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歐拉-馬歇羅尼常數(shù)

 一路心行 2014-07-03

歐拉-馬歇羅尼常數(shù)是一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，定義為調(diào)和級數(shù)與自然對數(shù)的差值：

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) - \ln(n) \right]=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor} - {1\over x}\right)\,dx

它的近似值為\gamma \approx 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335，

歐拉-馬歇羅尼常數(shù)主要應(yīng)用于數(shù)論。

歷史[編輯]

該常數(shù)最先由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1735年發(fā)表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定義。歐拉曾經(jīng)使用C作為它的符號，并計(jì)算出了它的前6位小數(shù)。1761年他又將該值計(jì)算到了16位小數(shù)。1790年，意大利數(shù)學(xué)家馬歇羅尼（Lorenzo Mascheroni）引入了γ作為這個(gè)常數(shù)的符號，并將該常數(shù)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后32位。但后來的計(jì)算顯示他在第20位的時(shí)候出現(xiàn)了錯誤。

目前尚不知道該常數(shù)是否為有理數(shù)，但是分析表明如果它是一個(gè)有理數(shù)，那么它的分母位數(shù)將超過10242080(Havil,p. 97)

性質(zhì)[編輯]

與伽瑪函數(shù)的關(guān)系[編輯]

\ -\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1) 。
\gamma = \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ]。
\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+\frac{1}{n}}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]。

與ζ函數(shù)的關(guān)系[編輯]

\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}
= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}。
\gamma = \frac{3}{2} - \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m) - 1]
= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ]。
= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ]
\gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s} - \frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1^+} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s - 1} \right )
\gamma = \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ]
= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right )。
\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) - \sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}

積分[編輯]

\gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx = \int_\infty^ 0 { e^{-x} \ln x }\,dx [1]
= - \int_0^1 { \ln\ln \frac{1}{x} }\,dx
= \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1 - e^{-x}} - \frac{1}{x} \right )e^{ - x} }\,dx
= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x} - e^{ - x} \right ) }\,dx。
\int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}
\int_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}。
\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{(1 - x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n} - \ln\frac{n+1}{n} \right ).
\sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} = \gamma

級數(shù)展開式[編輯]

\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right]。

\gamma = 1 - \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\lfloor\log_2 k\rfloor}{k+1} .

\gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k} = \tfrac12-\tfrac13 + 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right) + 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots

\gamma + \zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14\left(\tfrac14 + \dots + \tfrac18\right) + \tfrac19\left(\tfrac19 + \dots + \tfrac1{15}\right) + \dots

\gamma = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k^2\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = \tfrac1{2^2} + \tfrac2{3^2} + \tfrac1{2^2}\left(\tfrac1{5^2} + \tfrac2{6^2} + \tfrac3{7^2} + \tfrac4{8^2}\right) + \tfrac1{3^2}\left(\tfrac1{10^2} + \dots + \tfrac6{15^2}\right) + \dots

\gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx。

\gamma 的連分?jǐn)?shù)展開式為：

\gamma = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...]\,  （OEIS中的數(shù)列A002852）.

漸近展開式[編輯]

\gamma \sim H_n - \ln \left( n \right) - \frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{12n^2 }} - \frac{1}{{120n^4 }} + .。
\gamma \sim H_n - \ln \left( {n + \frac{1}{2} + \frac{1}{{24n}} - \frac{1}{{48n^3 }} + ...} \right)
\gamma \sim H_n - \frac{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}}{2} - \frac{1}{{6n\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{30n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }} - .。

已知位數(shù)[編輯]

\boldsymbol{\gamma}的已知位數(shù)
日期位數(shù)計(jì)算者
1734年5萊昂哈德·歐拉
1736年15萊昂哈德·歐拉
1790年19Lorenzo Mascheroni
1809年24Johann G. von Soldner
1812年40F.B.G. Nicolai
1861年41Oettinger
1869年59William Shanks
1871年110William Shanks
1878年263約翰·柯西·亞當(dāng)斯
1962年1,271高德納
1962年3,566D.W. Sweeney
1977年20,700Richard P. Brent
1980年30,100Richard P. Brent和埃德溫·麥克米倫
1993年172,000Jonathan Borwein
1997年1,000,000Thomas Papanikolaou
1998年12月7,286,255Xavier Gourdon
1999年10月108,000,000Xavier Gourdon和Patrick Demichel
2006年7月16日2,000,000,000Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2006年12月8日116,580,041Alexander J. Yee
2007年7月15日5,000,000,000Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2008年1月1日1,001,262,777Richard B. Kreckel
2008年1月3日131,151,000Nicholas D. Farrer
2008年6月30日10,000,000,000Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2009年1月18日14,922,244,771Alexander J. Yee和Raymond Chan
2009年3月13日29,844,489,545Alexander J. Yee和Raymond Chan

相關(guān)證明[編輯]

  1. ^ \gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx 的證明：
    首先根據(jù)放縮法（\int_k^{k+1} \frac 1x \,dx < \frac 1k < \int_{k-1}^k \frac 1x \,dx）容易知道， \int_k^{k-1} \frac 1x \,dx - \frac 1k < \frac 1{k(k-1)}，以及\ln n < \sum_{k=1}^n \frac 1k < 1 + \ln n。因此\gamma存在并有限。
    \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
    = \sum_{k=1}^n \int_0^1 t^{k-1} \,dt
    = \int_0^1 \sum_{k=1}^n t^{k-1} \,dt
    = \int_0^1 \frac {1 - t^n}{1 - t} \,dt
    = \int_n^0 \frac {1 - (1-x/n)^n}{1 - (1-x/n)} \,d(1-x/n)
    = \int_n^0 \frac {1 - (1-x/n)^n}{x/n} (- \frac 1n) \,dx
    = \int_0^n \frac {1 - (1-x/n)^n}{x} \,dx,
    而\ln n = \int_1^n \frac 1x \,dx,
    所以\gamma = \lim_{n \to \infty} [\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n]
    = \lim_{n \to \infty} \left[ \int_0^n \frac {1 - (1-x/n)^n}{x} \,dx - \int_1^n \frac 1x \,dx \right]
    = \lim_{n \to \infty} \left[ \int_0^1 \frac {1 - (1-x/n)^n}{x} \,dx - \int_1^n \frac {(1-x/n)^n}{x} \right]
    = \int_0^1 \frac {1 - \lim_{n \to \infty}(1-x/n)^n}{x} \,dx - \int_1^{\infty} \frac {\lim_{n \to \infty}(1-x/n)^n}{x} （單調(diào)收斂定理）
    = \int_0^1 \frac {1 - e^{-x}}{x} \,dx - \int_1^{\infty} \frac {e^{-x}}{x}
    = \left. (1 - e^{-x}) \ln x \right|_0^1 - \int_0^1 \ln x \,d(1 - e^{-x}) - \left. e^{-x} \ln x \right|_1^{\infty} + \int_1^{\infty} \ln x \,de^{-x}
    = - \int_0^{\infty} e^{-x} \ln x \,dx.


歐拉常數(shù)最先由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1735年發(fā)表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定義。歐拉曾經(jīng)使用C作為它的符號，并計(jì)算出了它的前6位小數(shù)。1761年他又將該值計(jì)算到了16位小數(shù)。

1概述編輯

歐拉常數(shù)（Euler-Mascheroni constant)
歐拉-馬歇羅尼常數(shù)(Euler-Mascheroni constant)是一個(gè)主要應(yīng)用于數(shù)論的數(shù)學(xué)常數(shù)。它的定義是調(diào)和級數(shù)與自然對數(shù)的差值的極限。
由無窮級數(shù)理論可知，調(diào)和級數(shù)
是發(fā)散的。但可以證明，
存在極限。由不等式
可得
故
有下界。而
再一次根據(jù)不等式
，取
，即可得
所以
單調(diào)遞減。由單調(diào)有界數(shù)列極限定理，可知
必有極限，即
存在。該極限被稱作歐拉常數(shù)，現(xiàn)在通常將該常數(shù)記為γ。它的近似值約為0.57721566490153286060651209。

2性質(zhì)編輯

與伽瑪函數(shù)的關(guān)系

與黎曼函數(shù)的關(guān)系

積分

級數(shù)展開式

連分?jǐn)?shù)展開式

（OEIS中的數(shù)列A002852）。

漸近展開式

3已知位數(shù)編輯

日期
位數(shù)
計(jì)算者
1734年
5
萊昂哈德·歐拉
1736年
15
萊昂哈德·歐拉
1790年
19
Lorenzo Mascheroni
1809年
24
Johann G. von Soldner
1812年
40
F.B.G. Nicolai
1861年
41
Oettinger
1869年
59
William Shanks
1871年
110
William Shanks
1878年
263
約翰·柯西·亞當(dāng)斯
1962年
1,271
高德納
1962年
3,566
D.W. Sweeney
1977年
20,700
Richard P. Brent
1980年
30,100
Richard P. Brent和埃德溫·麥克米倫
1993年
172,000
Jonathan Borwein
1997年
1,000,000
Thomas Papanikolaou
1998年12月
7,286,255
Xavier Gourdon
1999年10月
108,000,000
Xavier Gourdon和Patrick Demichel
2006年7月16日
2,000,000,000
Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2006年12月8日
116,580,041
Alexander J. Yee
2007年7月15日
5,000,000,000
Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2008年1月1日
1,001,262,777
Richard B. Kreckel
2008年1月3日
131,151,000
Nicholas D. Farrer
2008年6月30日
10,000,000,000
Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2009年1月18日
14,922,244,771
Alexander J. Yee和Raymond Chan
2009年3月13日
29,844,489,545
Alexander J. Yee和Raymond Chan

4歷史編輯

著名數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（1707-1783）

著名數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（1707-1783）

歐拉常數(shù)最先由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉1735年定義。曾使用C作為它的符號，并計(jì)算出了它的前6位小數(shù)。1790年，意大利數(shù)學(xué)家馬歇羅尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作為這個(gè)常數(shù)的符號，并將該常數(shù)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后32位。但后來的計(jì)算顯示他在第20位的時(shí)候出現(xiàn)了錯誤。
終于，Xavier Gourdon使用該公式在1999年計(jì)算歐拉常數(shù)到了108,000,000位，他使用了一種新算法：
An Cn
γ = ----- - ------- - ln(n) + O(e^(-8n))
Bn Bn^2
βn n^k
An = ∑ ( ------)^2 * Hk
k=0 k!
βn n^k
Bn = ∑ ( ------)^2
k=0 k!
1 2n [（2k)!]^3
Cn = ---- ∑ -------------------
4n k=0 (k!)^4 * （16n)^（2k)
β滿足β（ln（β)-1）=3
目前尚不知道歐拉常數(shù)是否為有理數(shù)，但是分析表明如果它是一個(gè)有理數(shù)，那么它的分母位數(shù)將超過10242080[1] 。

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