作者 | 桃李昔

在自然數(shù)這個(gè)大家族中，有些數(shù)非常特別，1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，……像 1、4、9、16……這樣的數(shù)，數(shù)學(xué)上叫做“平方數(shù)”。

你知道嗎？平方數(shù)非常少！100 以內(nèi)的平方數(shù)從小到大也就 0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 共 11 個(gè)，大約占了總個(gè)數(shù)的 11%。200 以內(nèi)的平方數(shù)也不多，一共 15 個(gè)，約占總個(gè)數(shù)的 7.5%；300 以內(nèi)的平方數(shù)一共 18 個(gè)，約占總個(gè)數(shù)的 6%；400 以內(nèi)的平方數(shù)一共 22 個(gè)，約占總個(gè)數(shù)的 5.2%；……1000 以內(nèi)的平方數(shù)一共 32 個(gè)，約占總個(gè)數(shù)的 3.2%；10000 以內(nèi)的平方數(shù)一共 101 個(gè)，占比更小了，僅占總個(gè)數(shù)約 1%。

瞧，平方數(shù)，就是如此的稀少！

現(xiàn)在，讓我們把目光轉(zhuǎn)向那些不能進(jìn)入平方數(shù)隊(duì)伍的數(shù)。

比如 95，它顯然不是平方數(shù)。數(shù)學(xué)家們想：既然 95 不是平方數(shù)，那它能不能表示成幾個(gè)平方數(shù)之和呢？經(jīng)過嘗試，容易得到，95=1+4+9+81，或?qū)懗?95=12+22+32+92。也就是說，95 可以表示成四個(gè)平方數(shù)之和。

學(xué)無止境，思無終點(diǎn)！數(shù)學(xué)家們繼續(xù)想，是不是任意一個(gè)自然數(shù)都可以表示成幾個(gè)平方數(shù)之和呢？如果答案是肯定的，最多需要多少個(gè)平方數(shù)？

問題引發(fā)探究，行動(dòng)催生發(fā)現(xiàn)！數(shù)學(xué)家們的研究取得重大進(jìn)展，他們驚喜地得到：任意一個(gè)自然數(shù)，都可以表示為最多 4 個(gè)平方數(shù)之和（4 個(gè)平方數(shù)可以相同，也可以不同）。這真是一個(gè)奇特有趣的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)上把它稱為“四平方和定理”。

舉些例子吧！

16=42，4 本身就是一個(gè)平方數(shù)。

34=32+52，34 可以表示成 2 個(gè)平方數(shù)之和。

22=22+32+32，22 可以表示成 3 個(gè)平方數(shù)之和。

15=12+12+22+32，15 可以表示成 4 個(gè)平方數(shù)之和。

因?yàn)檫@個(gè)定理在 1772 年被法國數(shù)學(xué)家拉格朗日證明，所以它又被稱為“拉格朗日平方和定理”。

看，平方數(shù)雖然稀少，可還有“四平方和定理”啊，這定理對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)來講是普遍適用的！

作者簡介：桃李昔，從小喜歡數(shù)學(xué)，第一份工作是數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)在依然鐘情數(shù)學(xué)。主張數(shù)學(xué)教育應(yīng)傳授知識(shí)、傳播文化、傳遞熱情。