給你一疊書

你能疊多寬

愛學(xué)（you）習(xí)（xi）的表妹又來到超模君家里，但超模君的家里停電沒有wifi，于是無聊的表妹看著桌子上的書玩起了疊書游戲。

看著無聊的表妹玩無聊的游戲，無聊的超模君也一起加入了疊書游戲，畢竟數(shù)學(xué)界科普偶像，馬丁·加德納在《科學(xué)美國(guó)人》雜志特別介紹過這個(gè)數(shù)學(xué)游戲。

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超模君66的疊書方式

我們先來看看這種擺法的最終結(jié)果：

看完了結(jié)果我們?cè)賮韯?dòng)手試一試，先拿多些書放到桌子上：

▲點(diǎn)擊查看，表妹都看什么書

我們假定每一本書是完全相同且質(zhì)量均勻的長(zhǎng)方體，寬度均X。

要想讓兩本書達(dá)到最寬，大家很容易就想到只要讓第一本書的重心剛好落在第二本書的邊緣，那么兩本書能達(dá)到的最大寬度為（1+1/2）X

根據(jù)上面的結(jié)論，我們只要讓上面兩本書的總重心剛好落在第最下面書的邊緣不就可以讓寬度達(dá)到最大。

用力矩可以很簡(jiǎn)單地解決這個(gè)問題。首先，我們把第1、2本書的交點(diǎn)看為旋轉(zhuǎn)軸，要想總寬度達(dá)到最大，需要讓第 2、3本書的總重心在第1本書邊緣，也就是說2、3本書處于剛好不會(huì)掉下來的狀態(tài)。

從力矩的角度來看，第2、3本書處于力矩平衡狀態(tài)，所以他們各自的力矩大小相等，方向相反。假設(shè)一本書的重量為mg，長(zhǎng)度為1，力臂為Y，可以得出等式：

mg×Y= mg×（1/2-Y）

解得Y=1/4

跟3本書一樣，我們只需要把上面兩本書看成一個(gè)整體，這個(gè)整體跟第3本書也可以看成一個(gè)力矩平衡狀態(tài)，這樣我們可以繼續(xù)用力矩平衡來列等式.設(shè)力臂為Z，可以得到等式：

2mg·Z=mg·（1/2-X）

解得Z=1/6

既然表妹還沒明白那我們就來看看這張圖吧：

根據(jù)上圖我們可以很容易地發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：

1/2=1/2×1，1/4=1/2×1/2，1/6=1/2×1/3。

根據(jù)這個(gè)規(guī)律可以得出總長(zhǎng)度：

C=1/2·（1+1/2+1/3+……+1/n）·X

其實(shí)想要求書的最大寬度就只要知道調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散還是收斂，如果它是收斂的，那么它就有最大寬度；反之，寬度為無窮大，也就是說沒有最大寬度。

那么調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散還是收斂的呢？超模君就在這里介紹一種簡(jiǎn)單易懂的證明方法

首先，我們來對(duì)比兩串?dāng)?shù)列：

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)數(shù)列的個(gè)數(shù)都為n，并且調(diào)和級(jí)數(shù)第x位一定大于等于數(shù)列2的第x位（比如1/3＞1/4, 1/5＞1/8, 1/6＞1/8）。

在數(shù)列2中,當(dāng)n趨近于無窮時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，這是無數(shù)個(gè)1/2相加，所以數(shù)列2一定是發(fā)散數(shù)列。而調(diào)和級(jí)數(shù)大于數(shù)列2，所以調(diào)和級(jí)數(shù)也是發(fā)散的

在伯努利兄弟證明完后，數(shù)學(xué)大神歐拉發(fā)現(xiàn)：ln（n）和調(diào)和級(jí)數(shù)的和在n→∞時(shí)，它們的值都趨于無窮大，但它們的差卻是常數(shù)。

我們把它寫成數(shù)學(xué)形式：

而且n越大， c就越精準(zhǔn)，大概等于0.57721566……

這串?dāng)?shù)字歐拉最大算到了小數(shù)點(diǎn)后6位。

數(shù)學(xué)大神——?dú)W拉

到了1790年，一位意大利數(shù)學(xué)家——馬歇羅尼算到了小數(shù)點(diǎn)后32位，在算的時(shí)候他覺得用常數(shù)c來命名太普遍了，于是干脆把c換成了希臘字母γ。

雖然后來人們發(fā)現(xiàn)他從第20位開始就是錯(cuò)的，但還是把常數(shù)γ命名為了歐拉——馬歇羅尼常數(shù)（簡(jiǎn)稱歐拉常數(shù)），現(xiàn)在人們利用計(jì)算機(jī)已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后48億位。

意大利數(shù)學(xué)家——馬歇羅尼

在巴洛克時(shí)期，建筑師在建造教堂和宮殿時(shí)，運(yùn)用調(diào)和級(jí)數(shù)為樓面布置和建筑物高度建立比例，并使室內(nèi)外的建筑細(xì)節(jié)間呈現(xiàn)和諧的聯(lián)系。

吉他中的泛音也跟調(diào)和級(jí)數(shù)有關(guān)，泛音點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是調(diào)和級(jí)數(shù)。

但是除了1/2、1/3和1/4點(diǎn)以外，其他的泛音人們往往聽不到，這是因?yàn)樵叫〉姆阂舭l(fā)出的聲音就越模糊，導(dǎo)致發(fā)出的聲響會(huì)被基音或者噪音蓋住。

既然表妹跑了，那超模君就偷偷告訴大家一些更有趣的疊書問題：

按照調(diào)和級(jí)數(shù)疊書的方式又叫做對(duì)數(shù)堆疊，但對(duì)數(shù)堆疊并不是最優(yōu)疊的方法，也就是說相同本書的情況下，還有其他擺法可以把書疊的更長(zhǎng)。

一些最大長(zhǎng)度疊法的例子：

3本書：

4本書：

19本書：

根據(jù)靜力學(xué)定律，如果有n本書，我們可以得到4n個(gè)變量，6n個(gè)等式與不等式，這是一個(gè)非常大的計(jì)算量！

時(shí)至今日，我們通過計(jì)算機(jī)也只能計(jì)算出40本書的最優(yōu)堆疊方式。

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經(jīng)過10幾天的早起發(fā)文

超模君發(fā)現(xiàn)自己實(shí)在是起不來

所以，我要恢復(fù)晚上10點(diǎn)半發(fā)文啦

比起早上的豆?jié){

我還是更愛深夜的咖啡

愛你們哦