、《初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課的設(shè)計(jì)與實(shí)施研究》等，涌現(xiàn)了一大批科研型教師。
    ●我縣數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)能力上升到新的臺(tái)階，課題組收集研究案例2000余篇，先后有200多人次在省、市說（講）課賽活動(dòng)中獲得等級(jí)獎(jiǎng)，350多名數(shù)學(xué)教師的教案獲得市、縣等級(jí)獎(jiǎng)。
    ●課題組成員在二十多種數(shù)學(xué)報(bào)刊上公開發(fā)表200多篇課題相關(guān)研究論文，有的被中國人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》轉(zhuǎn)載或索引，有的參加國內(nèi)（際）學(xué)術(shù)會(huì)議交流或獲獎(jiǎng)，已有16項(xiàng)成果分別獲得省、市、縣課改成果（教學(xué)成果、科技進(jìn)步）獎(jiǎng)。
    ●課題主研人員有的榮獲四川省學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人、蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)和國務(wù)院政府特殊津貼等榮譽(yù)稱號(hào)，有的系特級(jí)教師后備人選和市、縣科技拔尖人才或?qū)W術(shù)技術(shù)帶頭人，200多位數(shù)學(xué)教師已成為教學(xué)骨干。此課題的研究實(shí)施，也極大地帶動(dòng)了其他學(xué)科教師紛紛走上教學(xué)研究之路。
    3.4　推廣范圍逐步擴(kuò)大
    該課題由1所初中校的4位數(shù)學(xué)教師逐步擴(kuò)大到全縣68所初中校的458名初中數(shù)學(xué)教師實(shí)施研究，并輻射到全縣小學(xué)、高中數(shù)學(xué)教師推廣應(yīng)用，達(dá)州市（內(nèi)）外部分學(xué)校先后組織教師來我縣實(shí)地考察或索取資料，學(xué)習(xí)應(yīng)用該課題研究實(shí)施的經(jīng)驗(yàn)，推廣實(shí)施，效果好。
    （致謝：本課題研究得到了四川省教育科學(xué)研究所周林研究員的精心指導(dǎo)，謹(jǐn)表示感謝！）