畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人們非常注意數(shù)的形象美，他們把數(shù)按照可用石子擺成的形象來(lái)分類，比如三角數(shù), 四角數(shù)(正方形數(shù)),五角數(shù)……將物品以三角形樣式排列，我們會(huì)得到一串?dāng)?shù)字1,3,6,10,...,我們將這些數(shù)字稱為"三角數(shù)"。畢氏學(xué)派及其崇拜者還研究了多角數(shù)的美妙性質(zhì)，比如他們發(fā)現(xiàn)：每個(gè)四角數(shù)是兩個(gè)相繼三角數(shù)之和：第n—1個(gè)三角數(shù)與第n個(gè)k角數(shù)之和為第n個(gè)k+1角數(shù)。
爾后的數(shù)學(xué)家們，也一直注意著這種數(shù)學(xué)形式美，且從中有所發(fā)現(xiàn)．十七世紀(jì)初，法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬在研究多角數(shù)性質(zhì)時(shí)提出猜測(cè)：每個(gè)正整數(shù)均可至多用三個(gè)三角數(shù)和、四個(gè)四角數(shù)和、……、k個(gè)k角數(shù)和表示．
當(dāng)高斯證明了“每個(gè)自然數(shù)均可用不多于三個(gè)三角數(shù)之和表示”后，在1796年7月10日的日記上寫著：EГPHKA！ num=△+△+△．這里“EГPHKA”是希臘語(yǔ)意為“找到了”，這句話正
是當(dāng)年阿基米德在浴室里發(fā)現(xiàn)浮力定律后，赤著身子跑到希拉可夫大街上狂喊的話語(yǔ)，這里高斯引用它，可見(jiàn)他的欣喜心情．
歐拉從1730年開(kāi)始研究自然數(shù)表為四角數(shù)和問(wèn)題，十三年之后僅找到一個(gè)公式:可以表為四個(gè)完全平方數(shù)和的兩個(gè)自然數(shù)之積仍可用四個(gè)完全平方數(shù)和表示．1770年，拉格朗日利用歐拉的等式證明了自然數(shù)表為四角數(shù)和的問(wèn)題．1773年歐拉也給出一個(gè)更簡(jiǎn)單的證明．1815年法國(guó)數(shù)學(xué)家哥西證明了“每個(gè)自然數(shù)均可表為k個(gè)k角數(shù)和”的結(jié)論．問(wèn)題到了這兒并沒(méi)有完結(jié)，華林在1770年出版的《代數(shù)沉思錄》中寫道：每一個(gè)整數(shù)或者是一個(gè)立方數(shù)，或者是至多9個(gè)立方數(shù)之和；另外，每一個(gè)整數(shù)或者是一個(gè)四次方數(shù)，或者是至多19個(gè)四次方數(shù)之和；……一般地，每個(gè)整數(shù)可以表成至多r個(gè)k次(冪)方數(shù)之和，其中r依賴于k．這個(gè)問(wèn)題稱為“華林問(wèn)題”，該問(wèn)題至今仍在有人研究，這個(gè)例子也告訴人們，數(shù)學(xué)正是在探求美的真諦中發(fā)展的，許多新的數(shù)學(xué)分支正因此而出現(xiàn)．
提到這個(gè)問(wèn)題，我們還想談一談與之問(wèn)題類似的一個(gè)素?cái)?shù)表為兩平方和問(wèn)題．1640年12月25日，法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬寫信給麥森提出：任意 4k+1 型素?cái)?shù)均可用兩個(gè)整數(shù)的平方和表示．(雙平方和定理)1754年，數(shù)學(xué)大師歐拉給出了完整的證明．然而4k+3型素?cái)?shù)卻不能只用兩個(gè)整數(shù)的平方和表示、這只須注意到：(2m)2≡0(mod4)，(2m+1)2≡1(mod4)，這樣任何兩整數(shù)平方和被4除后余數(shù)只能是：0+0、0+1、1+1即0、1、2．換句話說(shuō)：4k+3型的整數(shù)不能用兩整數(shù)平方和表出．它至少要用幾個(gè)整數(shù)的平方和表示問(wèn)題，我們上面已給介紹過(guò)：答案是至少四個(gè)．奇妙的是：1977年L．C．Larson利用國(guó)際象棋中“n—后問(wèn)題”方法，給出“雙平方和定理”又一個(gè)精彩的證明．(這一點(diǎn)，1918年G．Polya就認(rèn)為“n—后問(wèn)題”與費(fèi)爾馬“雙平方和定理”有聯(lián)系，但他卻未能指出兩者到底有何聯(lián)系？)這個(gè)事實(shí)再次為數(shù)學(xué)本身的和諧提供佐證——數(shù)學(xué)可以揭示那些看上去風(fēng)馬牛不相及的事物內(nèi)在的聯(lián)系．
幻方——一種神奇的數(shù)學(xué)游戲，也是人們追求的形式美的寫照，關(guān)于它有許多許多有趣的傳說(shuō)．據(jù)載伏羲氏王天下時(shí)，黃河里躍出一匹龍馬，馬背上馱了一幅圖，上面有黑白點(diǎn)五十五個(gè)，用直線連成十?dāng)?shù)，后人稱之為“河圖”．又傳夏禹時(shí)代，洛水中浮出一只神龜，背上有圖有文，圖中有黑白點(diǎn)四十五個(gè)，用直線連成九數(shù)，后人稱它為“洛書”．兩圖中黑點(diǎn)組成的數(shù)都是偶數(shù)(古稱陰數(shù))，白點(diǎn)表示的數(shù)是奇數(shù)(古稱陽(yáng)數(shù))．
“洛書”譯成今天的符號(hào)，便是一個(gè)“幻方”，它有三行三列故稱“三階幻方”．“幻方” 國(guó)外又稱為“魔方”，我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝稱它為“縱橫圖”．楊輝曾給出五～十階的縱橫圖．由于幻方中蘊(yùn)含著奇妙的數(shù)學(xué)美，從而引起了人們對(duì)于幻方的偏愛(ài)：它不僅出現(xiàn)在書籍上，也出現(xiàn)在名畫中(如十五世紀(jì)著名畫家A．丟勒的名版畫《憂郁癥》中就有一個(gè)四階幻方，且幻方中最末一行中間兩數(shù)組成1514，即表示畫的創(chuàng)作年代)，甚至認(rèn)為幻方有奇異的魔力能驅(qū)妖避邪，因而?？坛勺o(hù)身符佩戴．喜歡幻方的人不僅是數(shù)學(xué)家(如歐拉)、還有物理學(xué)家、政治家(如富蘭克林)；不僅有大人，也有孩子(目前最大階數(shù)的幻方——105階幻方的制作者是紐約一
位十三歲的兒童遜達(dá))．此外，人們還制造了許多有著奇特性質(zhì)的幻方，我們來(lái)看看美國(guó)著名電學(xué)家富蘭克林制作的八階幻方： (1)每半 行、半列上各數(shù)和為130(幻和是260)；(2)幻方角上的四個(gè)數(shù)與最中心四個(gè)數(shù)和等于幻和值260；(3)從16到10，再?gòu)?3到17所成折線“∧”上八個(gè)數(shù)字之和也為260；且平行這種折線的諸折線“∧”上的八個(gè)數(shù)字和也為260．美國(guó)的巴爾曾給出一個(gè)七階幻方：它的幻和是175，且下右圖所示每?jī)蓷l平行于主對(duì)角線的相應(yīng)直線上數(shù)和也是175，這種幻方稱為“泛對(duì)角線幻方”(上述兩直線稱為泛對(duì)角線)．此外，人們還
制作一些特殊形式的幻方，比如：質(zhì)數(shù)幻方，即幻方中所有數(shù)均為質(zhì)數(shù)．和積幻方，幻方每一行和、列和、對(duì)角線和相等；且每一行積(各數(shù)之積)、列積、對(duì)角線積均相等 ，又稱“加-乘幻方”．二次幻方，也就是說(shuō)本身是一個(gè)幻方，同時(shí)幻方中各數(shù)的平方仍組成一個(gè)幻方．全對(duì)稱幻方，幻方中的數(shù)字對(duì)于中心數(shù)有對(duì)稱性質(zhì)，與中心數(shù)等距的兩數(shù)之和總相等．美國(guó)的一位鐵路職員亞當(dāng)斯花了四十七年業(yè)余時(shí)間找到了一個(gè)幻六角形(即將1～19填入右圖六角形中各圓圈處，使圖中每條直線上的諸數(shù)和皆相等，且和為38)，后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)：這種幻六角形是唯一的．
人們不僅喜歡新幻方的制作，同時(shí)也熱衷于某些古幻方的開(kāi)拓與研究，比如前面我們提到的“洛書”幻方上，先在右邊添上一列(第一列)，再在其下面添上一行(第一行)，這便得出一個(gè)4×4的數(shù)陣．我們依次取出其中的2×2小方塊，它們分別是：其中方格下面的數(shù)為該方格中全部數(shù)字和，請(qǐng)注意：這些數(shù)和恰好是16～24這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們既無(wú)重復(fù)、又無(wú)遺漏．再者：若把“洛書”幻方中每行數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，同時(shí)寫出它們的逆序數(shù)，你將會(huì)發(fā)現(xiàn)：不僅這些數(shù)和相等，它們的平方和也相等492+357+816=294+753+618，4922+3572+8162=2942+7532+6182．這種性質(zhì)對(duì)于由幻方中列數(shù)字組成的三位數(shù)來(lái)講照樣成立：276+951+438=672+159+834，2762+9512+4382=6722+1592+8342．更為有趣的是：若把幻方“雙寫”(即重抄一遍置于其下)，有上述冪等和性質(zhì)：456+312+897=654+213+798，4562+3122+8972=6542+2132+7982；同時(shí)還有：258+714+693=852+417+396，2582+7142+6932=8522+4172+3962．
這些奇妙的性質(zhì)無(wú)疑給人帶來(lái)新奇和愉悅，難怪人們?yōu)楹慰偸亲巫我郧螅谔剿?、在尋覓、在發(fā)現(xiàn)、……人們不僅喜歡幻方，人們也喜歡與之類同的一些數(shù)陣，比如下面就是其中一例：將1～9這九個(gè)數(shù)字填入左下圖圓圈中，使每條直線和每個(gè)三角形上的數(shù)字和都相等，答案有兩個(gè)．
“完美”還常常體現(xiàn)在其他方面，比如正方形分割等．“完美正方形”是指一個(gè)可被分割成有限個(gè)大小彼此不相同的小正方塊的正方形． 1930年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家魯金曾認(rèn)為這種完美正方形不存在．1939年斯普拉格根據(jù)莫倫構(gòu)造了完美矩形(一個(gè)矩形它可被分割成若干個(gè)大小彼此不同的正方形)的事實(shí)，又添上兩個(gè)正方塊而構(gòu)造出第一個(gè)完美正方形，它由55個(gè)小正方塊組成，我們稱它為55階(它的面積單位是4205)．幾個(gè)月后，劍橋大學(xué)三一學(xué)院的四位學(xué)生構(gòu)造了一個(gè)28階的完美正方形(它的面積為1015單位)．1948年，威爾科克斯構(gòu)造出24階完美正方形，這在當(dāng)時(shí)是階數(shù)最低的，且這個(gè)紀(jì)錄一直保持到1978年(迄今為止，人們已構(gòu)造出2000多個(gè)24階完美正方形)．1967年，威爾森構(gòu)造成功25階、26階完美正方形．由于電子計(jì)算的使用和尋找方法的改進(jìn)，七十年代末，荷蘭特溫特技術(shù)大學(xué)的杜伊維斯廷構(gòu)造出一個(gè)21階的完美正方形，且證明不存在比這個(gè)階數(shù)更少的完美正方形(它不僅階數(shù)最低，同時(shí)數(shù)字也更簡(jiǎn)單(較小)，且構(gòu)造上有許多優(yōu)美的特性，比如2的某些方冪21、22、23均在一條對(duì)角線上等)．
這兒我們想順便指出一個(gè)與該問(wèn)題類同的：“用邊長(zhǎng)為1、2、3、…的正方形能否鋪滿整個(gè)平面？”的問(wèn)題．借助于斐波那契數(shù)列可以證明：邊長(zhǎng)為不同自然數(shù)的正方形可以鋪滿平面的四分之三以上．用廣義斐氏數(shù)列1、2、3、5、…為邊長(zhǎng)的正方形可鋪滿平面的第四象限；用廣義斐氏數(shù)列(4)、(6)、9、15、24、…為邊長(zhǎng)的正方形可鋪滿坐標(biāo)平面的第一象限；用廣義斐氏數(shù)列7、11、18、29、…為邊長(zhǎng)的正方形可鋪滿坐標(biāo)平面的第三象限；沒(méi)有在上述三個(gè)數(shù)列中出現(xiàn)的自然數(shù)4、6、10、12、14、…等為邊的正方形可放在坐標(biāo)平面的第二象限．這樣，以1、2、3、…為邊長(zhǎng)的正方形至少可鋪滿平面的四分之三.除了“完美正方形”之外，還有所謂“完美矩形”、“完美三角形”等．把矩形分割成規(guī)格不同的小正方形問(wèn)題稱為“完美矩形問(wèn)題”，其實(shí)這個(gè)問(wèn)題的研究產(chǎn)生于完美正方形之前(一開(kāi)始人們?cè)噲D尋找兩個(gè)構(gòu)造不同的完美矩形去拼成一個(gè)完美正方形)．1940年Brooks等人證明了：完美矩形最低階數(shù)為9，且它僅有兩種。用不同規(guī)格的正三角形去拼成一個(gè)大正三角形問(wèn)題稱為“完美三角形問(wèn)題”，這個(gè)問(wèn)題似乎更棘手．
“數(shù)”與“形”的結(jié)合，歷來(lái)就為數(shù)學(xué)家們推崇，“形”的直觀?？梢越o出“數(shù)”的性質(zhì)以最生動(dòng)說(shuō)明或詮釋，反之，數(shù)的簡(jiǎn)練又常使圖形中某些難以表達(dá)的性質(zhì)得以展現(xiàn)，解析幾何學(xué)的建立，正是這種結(jié)合的最好例子．它的誕生也是人們追求的另一種美感——形象美的結(jié)果．我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子．公元一世紀(jì)以前，人們就知道了自然數(shù)前n項(xiàng)和、二次方冪和和三次方冪和公式(尼科梅切斯公式)，關(guān)于自然數(shù)四次方冪和公式，十二世紀(jì)由阿拉伯人得到．至于自然數(shù)更高次方冪和的一般公式，是由荷蘭數(shù)學(xué)家雅谷·伯奴利在兩個(gè)世紀(jì)前給出的．自然數(shù)的某些方冪和有著直觀的幾何解釋，但一些自然數(shù)高次方冪和的幾何直觀性就不那么強(qiáng)了．
說(shuō)到這兒，自然使我們想起我們?cè)凇胺?hào)美”一節(jié)介紹的尼科梅切斯公式的幾何表示——圖形符號(hào)表示．這其實(shí)也是數(shù)學(xué)形式美的一種體現(xiàn)．當(dāng)然，這兒所說(shuō)的形式美，是指圖形的簡(jiǎn)潔、明快，且對(duì)公式的喻意又能那么直觀、形象、生動(dòng)地表現(xiàn)．
“數(shù)論”中的堆壘問(wèn)題，我們?cè)谇懊嬲鹿?jié)中已有闡述，比如：每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和(哥德巴赫猜想)；每個(gè)自然數(shù)都是三個(gè)三角數(shù)、四個(gè)四角(平方)數(shù)、五個(gè)五角數(shù)、…、k個(gè)k角數(shù)和；每個(gè)4k+1型質(zhì)數(shù)都是兩個(gè)完全平方數(shù)和(費(fèi)爾馬定理)；每個(gè)自然數(shù)都是四個(gè)完全平方數(shù)、九個(gè)立方數(shù)(從某數(shù)起只須八個(gè)、七個(gè)立方數(shù))、十九個(gè)四次方數(shù)、……之和(華林問(wèn)題)；………這兒均是將數(shù)表示成某些特殊形式的數(shù)和(也是一種形式美！)，這個(gè)問(wèn)題早在古代埃及就已為人們注意到了，不過(guò)那兒是進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算．
單位分?jǐn)?shù)(分子是1的分?jǐn)?shù))又稱埃及分?jǐn)?shù)，這是古埃及人最早用來(lái)進(jìn)行分?jǐn)?shù)計(jì)算的，他們那時(shí)是先將分?jǐn)?shù)化成單位分?jǐn)?shù)，然后再去運(yùn)算．然而單位分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的“堆壘”基礎(chǔ)，同樣有著許多魅人的性質(zhì)，也引起過(guò)人們的極大興趣．1202年意大利的斐波那契證明了：任何真分?jǐn)?shù)均可以表示成有限個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和．(它的詳細(xì)證明是1880年由英國(guó)數(shù)學(xué)家薛爾維斯特首先給出的)四百年之后，人們對(duì)于上述結(jié)論再度深入研究時(shí)，又有新的發(fā)現(xiàn)．1963年有人證明了：任何整數(shù)均可表示為分母是某個(gè)等差(算術(shù))數(shù)列中若干項(xiàng)的埃及分?jǐn)?shù)之和．又過(guò)了十年(1976年)人們找到了把自然數(shù)1表示成分母是奇數(shù)的且項(xiàng)數(shù)最少的埃及分?jǐn)?shù)和的表達(dá)式：另外還有四種表示法，它們的前六項(xiàng)與上面式右前六項(xiàng)相同，其余的項(xiàng)分別為：1／21+1／135+1／10395；1／21+1／165+1／693；1／21+1／231+1／315；1／33+1／45+1／385．
數(shù)學(xué)中函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式，從形式上看顯然富有美感，從數(shù)學(xué)意義上講更是有其深刻的內(nèi)涵．這些表示往往是由無(wú)限形式去表達(dá)有限，反過(guò)來(lái)的問(wèn)題則是用有限表示無(wú)限，比如求數(shù)列極限、求無(wú)窮級(jí)數(shù)和等．在計(jì)算上如此，在論證方法上也是如此．應(yīng)該看到數(shù)學(xué)歸納法正是利用有限步驟去論證無(wú)限形式的結(jié)論的一種有效方法．
說(shuō)到用“有限”去表現(xiàn)“無(wú)限”，這使我們想起流傳于我國(guó)的一種數(shù)學(xué)游戲——七巧板，它是用極其簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)形式描述自然界事物形象的一種方法．早在一千多年以前，我國(guó)就出現(xiàn)了一種廣泛流傳于民間的數(shù)學(xué)游戲——七巧板．它是我們的祖先運(yùn)用面積的分割和拼補(bǔ)的方法，以及有相同組成成份的平面圖形等積的原理研究并創(chuàng)造出來(lái)的．用它可以拼出形狀不同的人和物體的形象(插圖就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)游戲中，用七巧板拼成的圖形)．它對(duì)于鍛煉人們的智力和培養(yǎng)人們的思維能力是十分有益的；甚至在今天這種數(shù)學(xué)游戲中仍具有很高的品位．
七巧板是由尺寸互相關(guān)聯(lián)的一對(duì)大直角三角形、一對(duì)小直角三角形、一個(gè)中直角三角形、一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形所組成的．清朝人王其源在他編的“七巧八分圖”中對(duì)七巧板的制法做了敘述，它寫道：“考七葉之制，其法出于勾股，分寸以大者為定．而中者合大者之勾股為弦，小者合中者之勾股而成弦，方者合小者之勾股而成徑，斜者合中者之勾股而成欹，又合小者之勾股而成圭．”這里“欹”指組成七巧板的那個(gè)平行四邊形的長(zhǎng)邊，“圭”指它的短邊．
從上面這段話，我們可以得到“七巧板”的制做步驟，現(xiàn)說(shuō)明如下：
1．在所選材料(如薄紙板)上畫出一個(gè)正方形ABCD，并做出它的對(duì)角線AC．(如圖5)
2．分別找出AB和BC的中點(diǎn)E、F，連結(jié)EF(如圖6)．
3．過(guò)D做EF的垂線使之與AC相交于H，與EF相交G(如圖7)．
4．過(guò)G做GL∥FC，過(guò)E做EK∥GH．
最后，沿圖中所做的線段依次進(jìn)行分割，即得七巧板．十九世紀(jì)最流行的謎題之一就是七巧板。七巧板的流行大概是由于它結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、操作簡(jiǎn)便、明白易懂的緣故。你可以用七巧板隨意地拼出你自己設(shè)計(jì)的圖樣，但如果你想用七巧板拼出特定的圖案，那就會(huì)遇到真正的挑戰(zhàn)。正是七巧板的樂(lè)趣所在。七巧板那簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)很容易使人誤認(rèn)為要解決它的問(wèn)題也很容易，其實(shí)這種想法是片面的。用七巧板可以拼出1600種以上的圖案，其中有些是容易拼成的，有一些卻相當(dāng)詭秘，還有一些則似是而非充滿了矛盾?！捌咔砂濉笔俏覈?guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型。明、清兩代在民間廣泛流傳，清《冷廬雜識(shí)》中寫道“近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余。體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之。”“七巧圖”不知何時(shí)傳到國(guó)外，受到他們的歡迎與重視，李約瑟說(shuō)它是“東方最古老的消遣品”之一，至今英國(guó)劍橋大學(xué)的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》。美國(guó)作家埃德加·愛(ài)倫坡特竟用象牙精制了一副七巧板。法國(guó)拿破倫在流放生活中也曾用七巧板作為消遣游戲。誰(shuí)能想象到七巧板居然會(huì)跟拿破侖·波拿巴、亞當(dāng)、杜雷、愛(ài)倫坡特以及卡洛爾等人發(fā)生關(guān)系？實(shí)際上他們?nèi)际瞧咔砂宓目駸釔?ài)好者。
關(guān)于七巧板的名稱有許多原始的說(shuō)法：1．來(lái)自被廢棄的英語(yǔ)詞“trangram”：奇怪形狀的小玩意兒；2．來(lái)自詞Tang（中國(guó)的唐朝）帶后綴—gram（希臘文意為作品）；3．來(lái)自術(shù)語(yǔ)“tanka”，意即沿海船上人家。他們?cè)谶\(yùn)輸擺渡中除了供應(yīng)食物、浣洗衣物外，還提供一些娛樂(lè)方面的招待。其中就有這種由七塊板組成的中國(guó)謎題。大約七巧板一詞（Tangram）就是從tanka game（船上人家的游戲）演化來(lái)的。以上這幾種說(shuō)法似乎都有一定的道理。大概是原始七巧板的濃厚的趣味和它的娛樂(lè)釋義，激發(fā)了美國(guó)著名謎題專家山姆·洛依德的文學(xué)創(chuàng)意。1903年，61歲高齡的他，在《第八茶皮書》中寫道：“按百科全書的介紹，七巧板游戲淵源極為古老。在中國(guó)，它作為一種消遣性的玩物，其歷史可以追溯到4000年前……”七巧板在中國(guó)的發(fā)展流程大概是這樣的，先是宋朝的燕幾圖→演化成明朝的蝶翅幾→再者清初到現(xiàn)代的七巧板。燕幾圖 - 七巧板本來(lái)的面目是「燕幾圖」，燕幾的意思是招呼客人賓宴用的案幾，引發(fā)這個(gè)點(diǎn)子的人是北宋進(jìn)士黃伯思，他先設(shè)計(jì)了六件長(zhǎng)方形案幾，於宴會(huì)時(shí)能視賓客多寡適當(dāng)調(diào)整位置，隨后又增加一件小幾，七件案幾全拼在一起，會(huì)變成一個(gè)大長(zhǎng)方形，分開(kāi)組合可變化無(wú)窮。已和現(xiàn)代七巧板相差無(wú)幾了。蝶翅幾 - 后來(lái)，明朝戈汕依照「燕幾圖」的原理，又設(shè)計(jì)了「蝶翅幾」，由十三件不同的三角形案幾而組成的，拼在一起是一只蝴蝶展翅的形狀，分開(kāi)后則可拼成出一百多種圖形。七巧板 - 現(xiàn)代的七巧板就是在「燕幾圖」與「蝶翅幾」的基礎(chǔ)上加以發(fā)展出來(lái)的。七巧板的好處與用處簡(jiǎn)直是多不勝數(shù)，以下是七巧板部分的好處與用處：形狀概念、視覺(jué)分辨、認(rèn)智技巧、視覺(jué)記憶、手眼協(xié)調(diào)、鼓勵(lì)開(kāi)放、擴(kuò)散思考、創(chuàng)作機(jī)會(huì)。無(wú)論在現(xiàn)代或古代，七巧板都是用以啟發(fā)幼兒智力的良好伙伴。能夠把幼兒對(duì)實(shí)物與形態(tài)之間的橋梁連接起來(lái)，培養(yǎng)幼兒的觀察力、想像力、形狀分析及創(chuàng)意邏輯上都有巨大的發(fā)展空間?，F(xiàn)在被家長(zhǎng)們廣泛采用來(lái)幫助小孩學(xué)習(xí)基本邏輯關(guān)系和數(shù)學(xué)概念。可以幫助孩子認(rèn)識(shí)各種幾何圖形、數(shù)字、認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)和面積的意義，了解畢氏定理。七巧板還可以教導(dǎo)小朋友辨認(rèn)顏色，引導(dǎo)小朋友領(lǐng)悟圖形的分割與合成，進(jìn)而增強(qiáng)小朋友的手部智能、耐性和觀察力。亦可用以說(shuō)故事，將數(shù)十幅七巧板圖片連成一幅幅的連慣圖畫，即可當(dāng)漫畫般說(shuō)故給小朋友聽(tīng)。先拼出數(shù)款貓、幾款狗、一間屋，即可說(shuō)出一美妙動(dòng)人的故事。
下面我們舉幾個(gè)數(shù)字運(yùn)算中的“巧式”，它的巧妙在于其形式，美也在于其形式：
81=(8+1)＾2； 1395=13·95；153=13+53+33(370、371、407三數(shù)也有此性，它們被稱為“水仙花數(shù)”)；
1634=14+64+34+44(8208、9474亦然)；54748＝55+45+75+45+85(4150、4151、 92727、 93084、194979也有此性質(zhì))；
548834=56+46+86+86+36+46；2427=21+42+23+74；387420489＝387-420-489；
94-84-74=34-24-14；145=1！+4！+5！；40585=4！+0！+5！+8！+5??；……
這些形式上的數(shù)字美必然會(huì)吸引不少人去研究、去探索。
