聯(lián)盟薦文|矩形的性質(zhì)及其拓展

海闊天空Lucy 2016-06-12

展開全文

公眾號(hào)：

初中理科班數(shù)學(xué)

平臺(tái)聯(lián)盟薦文欣賞

我們來自菁英教育集團(tuán)下12教育初中組，本平臺(tái)主要用于總結(jié)組內(nèi)各位老師在小班教學(xué)過程中的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，另外平臺(tái)還會(huì)涉及名題賞析、數(shù)學(xué)科普，提供初中競(jìng)賽、自招資料解析及下載等方面。弄斧就在班門！希望各位高手多多指點(diǎn)！

前言

研究特殊四邊形的性質(zhì)時(shí)，一般從四邊形的邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性、面積、與其他基本圖形的關(guān)系（主要是三角形和圓）等方面入手。

由定義，有一內(nèi)角為直角的平行四邊形為矩形。由此推出矩形的一些性質(zhì)：

四個(gè)內(nèi)角都是直角；

兩條對(duì)角線相等且互相平分；

對(duì)角線分割矩形的四個(gè)三角形都是等腰三角形；

矩形內(nèi)接于以對(duì)角線為直徑的圓；

矩形即是中心對(duì)稱也是軸對(duì)稱圖形。

由于矩形中出現(xiàn)了 4個(gè)直角和 4 個(gè)等腰三角形，所以課內(nèi)習(xí)題對(duì)矩形性質(zhì)的考查主要結(jié)合直角（三角形）的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)。當(dāng)然，矩形還具有平行四邊形的所有性質(zhì)，這更不能忽視。

先考慮直角：① 角度互余；② 勾股定理及斜高公式；③ 斜邊中線；④ 圓；⑤ 面積問題。

再考慮 等腰三角形：① 角度推導(dǎo)；② 三線合一；③ 底邊上一點(diǎn)到兩腰距離之和為定值；④ 旋轉(zhuǎn)；⑤ 等邊三角形相關(guān)。

課內(nèi)部分

勾股定理（直角翻折）

初三前，幾何計(jì)算以 勾股定理 為主要手段。到了初三，原先不得不用勾股定理解決的問題（二次方程），可以通過比例線段、相似和三角比來巧算（一次方程）。

第1題

答案：10.

第2題

答案：16.9

面積問題及斜高公式

第3題

矩形邊上任一點(diǎn)到兩對(duì)角線的距離之和為定值。例如，給定 AB=3，AD=4，試求 PM PN 的和

先猜后證：點(diǎn) P 取特殊點(diǎn)，可以知道該定值等于等腰三角形的腰高。證明方法有面積法、翻折全等或三角比。

答案：2.4.

接下來這兩題對(duì)于面積法來說經(jīng)典得不能再經(jīng)典，一道是小學(xué)奧數(shù)，另一道是寶山一模。當(dāng)然，本質(zhì)上是平行四邊形的面積特性，只是問題用矩形來設(shè)計(jì)的。小編一并收錄于此。

第4題

如下圖，矩形 ABCD，正方形 AEFG，E 在 BC上，D 在 GF上。若 AG=5，AD=9，試求 AB 的長(zhǎng)度

答案：25/9.

提示：聯(lián)結(jié) ED，證明正方形和矩形面積相等

第5題

一條直線經(jīng)過點(diǎn) M 且平分陰影部分的面積，試求直線的解析式。

答案：延長(zhǎng) ED 交 AB 于點(diǎn) F，點(diǎn) M 是矩形 AOEF的中心，只需取正方形 FDCB 的中心 N（3，3），直線 MN 即為所求直線。

角度推導(dǎo)

矩形含直角、含等腰，其角度性質(zhì)十分重要，尤其在配合一些特殊角度的情形下：

第6題

本題要注意到因 60° 角形成的等邊三角形 OCB，又要注意到角分線平行得到的等腰直角三角形 ECB，從而推出等腰三角形 OFC。

第7題

首先帶同學(xué)們復(fù)習(xí)如何證明線段相等：① 全等；② 等角對(duì)等邊； ③ 斜邊中線；④ 中垂線或角分線。處理方法：① 直接證明；② 引入第三個(gè)等量過渡；③ 證它們和同一線段的和、差、商積相等。

本題首先聯(lián)想到矩形對(duì)角線相等，聯(lián)結(jié) AC 引入第三個(gè)量，接著可以通過角度推到來證明 AC=CF。還有一位同學(xué)利用45°構(gòu)造了等腰直角三角形來直接證明全等，很厲害。

斜邊中線和圓

第8題

四邊形 ABCD 是矩形，E 是矩形外一點(diǎn)，且 ∠AEC=90°，試證明：∠BED=90°.

答案：聯(lián)結(jié) EO，可證：EO = AO = BO = CO = DO，進(jìn)而推導(dǎo)出∠BED 的度數(shù)。請(qǐng)注意：這五點(diǎn)在同一個(gè)圓上！

一道證明題的多種解法

第9題

上課時(shí)盡量要求同學(xué)們用多種方法解出：① 構(gòu)造含有 BC、CD的全等的直角三角形，構(gòu)造矩形；② 平移 BC；③ 旋轉(zhuǎn) △BCD；④ 四點(diǎn)共圓（可知 ABCD 四點(diǎn)共圓，聯(lián)結(jié) BD、AC 即可）。

競(jìng)賽部分

競(jìng)賽題綜合性都比較強(qiáng)，很多時(shí)候，待證結(jié)論都是由一系列小問題拼接而成的，只要發(fā)現(xiàn)線索，抽絲撥繭即可解出。

勾股定理（矩形內(nèi)的點(diǎn)）

第10題

結(jié)論很明顯，勾股定理的思路。過點(diǎn) P 向四邊作垂線即可。此題點(diǎn) P 可不限制在矩形內(nèi)，只要 P 在矩形所在平面內(nèi)即可。學(xué)生可以繼續(xù)探究四個(gè)距離的平方和的最小值，可求得當(dāng)P點(diǎn)在矩形中心時(shí)，PA^2 PB^2 PC^2 PD^2 最小。

當(dāng)然，勾股定理可以改為建立坐標(biāo)系用兩點(diǎn)間距離公式的解析法，證明起來會(huì)簡(jiǎn)潔明快一些。

與圓有關(guān)問題

第11題

平面上有 n 個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都能組成直角三角形，求 n 的最大值。

解答：本題來自前蘇聯(lián)，在近幾年的自招中出現(xiàn)過，以填空形式出現(xiàn)，答案還是容易猜出的。先猜后證，n至少是 4. 接下來說明 n 不能超過 4.

反證法，若平面上有五個(gè)或以上的點(diǎn)滿足題目要求，則先把這些點(diǎn)都兩兩聯(lián)結(jié)，找出其中最長(zhǎng)的一條線段，不妨設(shè)為 AB，則顯然有∠ACB =∠ADB =∠AEB=...... = 90°，即點(diǎn) C、D、E 等皆在以 AB 為直徑的圓上。

由抽屜原理，至少有兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)半圓弧中，不妨記為 D 、E，顯然，三角形 AED 是鈍角三角形，與題意違背。故假設(shè)不成立，n 最多取 4，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)是滿足條件的點(diǎn)。綜上，n 的最大值為 4. 本題采取了極端原理，抽屜原理，都是為了簡(jiǎn)化討論，抓住關(guān)鍵。

與面積有關(guān)問題

第12題

本題可以從四點(diǎn)共圓或三角計(jì)算入手：

解法一（蘭生復(fù)旦朱斌老師提供）

解法二（小編提供）

第13題

上海市新知杯 2008 年決賽試題

切割問題

第14題

（1）寫出將任意三角形分割，重新拼成矩形的方法。

（2）寫出將任意凸四邊形分割，重新拼成矩形的方法。

解答：一組對(duì)邊中點(diǎn)向另一組對(duì)邊中點(diǎn)的聯(lián)線引垂線，將四邊形切割成四塊，重新拼接即可。

（3）證明：任意三角形可分割成三個(gè)多邊形（含三角形），其中之一為鈍角三角形，且能重新拼為一個(gè)矩形。

解答：這里只畫非等腰的情形，依然與中點(diǎn)有關(guān)。找到三角形的最大角，不妨設(shè)為 A，過 A 引BC 的垂線，垂足為 D。如圖，找出點(diǎn) C 關(guān)于點(diǎn) D 的對(duì)稱點(diǎn) M，再取 BM、AB 的中點(diǎn) E、F 即可完成拼接。

重疊問題

第15題

如圖所示，兩個(gè)完全等大的矩形疊在一起，形成 8 個(gè)交點(diǎn)。試證明：陰影部分的面積（即重合部分）比一個(gè)矩形面積的一半要大。

無字證明：

（注：最后兩題留作練習(xí)，有興趣的朋友可以自己試試）

第16題

正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)和矩形 PQRS 的寬都為 a，矩形頂點(diǎn) P 在邊 CD上，QR 與邊 AD、AB 分別交于點(diǎn) M、N，PS 交邊 BC 于點(diǎn) O。試證明：無論矩形如何放置，只要點(diǎn) M、N、O、P 四點(diǎn)存在，則兩個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)之和總為定值。（即△AMN及△OPC）

鞋匠刀形

第17題

鞋匠刀形有著極其豐富的幾何性質(zhì)，相關(guān)的研究相當(dāng)多。這里僅列舉的一個(gè)與有關(guān)矩形的性質(zhì)。

如下圖：線段 AB 上有一點(diǎn) C，分別以AB、AC、BC為直徑作半圓，圓心分別為 O、O1、O2。點(diǎn) D 在圓 O 上且 CD 垂直 AB，直線 l 與O1、O2 分別切于點(diǎn) E、F。試證明：四邊形 CEDF 是矩形。

此文獻(xiàn)給長(zhǎng)期以來給我支持的 JZYH 及 SYF 同學(xué)

上海初中數(shù)學(xué)草根微信平臺(tái)聯(lián)盟

我們是一群工作在上海初中數(shù)學(xué)第一線草根教師，如同一片孕育綠色春泥，心中牢記著播撒智慧數(shù)學(xué)的責(zé)任，心向陽光，不斷實(shí)現(xiàn)著自我的提升。我們雖都籍籍無名，然而相信通過自己的努力會(huì)感召更多同道中人，為了教好自己的學(xué)生，為了自己業(yè)務(wù)的發(fā)展，為了自己心中數(shù)學(xué)教育的夢(mèng)想而努力……

初中數(shù)學(xué)教育

彭翕成講數(shù)學(xué)

初中數(shù)學(xué)微課程

初中數(shù)學(xué)教學(xué)日志

初中數(shù)學(xué)解法研究

牛鼻閃閃的初中數(shù)學(xué)

初中理科班數(shù)學(xué)

跟著老張玩數(shù)學(xué)

草根聯(lián)盟結(jié)構(gòu)圖

本站是提供個(gè)人知識(shí)管理的網(wǎng)絡(luò)存儲(chǔ)空間，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，不代表本站觀點(diǎn)。請(qǐng)注意甄別內(nèi)容中的聯(lián)系方式、誘導(dǎo)購(gòu)買等信息，謹(jǐn)防詐騙。如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請(qǐng)點(diǎn)擊一鍵舉報(bào)。

轉(zhuǎn)藏 分享

QQ空間 QQ好友新浪微博微信

獻(xiàn)花（0） +1

來自：海闊天空Lucy > 《初三》

舉報(bào)/認(rèn)領(lǐng)