那些美到不行的數(shù)學(xué)公式

瀟湘書院615 2015-09-18

展開全文

點(diǎn)上方好玩的數(shù)學(xué)可加關(guān)注

帶你走進(jìn)一個(gè)不一樣的數(shù)學(xué)世界

導(dǎo)讀

好玩的數(shù)學(xué)

每當(dāng)你解不開方程的時(shí)候，不妨換一個(gè)角度想，暫且放下對理科的厭惡和對考試的痛恨。因?yàn)槟阏谝娮C的，是科學(xué)的美麗與人類的尊嚴(yán)。

能把圓周率和e聯(lián)系起來的初等公式在數(shù)學(xué)界是少之又少，是數(shù)學(xué)王國中的國寶級公式。除了大名鼎鼎的歐拉公式，恐怕就是這個(gè)式子比較出名了。這個(gè)公式的形式異常的漂亮，只可惜它只是個(gè)近似公式。所以排名第九。雖然是個(gè)近似公式，但是近似程度相當(dāng)?shù)母?，有七位有效?shù)字是相同的，也就是說二者的差別在千萬分之一以內(nèi)。您不妨用電腦上的計(jì)算器一試。

這個(gè)公式就是著名的梅欽公式，熟悉圓周率計(jì)算方法的人應(yīng)該對這個(gè)公式不陌生。這個(gè)公式的神奇之處在于它將圓周率表示為了兩個(gè)分?jǐn)?shù)的反正切之和。利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表達(dá)式可以直接證明這個(gè)式子。它是歷史上第一個(gè)用于快速計(jì)算圓周率的公式，因?yàn)樯鲜街械姆凑泻瘮?shù)值可以被泰勒級數(shù)所逼近。真不知道如果祖沖之知道了這個(gè)計(jì)算圓周率的方法會埋頭算到小數(shù)點(diǎn)后幾百位……

這個(gè)神奇的公式傳說是約翰-伯努利發(fā)現(xiàn)的。式子的神奇之處就不用我說了吧，連續(xù)與離散的關(guān)系被表現(xiàn)的淋漓盡致。如果你自認(rèn)為你的微積分水平還不錯(cuò)，可以挑戰(zhàn)一下這個(gè)已經(jīng)具有300多年歷史的公式，看你能否證明它。

話說世人皆知勾三股四弦五，而鮮有知道這個(gè)簡單等式的。這個(gè)簡單的式子可以在英國分析學(xué)大師G·H·哈代（就是拉馬努金在英國的合作者）所著的《數(shù)論導(dǎo)引》中找到，它是一類三次不定方程最簡單的特解。

這個(gè)公式來自于印度數(shù)學(xué)奇才拉馬努金。他曾經(jīng)深入的研究了形如上式的無窮根式并得到了這個(gè)神奇的結(jié)果。傳說拉馬努金曾經(jīng)把這個(gè)結(jié)果放在《印度數(shù)學(xué)會刊》上征集證明，結(jié)果數(shù)月內(nèi)無人能應(yīng)。各位看官有沒有蠢蠢欲動的？

這個(gè)結(jié)果來自于卡爾-高斯。不消說，這個(gè)余弦特殊值足以說明：正十七邊形是可以尺規(guī)作圖的。在發(fā)現(xiàn)此式之前人們找到的、能用根式表達(dá)余弦值的角度大部分還停留在歐幾里得時(shí)期的水平。高斯也因?yàn)樗?9歲就做出的這項(xiàng)了不起的成果而開始從事數(shù)學(xué)研究。古典文學(xué)從此永遠(yuǎn)的失去了高斯。在作出這項(xiàng)告慰古希臘先賢們的貢獻(xiàn)之后，小高斯就建立了一個(gè)自己的科學(xué)筆記，專門介紹自己最新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。

這個(gè)貌似神奇的式子來自50多年前的《Scientific American》。當(dāng)時(shí)著名的趣味數(shù)學(xué)大師馬丁·加德納所主持的一個(gè)專欄上出現(xiàn)了這個(gè)公式，只可惜出版的當(dāng)天日期是4月1號。這個(gè)式子或許可以蒙普通讀者，但是絕對蒙不了數(shù)學(xué)家，因?yàn)楦鶕?jù)著名的林德曼定理容易判定等式左邊的e指數(shù)一定是一個(gè)超越數(shù)，絕對不可能是一個(gè)整數(shù)。然而如果你用mathematica去計(jì)算的話會驚奇的發(fā)現(xiàn)：這個(gè)超越數(shù)的值是：262537412640768743.9999999999992500725972…… ...

上面歐拉公式的漂亮之處就不用我解釋了吧。人們經(jīng)常把它與老愛同志的E=mc^2并列為數(shù)學(xué)和物理學(xué)公式中的雙子星。歷史上的歐拉是一位全才數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是一名虔誠的教徒，篤信上帝的存在。據(jù)說有一次俄國的葉卡捷琳娜二世邀請狄德羅來訪問她的宮廷，而狄德羅是一名不折不扣的無神論者。不久葉卡捷琳娜二世就厭倦了狄德羅那喋喋不休的無神論說教之詞，讓歐拉來好好教訓(xùn)他一頓。歐拉開門見山的質(zhì)問道：“e^i*pi+1=0（就是歐拉公式），所以上帝存在，請回答！”結(jié)果不懂?dāng)?shù)學(xué)的狄德羅被弄得一頭霧水，無言以對。

拉馬努金的著名連分?jǐn)?shù)公式這個(gè)絕美的公式不僅像歐拉公式一樣聯(lián)系起了圓周率和e，同時(shí)它還將黃金分割數(shù)也包含在內(nèi)！在1913年，來自南印度的小職員拉馬努金，給當(dāng)時(shí)32歲就已經(jīng)執(zhí)掌英國數(shù)學(xué)界牛耳的哈代去了一封長達(dá)9頁的信，信中附帶了120條拉馬努金自己發(fā)現(xiàn)的公式，上面這個(gè)公式就是其中的一條。這條公式令哈代完全摸不到頭腦，他這輩子都沒見過這樣的公式，連稍微接近點(diǎn)的都沒有！但是哈代確信這個(gè)公式是對的，因?yàn)闆]有人能有這樣的想象力去編造這樣漂亮的公式。

轉(zhuǎn)載自：人人小站

好玩的數(shù)學(xué)

微信號：mathfun

↑

好玩的數(shù)學(xué)以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為主題，以傳播數(shù)學(xué)文化為己任，以激發(fā)學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣為目標(biāo)，分享有用的數(shù)學(xué)知識、有趣的數(shù)學(xué)故事、傳奇的數(shù)學(xué)人物等，為你展現(xiàn)一個(gè)有趣、好玩、豐富多彩的數(shù)學(xué)世界。

↓

點(diǎn)擊閱讀原文查看最新一期靈機(jī)一動

本站是提供個(gè)人知識管理的網(wǎng)絡(luò)存儲空間，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，不代表本站觀點(diǎn)。請注意甄別內(nèi)容中的聯(lián)系方式、誘導(dǎo)購買等信息，謹(jǐn)防詐騙。如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請點(diǎn)擊一鍵舉報(bào)。

轉(zhuǎn)藏 分享

QQ空間 QQ好友新浪微博微信

獻(xiàn)花（0） +1

來自：瀟湘書院615 > 《待分類》

舉報(bào)/認(rèn)領(lǐng)