探索性問題是指那些條件不完整，結論不確定的數(shù)學問題。這類問題重在開發(fā)思維，促進創(chuàng)新，提高數(shù)學素養(yǎng)，對學生分析問題和解決問題的能力要求比較高，考查學生的發(fā)散思維，逆向思維，觀察，比較，分析，綜合等能力，是中考的熱點題型。不少學生對此感到無從下手。本文結合2013年廣東省部分省市中考題對此類問題進行分析，并說明這類問題的一般方法和思路。

一、   由給定條件，尋找相應的結論

例1、(2013湛江)閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再將要求答題：

，則            ；   ①   

，則            ； ②

則            ． ③

……

觀察上述等式，猜想：對任意銳角 ，都有    1    ．④

（１）如圖，在銳角三角形 中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理

對 證明你的猜想；

（２）已知： 為銳角 且 ，求 ．

（１）證明：過點 作 于 ，在 △ 中， ，

由勾股定理得， ，

（２）略

說明：此題屬于給定條件，尋找結論的探索性問題，其思路一般是：從給定條件出發(fā)，然后對猜想結論進行證明。

例2（2013?佛山）我們知道，矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形除了具備平行四邊形的一切性質還有其特殊的性質；同樣，黃金矩形是特殊的矩形，因此黃金矩形有與一般矩形不一樣的知識．

已知平行四邊形ABCD，∠A=60°，AB= 2a，AD=a．

（1）把所給的平行四邊形ABCD用兩種方式分割并作說明（見題答卡表格里的示例）；要求：用直線段分割，分割成的圖形是學習過的特殊圖形且不超出四個．

點評：本題考查了四邊形（平行四邊形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等邊三角形、等腰三角形、直角三角形）的圖形與性質．第（1）問側重考查了幾何圖形的分割、剪拼、動手操作能力和空間想象能力。這類題的答案不一定是唯一的，除了上述兩種方案外，還有分別作DE⊥AB,BF⊥CD分割成兩個直角三角形和一個矩形。一般情況下，只要“答案”由題設條件可以得到的，便認為是正確的。

二、由給定題斷反尋應具備的條件

例3（2013,深圳）.如圖7-1，直線AB過點A（ ，0），B（0， ），且 （其中 >0， >0）。

（1） 為何值時，△OAB面積最大？最大值是多少？

（2）如圖7-2，在（1）的條件下，函數(shù)的圖像與直線AB相交于C、D兩點，若 ，求的值。

分析：（1）

∴當m=10時，面積最大，最大為50.

（2）由（1）可知m=n=10,直線AB: ，

由對稱性

因此

∴

例4（2013?珠海）把分別標有數(shù)字2、3、4、5的四個小球放入A袋內，把分別標有數(shù)字 、 、 、 、 的五個小球放入B袋內，所有小球的形狀、大小、質地完全相同，A、B兩個袋子不透明、

（1）小明分別從A、B兩個袋子中各摸出一個小球，求這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率；

（2）當B袋中標有 的小球上的數(shù)字變?yōu)?U>　_________　時（填寫所有結果），（1）中的概率為

解：（1）畫樹狀圖得：

∵共有20種等可能的結果，這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的有4種情況，

∴這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率為： = ；

（2）∵當B袋中標有 的小球上的數(shù)字變?yōu)?/SPAN> 、 、 、 時（填寫所有結果），

∴這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的有5種情況，

∴這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率為： = ．

故答案為： 、 、 、 ．

說明：從例3，例4可以看到，對于給定題斷反尋應具備的條件這類探索性問題的解法思路是：從所給題斷出發(fā)，由特殊到一般，經過計算推證出應具備的條件。

三、   存在性問題

例5、（2013年廣東?。?/SPAN>已知二次函數(shù) .

（1）當二次函數(shù)的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；

（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由。

解：（1）(1)m=±1,二次函數(shù)關系式為；

（2）當m=2時，，∴D(2,－1);當 時，，∴C(0,3).

(3)存在.連結C、D交軸于點P,則點P為所求,由C(0,3)、D(2,－1)求得直線CD為當 時, ,∴P( ,0).

例6、(2013湛江)如圖，在平面直角坐標系中，頂點為 的拋物線交 

軸與 點，交 軸與 兩點（點 在點 的左側），

已知 點坐標為 ．

（１）求此拋物線的解析式；

（２）過點 作線段 的垂線交拋物線與點 ，如果以

點 為圓心的圓與直線 相切，請判斷拋物線的對稱軸

與⊙ 的位置關系，并給出證明．

（３）在拋物線上是否存在一點 ，使 是以 為直角邊的直角三角形．若存在，求點 的坐標；

若不存在，請說明理由．

解：（１）由題意可設此拋物線的解析式為：

此拋物線過點   ，

此拋物線的解析式為： ，即

（２）此時拋物線的對稱軸與⊙ 相離。

證明：令 ，即 ，得 或 ，

設直線 的解析式為： ，則 ，

直線 與直線 垂直， 直線 可表示為： ，

， ， 直線 為：

點 到直線 的距離為：

點 為圓心的圓與直線 相切， ⊙ 的半徑為：

又點 到拋物線對稱軸的距離為：    而 ，。所以此時拋物線的對稱軸與⊙ 相離。

（３）假設存在滿足條件 的點 ，，

，

①        當 時，在 中，由勾股定理，得

②        ，整理，得

點 在拋物線 上， ，

，解得 或 ， 或

  點 為 或 （舍去）

③        當 時，在 中，由勾股定理，得

，整理，得

點 在拋物線 上， ，

，解得 或 ， 或

  點 為 或 （舍去）

綜上，滿足條件的點 的坐標為 或

說明:從例5，例6可以看到，存在性這類探索性問題的解題思路，一般是：先假設結論某一方面成立，進行演算推理，若推出矛盾，即否定先前假設；若推出合理的結果，說明假設正確。