本系列將針對(duì)2018年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題，結(jié)合本人新著《廣猛說題——中考數(shù)學(xué)壓軸題破解之道》進(jìn)行詳細(xì)解析。

本文選擇的是2018年江蘇揚(yáng)州卷中的壓軸題.

一、例題解析

第7題：（2018揚(yáng)州）如下圖（左），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE平分∠ACD，交AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定成立的是                        （        ）

 A.BC＝EC                B.EC＝BE          

 C.BC＝BE                D.AE＝EC

簡(jiǎn)析：如上圖（中），導(dǎo)角可得∠BCE＝∠BEC，故BC＝BE，選C.

反思：當(dāng)“射影型”結(jié)構(gòu)邂逅了角平分線，會(huì)生成等腰三角形，再如上圖（右）所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BF平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，交CA于點(diǎn)F，則△CEF為等腰三角形.

反思：本題先識(shí)別“旋轉(zhuǎn)相似必成對(duì)”，導(dǎo)邊導(dǎo)角；再輔以“對(duì)頂相似必成對(duì)”，導(dǎo)邊導(dǎo)角，其核心結(jié)構(gòu)如下圖所示；

若結(jié)合四點(diǎn)共圓，如下圖所示，本題還有更多的邊角關(guān)系以及相似三角形等；

本題還可以將兩個(gè)等腰直角三角形變成兩個(gè)等邊三角形，或變成更一般的兩個(gè)相似三角形等.

第17題：（2018揚(yáng)州）如下圖（左），四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4），把矩形OABC沿OB折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為           .

反思：這是一道折疊小題，解法多樣，筆者最鐘情上述解法，其本質(zhì)是求一定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)的通解通法，本人新作《廣猛說題——中考數(shù)學(xué)壓軸題破解之道》中有詳細(xì)闡述，敬請(qǐng)查閱《斜化直策略》；

該法還涉及折疊的重要性質(zhì)，即對(duì)稱點(diǎn)的連線被折痕垂直平分，再抓住不變角，“眼中有定角，心中導(dǎo)定比”，巧施三角比，實(shí)現(xiàn)口算答案之效；

本題還有很多其他諸多解法，譬如構(gòu)造“一線三直角”、“倍半角模型”、“角平分線＋平行線→等腰三角形”等各種思路，如下圖所示，不再展開，請(qǐng)自行思考；

類比幾種解法，誰更簡(jiǎn)便，不言而喻.有時(shí)候，追求一題多解的目的正是尋求更簡(jiǎn)法.

第18題：（2018揚(yáng)州）如下圖（左），在等腰Rt△ABO中，∠A＝90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2），若直線l：y＝mx＋m（m≠0）把△ABO分成面積相等的兩部分，則m的值為                         .

反思：在網(wǎng)格中，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，當(dāng)其頂角為非格點(diǎn)時(shí)，往往可以利用網(wǎng)格進(jìn)行平移的方法，將非格點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為格點(diǎn)問題，然后構(gòu)造直角三角形或結(jié)合面積法等求解，而且平移方法多樣，如本題中第（3）問可以如上圖（右）所示平移；

利用網(wǎng)格平移法求三角函數(shù)值的方法，可以參見下題：

類題：（2017年江蘇無錫）在如下圖所示的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD＝       ．

簡(jiǎn)析：如下圖所示的各種構(gòu)造方式，都可求得tan∠BOD＝3.

反思：可以發(fā)現(xiàn)，將非格點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為格點(diǎn)問題，只要借助網(wǎng)格構(gòu)造平行線的方式，“怎么平移都可以”，實(shí)在有趣，讓人可嘆“小小的網(wǎng)格，大大的文章”;

此外，基于角的確定性分析，還可以結(jié)合矩形大法或“12345秒題技”等來求兩角和的三角函數(shù)值，此處不再詳述，可參閱相關(guān)文章；

關(guān)于平移變換在幾何解題中的應(yīng)用，請(qǐng)參見以下兩道類題：

反思：上述解法相當(dāng)于將線段CE平移至AF位置，構(gòu)造平行四邊形以及等腰直角三角形，進(jìn)而求解；

此外，還可以將CE平移至DF位置，如上圖（右）所示等，請(qǐng)自行探究.

分析思路：題中已有兩組相等線段，但條件分散，而且與所求結(jié)論好不搭界，直接應(yīng)用不太現(xiàn)實(shí)，如何才能將它們集中在一塊，這必然成了解題之關(guān)鍵所在.平移變換再次為解題指明方向，提供線索.下面是經(jīng)過若干次平移嘗試后得到的五種解法，供大家類比探究.

解法一：如圖2－1，構(gòu)造□BMAG，將線段MB平移至AG處，再連接GN交AM于點(diǎn)H，易得RtDACM≌RtDGAN，則有GN＝AM＝GB，且GN⊥AM，從而∠BGN＝∠PHN＝90°，故DBGN為等腰直角三角形，因此有∠BPM＝∠GBN＝45°，問題得解.

反思：解法三與解法四都是通過構(gòu)造平行四邊形，將已知中涉及的比較分散的等線段平移至點(diǎn)N或M處，從而產(chǎn)生等腰直角三角形.平移變換在解決此類條件比較離散的問題中作用之大不言而喻.

更有趣的是下面的解法五，依然通過構(gòu)造平行四邊形來平移分散等線段，竟然還得出了學(xué)生熟知的“一線三直角”全等K字型結(jié)構(gòu)，再次體現(xiàn)出平移變換的神奇之效.

 解法五：如圖2－6，構(gòu)造□ANBG，將線段NA平移至BG處，再連接GA、GM，同理可得DGAM為等腰直角三角形，因此有∠BPM＝∠GAM＝45°，問題得解.

反思：前面五種解法的共通之處是平移變換，其作用是將分散條件集中在一塊，進(jìn)而產(chǎn)生一些為人熟知的結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出“意外的”等腰直角三角形，最終得到所需的45°角.

為開拓思維，下面筆者再提供一些有趣的代數(shù)想法：

反思：在解法五圖的基礎(chǔ)上，若將其補(bǔ)成矩形，如圖2－9，這也是一種重要的“矩形大法”構(gòu)造方式，在此圖的基礎(chǔ)上也可以解決問題，極其有趣.

解法六主要用到了三角函數(shù)以及“矩形大法”，不妨稱之為“三角法”，屬于代數(shù)法中極其重要的一個(gè)分支，可以解決很多諸如此類的問題.

當(dāng)然此題還可以完全采取“建系解析法”“暴力計(jì)算”求解：

反思：本題的多種解法主要涉及平移變換法，將分散條件集中化，越聚合越有利.平移為我們解決相關(guān)問題指明方向，為我們的幾何構(gòu)造提供了主要依據(jù)；

另外，三角法及解析法等也是應(yīng)用極其廣泛的通解通法，給我們的解題研究開辟了一些新的道路，還有初中階段“矩形大法”處理任意兩角和差倍分角，都在很大范圍內(nèi)適用.

反思：本題第（2）問是一個(gè)典型的相似三角形存在性問題，這里采取所謂“SAS”解法，即抓住一對(duì)關(guān)鍵相等角，然后該角的兩鄰邊分兩類成比例，有關(guān)相似三角形存在性問題的其他解法，詳見本人新書《廣猛說題——中考數(shù)學(xué)壓軸題破解之道》；

第（3）問是一個(gè)角的存在性問題，只是結(jié)合了一個(gè)簡(jiǎn)單的倍半角關(guān)系，因目標(biāo)角含有一條水平邊或豎直邊，故可構(gòu)造直角三角形，直接利用正切處理，其核心結(jié)構(gòu)如右圖所示；

當(dāng)目標(biāo)角的兩條邊既不含有水平邊，也不含有豎直邊時(shí)，一般也可以先構(gòu)造直角三角形，再構(gòu)造“一線三直角”，其核心結(jié)構(gòu)如下圖所示.

這里其實(shí)也算是正切處理，但因?yàn)闃?gòu)造的直角三角形三邊都是斜置的，不好表示，因而繼續(xù)構(gòu)造“一線三直角”，達(dá)到化斜為直之效，而這里的tana提供了相似比；

有關(guān)角的存在性問題處理策略以及倍半角模型等都是本人新作《廣猛說題——中考數(shù)學(xué)壓軸題破解之道》中重點(diǎn)闡釋的專題，敬請(qǐng)查閱.

大咖助陣，感謝于特！