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素數(shù)通項公式

 昵稱9093111 2012-07-22

素數(shù)通項公式

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素數(shù)普遍公式                 目錄[隱藏]一、引言二、素數(shù)普遍公式三、素數(shù)的個數(shù)四、公式的用途五、素數(shù)普遍公式在認(rèn)識形成中的作用和意義思考題                                                                                                                                            作者王曉明(呆呆)

編輯本段引言

  2000多年前歐幾里德在證明素數(shù)無窮多時就埋下了尋求素數(shù)普遍公式的伏筆,以布勞維爾為首的直覺主義學(xué)派認(rèn)為:“你沒有給出第n個素數(shù)是如何構(gòu)造的,就不能算是好的證明”。2000多年來,數(shù)論學(xué)最重要的一個任務(wù),就是尋找素數(shù)普遍公式,為此,一代又一代數(shù)學(xué)精英,耗費了巨大的心血,始終未獲成功。黎曼曾想用他的ζ函數(shù)數(shù)的“零點”來逼近素數(shù)普遍公式,至今未獲成功。也有人反向思考,用素數(shù)普遍公式逼近“零點”來解決黎曼猜想。希爾伯特在1900年的國際數(shù)學(xué)家大會上說:對黎曼公式進(jìn)行了徹底討論之后,或許就能夠嚴(yán)格解決哥德巴赫問題和孿生素數(shù)問題。實際在哲學(xué)上,只要有一個明確的定義,就應(yīng)該有一個公式。

編輯本段素數(shù)普遍公式

  公元前250年同樣是古希臘的數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼提出一種篩法:

 ?。ㄒ唬耙玫讲淮笥谀硞€自然數(shù)N的所有素數(shù),只要在2---N中將不大于√N的素數(shù)的倍數(shù)全部劃去即可”。

 ?。ǘ⑸厦娴膬?nèi)容等價轉(zhuǎn)換:“如果N是合數(shù),則它有一個因子d滿足1<d≤√N”。(《基礎(chǔ)數(shù)論》13頁,U杜德利著,上海科技出版社)。.

 ?。ㄈ┰賹ⅲǘ┑膬?nèi)容等價轉(zhuǎn)換:“若自然數(shù)N不能被不大于(根號)√N的任何素數(shù)整除,則N是一個素數(shù)”。見(代數(shù)學(xué)辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁)。

 ?。ㄋ模┻@句話的漢字可以等價轉(zhuǎn)換成為用英文字母表達(dá)的公式:

  N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1)

  其中 p1,p2,.....,pk表示順序素數(shù)2,3,5,,,,,。a≠0。即N不能是2m+0,3m+0,5m+0,...,pkm+0形。若N<P(k+1)的平方 [注:后面的1,2,3,....,k,(k+1)是腳標(biāo),由于打印不出來,凡字母后面的數(shù)字或者i與k都是腳標(biāo)] ,則N是一個素數(shù)。

 ?。ㄎ澹┛梢园眩?B _extended="true">1)等價轉(zhuǎn)換成為用同余式組表示:

  N≡a1(modp1), N≡a2(modp2),.....,N≡ak(modpk)。 (2)

  例如,29,29不能夠被根號29以下的任何素數(shù)2,3,5整除,29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2),29≡2(mod3), 29≡4(mod5)。29小于7的平方49,所以29是一個素數(shù)。

  以后平方用“*”表示,即:㎡=m*。

  由于(2)的模p1,p2,....,pk 兩兩互素,根據(jù)孫子定理(中國剩余定理)知,(2)在p1p2.....pk范圍內(nèi)有唯一解。

  例如k=1時,N=2m+1,解得N=3,5,7。求得了(3,3*)區(qū)間的全部素數(shù)。

  k=2時,N=2m+1=3m+1,解得N=7,13,19; N=2m+1=3m+2,解得N=5,11,17,23。求得了(5,5*)區(qū)間的全部素數(shù)。

  k=3時, 

  ---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|

  ---------------------|---------|----------|--------|---------|

  n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|

  n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| 

  ------------------------------------------------------------

  求得了(7,7*)區(qū)間的全部素數(shù)。

  由孫子定理知,(1)式和(2)式在p1p2....pk范圍內(nèi)有(2-1)(3-1)(5-1)....(pk-1)個解,兩式的本質(zhì)是從p1p2....pk中除去pm(m〉1)的合數(shù),這一點與埃拉托塞篩法不同,埃氏篩是用p1,p2,...,pk去篩p(k+1)平方以內(nèi)的合數(shù),剩下的就是p*(k+1)以內(nèi)的素數(shù)了。例如用2,3,5,去篩49以內(nèi)的合數(shù),剩下的就是(7,7*)區(qū)間的素數(shù)了。但是,(1)(2)式是用p1,p2,..,pk 去篩p1p2...pk以內(nèi)的pim(i≤k)形的數(shù),連同p1,p2,...,pk也篩掉了。切比雪夫證明了“p*(k+1)<p1p2...pk對于由4開始的所有的K 都是對的。例如,3*>2,5*>2×3,7*>2×3×5,11*<2×3×5×7。從11開始都是這樣了。(參見[數(shù)學(xué)欣賞]漢斯拉德海著220頁“數(shù)30的一個性質(zhì)”北京出版社1981.6)所以,若K≥4時,(1)(2)式的計算結(jié)果只能取p(k+1)平方以內(nèi)的值才是素數(shù)。k=4時,

  - -------------------------- |7m+1 |7m+2 |7m+3 | 7m+4|7m+5 | 7m+6 | 

  -----------------------------|--------|--------|--------|-------|--------|---------|-

  n= 2m+1=3m+1=5m+1=|-- 1 -- |-121- |-- 31--|- 151-|--61--|-181-- |

  ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

  n= 2m+1=3m=1=5m+2=|-127-|--37-- |--157--|-67--|-187-- |-- 97-- |

  ------------------------------|- -----|--------|--------|-------|--------|---------|-

  n= 2m+1=3m+1=5m+3=|--43--|--163-|--73---|-193-|-103--|--13----|

  ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

  n= 2m+1=3m+1=5m+4=|-169-|--79--,|-199-- |-109-|--19---|-139---|

  ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

  n= 2m+1=3m+2=5m+1=|--71--|-191--|-101--|--11--|-131--|--41----|

  ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

  n= 2m+1=3m+2=5m+2=|-197-|-107--|--17---|-137--|--47-- |-167-- |

  ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|----------

  n= 2m+1=3m+2=5m+3=|-113-|-- 23--|-143--|-- 53--|-173--|-- 83---|

  ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

  n= 2m+1=3m+2=5m+4=|--29--|-149--|--59--|-179--|--89-- |--209-- |

  ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

  求得了(11,11*)區(qū)間的全部素數(shù)。 共有(2-1)×(3-1)×(5-1)×(7-1)=48個解。 小于11平方的解有27個,加上被篩掉的(m=1)四個數(shù)2,3,5,7。減掉即不是素數(shù)也不是合數(shù)的“1”,共有:

  ************(2-1)×(3-1)×(5-1)×(7-1)

  [ 121×------------------------------------+4-1]=30.個解。 方括號內(nèi)取整數(shù)。

  ******************( 2×3×5×7) 

  素數(shù)普遍公式實際上是由兩個式子共同完成,僅從(1)式看不出素數(shù)的什么規(guī)律,一旦轉(zhuǎn)為同余式組,整個線路就清晰了,因為在孫子定理的照耀下,我們知道,a≠0,即是在p1p2p3...pk范圍內(nèi)篩去p1m+0,p2m+0,p3m+0,...,pkm+0形的數(shù),所以在p1p2p3...pk范圍內(nèi)有(2-1)×(3-1)×(5-1)×...×(pk-1)個解。或者表示成

  (1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)...(1-1/pk).(*)

  個解。并且類似意大利數(shù)學(xué)家彼德羅們伐利的調(diào)和級數(shù)的定理,在向無窮所使用的“自我復(fù)制”,大家可以聯(lián)想到原子核裂變的情況,物理與數(shù)學(xué)是相通的。

  

編輯本段素數(shù)的個數(shù)

  設(shè)π(p*(k+1)表示不大于p*(k+1)素數(shù)個數(shù)(可以參見右圖):

  ------------------------------(p1-1)(p2-1)(p3-1)......(pk-1)

  π(p*(k+1)=[ p*(k+1)× -------------------------------------------+k-1] 。( 3 )

  ------------------------------------------( p1p2......pk)

  利用(3)式計算素數(shù)個數(shù)可以相當(dāng)精確。 

  下面是利用(3)式計算的一些結(jié)果。

  -------------------------------------------------------------------------

  p(k+1) |--------- 利用(3)式計算的數(shù)值------- |---- 實際值 

  ---3----|------------4----------------------------------|----4-----

  ---5----|------------9----------------------------------|----9--------

  ---7----|-----------15---------------------------------|----15-------

  --11---|-----------30----------------------------------|---30-------

  --13---|-----------39----------------------------------|---39-------

  ---17--|-----------60----------------------------------|---61-------

  ---19--|-----------71----------------------------------|---72-------

  --23---|-----------97----------------------------------|----99-------

  ---29--|--------145------------------------------------|-----146----

  ----31-|----------161----------------------------------|-----162----

  ----37-|-----------219---------------------------------|----219-----

  --101-|----------1251---------------------------------|---1252-----

  ------------------------------------------------------------------------------------------

  上面的表格是說,例如,素數(shù)101的平方內(nèi),利用(3)式計算的是1251個素數(shù),實際值是1252個素數(shù)。誤差非常小。

  仿此下去,可以求得任意大的數(shù)以內(nèi)的全部素數(shù)。以上就是吳振奎教授在文章中介紹王曉明發(fā)現(xiàn)的素數(shù)普遍公式。南開大學(xué)的胡久念教授認(rèn)為(3)式非常重要。

  這個公式提示我們,素數(shù)不是越來越少,如果按自然數(shù)平方的區(qū)間計算,反而越來越多。例如:

  n*-------------------(n+1)*------------素數(shù)個數(shù)

  1-----------------------2---------------------2(即1的平方到2的平方有2個素數(shù))

  2-----------------------3---------------------2

  3-----------------------4---------------------2

  4-----------------------5---------------------3

  5-----------------------6---------------------2

  6-----------------------7---------------------4

  7-----------------------8---------------------3

  8-----------------------9---------------------4

  ...........................................

  50---------------------51------------------11(即50的平方到51的平方有11個素數(shù))

  51---------------------52------------------15

  52---------------------53------------------16

  53---------------------54-------------------12

  54---------------------55-------------------13

  55---------------------56-------------------11

  56---------------------57-------------------12

  57---------------------58-------------------17

  ...........................................

  95--------------------96--------------------20

  96--------------------97--------------------22

  97--------------------98--------------------22

  98--------------------99--------------------23

  99-------------------100--------------------21(即99的平方到100的平方有21個素數(shù))

  總的形勢是越來越多。利用上面的公式證明奧波曼猜想(在正整數(shù)n*與(n*+n)之間必有一個素數(shù))和杰波夫猜想(兩個相鄰奇素數(shù)平方之間至少有兩對素數(shù))已經(jīng)不是什么問題了。因為,我們成功地將零散的數(shù)學(xué)概念,方法,定理編輯成為一個從基本概念到最復(fù)雜結(jié)論的網(wǎng)絡(luò),當(dāng)然,我們只不過是繼承了歐幾里德的方法。

編輯本段公式的用途

  

(一)利用這個公式可以解決大部分?jǐn)?shù)論難題

  利用這個公式可以解決大部分?jǐn)?shù)論難題,包括孿生素數(shù)猜想在【中等數(shù)學(xué)】2002.5期“從臺爾曼公式談起”,王曉明給出了哥德巴赫猜想的合理框架。即對于任何一個正整數(shù)n,是否必然存在一個X,使得(n+X)與(n-X)都是素數(shù)。因為(n+X)+(n-X)=2n。這就是著名的哥德巴赫猜想。根據(jù)除法算式定理和同余定理:“每一個整數(shù)恰與0,1,2,...,m-1中一數(shù)同于(modm)?!蔽覀兊弥谓o一個整數(shù)n,都可以唯一地表示成:

  n=p1m1+c1=p2m2+c2=...=pkmk+ck 。(4)

  p1,p2,...,pk表示順序素數(shù)2,3,5,...,。c=0,1,2,3,...,pi-1。[Pk的平方/2]<n<[P(K+1)的平方/2]。是否存在一個X:

  X=p1h1+g1=p2h2+g2=...=pkhk+gk 。(5)

  gi≠ci,gi≠pi-ci。若X〈n-2,則n+X與n-X是一對素數(shù)。

  例如n=20,20=2m+0=3m+2=5m+0. ( 5的平方/2)<20<(7的平方/2)即(25/2)<20<(49/2);

  解得X=2h+1=3h+0=5h+1=21

  X=2h+1=3h+0=5h+2=27

  X=2h+1=3h+0=5h+3=3

  X=2h+1=3h+0=5h+4=9

  X的四個解中有2個小于20-2,即3和9。得知20-3與20+3是一對素數(shù);20-9與20+9是一對素數(shù)。這個例題包含了證明的思想,必須利用一個引理,見下面的引理。徹底證明已經(jīng)不困難,讀者可以自己試著完成。

  這是因為胡作玄教授有一個精辟的論斷(他在介紹康托爾企圖證明哥德巴赫猜想失敗后的話):解決哥德巴赫問題在于對素數(shù)有一個正面的刻畫。

  素數(shù)普遍公式就是正面的刻畫,例如上面的例子:

  **20=2m+0=3m+2=5m+0

  (+)9=2h+1=3h+0=5h+4

  ----------------------------------------

  =29=2m+1=3m+2=5m+4.(符合(1)(2)式,gi≠pi-ci.,相加后最小剩余不為0,所以相加后是素數(shù)。

  相減:

  **20=2m+0=3m+2=5m+0

  (-)9=2h+1=3h+0=5h+4

  --------------------------------------

  =11=2m+1=3m+2=5m+1(符合(1)(2)式,gi≠ci.,相減后最小剩余不為0,所以相減后是素數(shù)。(相加相減讀者可以參考“群”的概念)

  證明哥德巴赫猜想就是要證明(5)式:1,x必然有解(如果最小剩余ci≠gi,ci≠pi-gi覆蓋了全部剩余類就沒有解)。2,x必然有小于pk平方/2的解。

  利用這個公式去解決黎曼猜想也完全可能。這個方法的優(yōu)越性十分明顯,每一步都與前面一步有著十分清晰而明確的關(guān)系。并且可以直接導(dǎo)回原來的定理。

  1923年哈代和李特爾伍德證明,如果廣義黎曼猜想成立,(所有L(S,X)的非平凡零點都位于直線R*S=1/2上,簡記(CRH),那么幾乎所有的偶數(shù)都可以表示為二個奇素數(shù)之和。相反,假如哥氏猜想成立,黎曼猜想是否也可以推出?當(dāng)然,一個完全正確的命題,其逆命題可能是錯誤的。

  這個公式比黎曼素數(shù)公式所含的信息量大的多。有了素數(shù)普遍公式,哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)猜想等數(shù)論難題都將迎刃而解。希爾伯特,沈康身(浙江大學(xué)教授)吳振奎(天津商學(xué)院教授)都是這樣認(rèn)為的。

  

(二)證明素數(shù)無窮多

  已經(jīng)知道有幾十種證明素數(shù)無窮多的方法??梢岳盟財?shù)普遍公式證明素數(shù)無窮多。

  先證明一個引理

  |------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

  “任何兩個含連續(xù)自然數(shù)個數(shù)相等的區(qū)間,篩K次后被篩數(shù)(或者未被篩數(shù))相差不超過K個”。|

  |------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

  

  說明:本篩法與埃拉托賽尼篩法不同,埃氏篩先用2篩,然后把2的倍數(shù)剔除掉;再用3篩,又把3的倍數(shù)剔除掉;再用5篩,.....。本篩法是已經(jīng)篩過的數(shù)不馬上剔除掉,而是做上標(biāo)記,等全部篩完過后再把篩過的數(shù)剔除掉。于是,有一些含有幾個不同素因子的數(shù)就要被篩幾遍,例如“6 ”,就要被“2,”和“3,”各篩一遍。

  證明:根據(jù)除法算式定理:“給定正整數(shù)a和b,b不等于0,存在唯一整數(shù)a和r,(0≤r<b.)。使a=bq+r?!?/B>得知,如果從a中篩bm形數(shù),a個連續(xù)自然數(shù)中,最多含有q+1個bm形數(shù),r個連續(xù)自然數(shù)中,最多含有一個bm形數(shù)。例如,a=35,b=3,35=3x11+2,35個連續(xù)自然數(shù)中,最多含有11+1=12個3m形數(shù),例如1---35有11個3m形數(shù),36----70有12個3m形數(shù)。

  現(xiàn)在設(shè)某兩個區(qū)間為A與B,含自然數(shù)的個數(shù)分別為|A|與|B|,|A|=|B|,下證明p去篩,兩區(qū)間被篩pm形數(shù)(或者未被篩數(shù))個數(shù)相差最多不超過1個。由上所述篩法,用順序素數(shù)p1,p2,...,pk依次去篩,兩區(qū)間每次被篩pm形數(shù)(或者未被篩數(shù))個數(shù)相差最多不超過1個,故篩k次兩區(qū)間被篩數(shù)(或者未被篩數(shù))個數(shù)最多不超過k個。

  證法1,設(shè)|A|=pm+r,則|B|=pm+r,0≤r<p,即區(qū)間A和B中均至少含有m個pm形數(shù),又由于r<p,故r個連續(xù)自然數(shù)中至多有一個pm形數(shù),即被篩pm形數(shù)個數(shù)相差不超過1個。

  證法2,假若不然,篩k次有兩個區(qū)間A與B,被篩數(shù)相差大于K,比如有K+1個,那會出現(xiàn)什么問題呢?我們問第K+1是個什么(見圖),例如A與B用2和3去篩,如果出現(xiàn)了相差3個,第一個記為2m形,第二個記為3m形,問第三個(-?-)是什么形式?(每一個括號表示一個自然數(shù))。

  A:(+)。。。(+);-------------------(-)(-)(-)(-)。。。(-);

  B:(+)。。。(+)(2m)(3m)(-?-);--------------------(-)。。。(-);

  |---------------已經(jīng)篩過部分----------------|------------未經(jīng)篩過部分------------|。

  如果第三個(-?-)是2m或者3m形, 顯然與除法算式定理矛盾;如果不是2m或者3m形,它就不應(yīng)該“站在”已經(jīng)篩過的行列。無論哪一種情況,假設(shè)都不能成立。證畢。證明方法2由美國Qhio-Wesleyan-University王蕊珂給出。(如果已經(jīng)篩過部分A比B多K個,則未篩過部分B比A多k個,這個很好理解,正如一個故事所講,第一輛車裝了40位姑娘,第二輛車裝了40位小伙子,停車時第二輛車的一部分小伙子坐上了第一輛車,第一輛車的司機不高興了,說我只拉40個人,于是兩輛車都是40個人,都有姑娘小伙,問:是第一輛車的姑娘多還是第二輛車的小伙子多?答案是顯然的;第一輛車的姑娘與第二輛車的小伙子一樣多)。

  我們可以用公式表示:{|A1|=|A2|=...=|An|}→s(k):|Aj|-|Ai|≤k。

  就是說,在連續(xù)自然數(shù)相等的區(qū)間|A1|,|A2|,...,|An|中,篩(用s表示)k 次,任何兩個區(qū)間:| Aj|-|Ai|≤k。.

  注:原來以為這個問題是顯然的,哪知,論文發(fā)表后,江西省九江市第一中學(xué)高三級黃晶晶同學(xué)發(fā)現(xiàn)必須給與證明,否則就是一個漏洞,給編輯部寫信。時間是2002年。 小小年紀(jì),真是不簡單。后來得知,黃晶晶考入一所著名大學(xué)的數(shù)學(xué)系,經(jīng)過兩年多努力,才完成“任何兩個含連續(xù)自然數(shù)個數(shù)相等的區(qū)間,篩k次被篩數(shù)(或者未被篩數(shù))相差不大于k個。 

  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  假定最后一個素數(shù)是23,那么對于下式:

  N=2m+a1=3m+a2=5m+a3=7m+a4=11m+a5=13m+a6=17m+a7=19m+a8=23m+a9。 (6)

  (a不等于0,若N<23*,則是一個素數(shù),23是第9個素數(shù)).來說,就沒有小于23*的解,因為N與2,3,5,7,11,13,17,19,23互素,并且大于23,我們知道沒有與所有素數(shù)互素的合數(shù),所以N必然是素數(shù),原先假設(shè)是錯誤的,這是證法一。

  證法二:(6)式如果有小于23*的解,就是素數(shù),與假設(shè)矛盾,所以(6)沒有小于23*的解。(1)式的同余形式:

  N≡a1(mod2), N≡a2(mod3),N≡a3(mod5),N≡a4(mod7),N≡a5(mod11),N≡a6(mod13),N≡a7(mod17),N≡a8(mod19),N≡a9(mod23).。(7)

   根據(jù)孫子定理,從(6)(7)式得知,(6)(7)式在2x3x5x7x11x13x17x19x23范圍內(nèi)有(2-1)x(3-1)x(5-1)x(7-1)x(11-1)x(13-1)x(17-1)x(19-1)x(23-1)個解。(6)(7)式的本質(zhì)是從2x3x5x7x11x13x17x19x23中篩去2m,3m,5m,7m,11m,13m,17m,19m,23m形的數(shù)。共篩9次。

  我們把2x3x5x7x11x13x17x19x23按(19x23)為一個區(qū)間,(注意19x23<23的平方)分成2x3x5x7x11x13x17個區(qū)間:

  [1 ,19x23),[19x23+1,2x19x23),.........,[2x3x5x7x11x13x17x19x23-(19x23)+1,2x3x5x7x11x13x17x19x23)。

  假如第一區(qū)間[1,19x23)無解,根據(jù)引理,其他區(qū)間的解也不會超過9個。2x3x5x7x11x13x17個區(qū)間不超過2x3x5x7x11x13x17x9個解。少于(6)(7)式固有的解(2-1)x(3-1)x(5-1)x(7-1)x(11-1)x(13-1)x(17-1)x(19-1)x(23-1)。一一對應(yīng),(23-1)對應(yīng)9;(19-1)對應(yīng)17;(17-1)對應(yīng)13,(13-1)對應(yīng)11;(11-1)對應(yīng)7;(7-1)對應(yīng)5;(5-1)對應(yīng)3;(3-1)對應(yīng)2。

  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 ?。?-1)|(3-1)|(5-1)|(7-1)|(11-1)|(13-1)|(17-1)|(19-1)|(23-1)|

  |-------------2-----|----3----|----5----|-----7-----|-----11----|----13---|-----17----|----9------|

  ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  每一項都是上面大于或者等于下面,說明原先假設(shè)23是最大的素數(shù)是錯誤的,他造成了與(6)(7)式的矛盾,而

 ?。?)(7)式的解數(shù)目是由孫子定理得出的。與孫子定理矛盾必然是錯誤的。這是利用抽屜原則,(2-1)x(3-1)x(5-1)x(7-1)x(11-1)x(13-1)x(17-1)x(19-1)x(23-1)是抽屜,2x3x5x7x11x13x17x9是信封,信封少于抽屜,說明至少有抽屜沒有信封。證畢。

  證法二雖然繁瑣(繞圈子),但是一個強有力的工具(歸謬法)。假如在第一區(qū)間無解,就會造成總的解數(shù)目少于公式固有的解的數(shù)目,而固有解的數(shù)目是由孫子定理得出的。這個方法移植到孿生素數(shù)證明上,同樣有效。

  

(三)組裝素數(shù)

  。在例題中,當(dāng)k=4時,我們發(fā)現(xiàn),根本不需要計算,只有添進(jìn)數(shù)字就可以了,當(dāng)k=5時,有480個解,如果用埃氏篩,或者進(jìn)行計算,哪怕是歐拉或者高斯這樣的巨匠,也要幾個小時,如果編成程序,一秒鐘也用不了。人類已經(jīng)不需要依賴埃拉托賽尼篩法計算素數(shù)。只有利用一個模具。

  

(四)解釋問題

  可以說明

  1,臺爾曼素數(shù)公式。(參見“從臺爾曼公式談起”《中等數(shù)學(xué)》2002年5期)

  2,福蒂恩猜想。劍橋大學(xué)人類學(xué)家福蒂恩發(fā)現(xiàn):

  若與p1p2....pn+1

  (p1,p2,....是順序素數(shù)2,3,5,,,,)相繼的下一個素數(shù)為q,則q-p1p2p3....pn也是素數(shù):

  2+1=3,5-2=3;

  2x3+1=7,11-6=5;

  2x3x5+1=31,37-30=7,;

  2x3x5x7+1=211,223-210=13,

  ............

  利用公式可以清晰地解釋福蒂恩猜想。

  (五)孿生素數(shù)及其猜想

  公式 孿生素數(shù)有一個十分精確的普遍公式,是根據(jù)一個定理:“若自然數(shù)Q與Q+2都不能被不大于根號(Q+2)的任何素數(shù)整除,則Q與Q+2是一對素數(shù),稱為相差2的孿生素數(shù)。這一句話可以用公式表達(dá):

  Q=p1m1+b1=p2m2+b2=....=pkmk+bk . 。(8)

  

  其中p1,p2,...,pk表示順序素數(shù)2,3,5,....。b≠0, b≠pi-2。(即最小剩余不能是0和pi-2.。不能是2m,3m,5m,...,pkm形,不能是3m+1,5m+3,7m+5,....,pkm-2形)。若Q〈P*(k+1)-2 [注:(k+1)是腳標(biāo)],則Q與Q+2是一對孿生素數(shù)。

  例如,29,29和29+2不能被不大于根號(29+2)的任何素數(shù)2,3,5整除,29=2m+1=3m+2=5m+4, 29〈49-2(即7*-2)所以29與29+2是一對孿生素數(shù)。

  上式可以用同余式組表示:

  Q≡b1(modp1),Q≡b2(modp2),...,Q≡bk(modpk)。(9)。

  由于(9)式的模p1,p2,...,pk兩兩互素,根據(jù)孫子(中國剩余)定理,對于給定的b值,(9)式在p1p2...pk范圍內(nèi)有唯一的解。例如29,

  29≡1(mod2),29≡2(mod3),29≡4(mod5)。29小于7的平方減2,即49-2。所以29是一個素數(shù)。29在2×3×5=30范圍內(nèi)有唯一解。

  例如:

  k=1時,Q=2 m+1,解得Q=3和5,5<3*-2,得知3與3+2,5與5+2是兩對孿生素數(shù)。從而得到了3,3*)區(qū)間的全部孿生素數(shù)。

  k=2時,Q=2m+1=3m+2。解得Q=5,11,17。17<5*-2,得知11與11+2,17與17+2是孿生素數(shù)對,從而得到(5,5*)區(qū)間的全部孿生素數(shù)。

  k=3時,

  *********************|----5m+1-----|-5m+2-|-5m+4-|

  ---------------------------------------------------------|

  Q=2m+1=3m+2=|-11-,-41-;|---17---|---29---|

  ---------------------------------------------------------|

  從而求得了(7,7*)區(qū)間的全部孿生素數(shù)對。

  k=4,時,解得:

  ******************************|-7m+1-|-7m+2-|-7m+3-|-7m+4-|-7m+6-|

  Q=2m+1=3m+2=5m+1=|---71---|--191--|--101---|---11--|----41--|

  Q=2m+1=3m+2=5m+2=|--197--|--107--|---17----|--137--|--167--|

  Q=2m+1=3m+2=5m+4=|---29--|--149--|----59----|--179--|--209--|

  ---------------------------------------------------------------------------------------

  求得了(11,11*)區(qū)間的全部解。

  仿此下去,可以求得任意給定的數(shù)以內(nèi)的全部孿生素數(shù),并且一個不漏地得到。

  注意,在k≥4時,利用表格,我們不需要通過計算,或者埃拉托賽尼篩法求得解,而是只要填寫即可。表格的數(shù)字十分有規(guī)律。人類已經(jīng)不依賴埃氏篩??梢酝ㄟ^組裝或者克隆素數(shù)。這對大數(shù)密碼是一個強烈的沖擊。

  由于b≠0,(8)(9)式的本質(zhì)就是從p1p2p3....pk中篩去p1m,p2m,...,pkm形的數(shù)k次;;由于b≠pi-2,(8),(9)式是從p1p2p3...pk中篩去p1m-2,p2m-2,p3m-2,....,pkm-2形的數(shù)k次,共篩2k次。

  孿生素數(shù)猜想就是要證明(8)式或者(9)式在k值任意大時都有小于p*{k+1)-2的解。詳細(xì)情況可以參見“百度百科”詞條“孿生素數(shù)普遍公式”,以及“素數(shù)普遍公式”。利用(8)(9)式證明孿生素數(shù)猜想變得十分容易,希爾伯特等數(shù)學(xué)家都是這樣認(rèn)為的.

  根據(jù)孫子定理得知,(1)(2)式在p1p2p3...pk范圍內(nèi)有:

  (2-1)×(3-2)×(5-2)×....×(pk-2)。(3)

  個解。(p后面的1,2,3,...,k是腳標(biāo))。

  孿生素數(shù)的篩法就是在埃拉托塞尼的篩后再篩去pm-2型的數(shù)。 

  關(guān)于孿生素數(shù)猜想

  孿生素數(shù)猜想就是要證明K值任意大時(1) 式(2)式都有小于p*k的解。有了這個孿生素數(shù)普遍公式,證明孿生素數(shù)問題就像做一道中學(xué)數(shù)學(xué)題一樣容易。

  這是希爾伯特說的,因為孿生素數(shù)公式把孿生素數(shù)猜想轉(zhuǎn)化成一個初等數(shù)論問題。事實上也是這樣。例如,

  假設(shè)最后一對孿生素數(shù)是59與61,那么對于下式:

  Q=2m+b1=3m+b2=5m+b3=....=53m+b16=59m+b17=61m+b18. (10)

  (61是第18個素數(shù))。

   來說,就沒有小于67*-2的解。b≠0, b≠pi-2。若Q<67*-2,則Q與Q+2是一對孿生素數(shù)。(10)式可用同于式組表示:

  Q≡1(mod2),Q≡2(mod3),...,Q≡b17(mod59),Q≡b18(mod61)。(11

  根據(jù)孫子定理,(10)式(11)式共有:

  (2-1)×(3-2)×(5-2)×(7-2)×........×(59-2)×(61-2)。(12

  個解。

  注意(10)式,Q與(Q+2)與2,3,5,.......,53,59,61互素。并且大于2,3,5,.......,53,59,61。如果Q<67*-2,則Q與(Q+2)

  是一對大于61的孿生素數(shù)。既然我們已經(jīng)假設(shè)了最大的孿生素數(shù)是59與61,那么(10)(11)式肯定沒有小于67*-2的解,如果Q小于67*-2,則Q與(Q+2)是一對孿生素數(shù)。

  可以分為幾個步驟證明:

  {1}:我們將2×3×5×7×....×53×59×61按59×61劃分為一個區(qū)間:

  [1,59×61],[59×61+1,2×59×61],...,,[(2×3×5X...X59×61)-(59×61)+1,2×3×5×....×59×61]。

  共有2×3×5×....×53個區(qū)間。因為(10)(11)式的本質(zhì)是從2×3×5×...×53×59×61范圍內(nèi)篩去 2m,3m,5m,...,53m,59m,61m形的數(shù)(篩k次)和2m-2,3m-2,5m-2,7m-2,...,53m-2,59m-2,61m-2形的數(shù)(篩k次)共2k次。

  {2}:既然67*-2沒有解,我們只要證明:如果第一區(qū)間[1,59×61]無解,即67*-2內(nèi)無解,(因為59×61<67*-2),[也就是(4)(5)式在p*k內(nèi)無解]。其它區(qū)間解的數(shù)目就不會超過2k個(此時k=18,,61是第18個素數(shù))。(見上面的“引理”)。

  {3}:[(2×3×5×…×47×53)×2×18]<[(2-1)×(3-2)×(5-2)×…×(59-2)×(61-2)]。

  一一對應(yīng):右式在上,左式在下,(61-2)對應(yīng)(2x18),(59-2)對應(yīng)53,(53-2)對應(yīng)47,(47-2)對應(yīng)43,(43-2)對應(yīng)41,(41-2)對應(yīng)37。

  [(2-1)X(3-2)X(5-2)X(7-2)X(11-2)X(13-2)X(17-2)X...X(37-2)X(41-2)X(43-2)X(47-2)X(53-2)X(59-2)X(61-2)]

  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------>2。

  [2X3X5X7X11X13X17X19X23X29X31X37X41X43X47X53X(2×18)]。

  前面:

 ?。?-1)X(3-2)X(5-2)X(7-2)X(11-2)X(13-2)X(17-2)X(19-2)X(23-2)X(29-2)X(31-2)X(37-2)

  -----------------------------------------------------------------------------------------------------------=1.086

  2x3x5x7x11x13x17x19x23x29x31

  后面每一項分子大于分母。

  由于右式比左式多2項,所以造成:

  {4}:每一項都是上端大于下端或者等于下端。造成了下端假設(shè)解的數(shù)目少于(10)(11)式固有的解(上端的數(shù)目(2-1)×(3-2)×(5-2)×....×(53-2)×(59-2)×(61-2),而上端解的數(shù)目是根據(jù)孫子定理得出的,與孫子定理相矛盾必然是錯誤的, 所以原先假設(shè)最后一對孿生素數(shù)是59與61是錯誤的。。這就是利用抽屜原則這個鐵一樣的定理,((2-1)x(3-2)x(5-2)x(7-2)x...x(59-2)x(61-2)就是抽屜,2 x3x5x7x...x53x(2x18)就是信封,信封少于抽屜,至少有抽屜沒有裝上信封。

  {5}這個證明是什么意思呢?就是說,如果假設(shè)59與61是最大的孿生素數(shù),那么在(4)(5)式,就沒有小于67*-2的解,即第一區(qū)間(1,59×61)內(nèi)無解,如果第一區(qū)間無解,其它區(qū)間的解就會少于2k個,即2×18=36個。這樣就出現(xiàn)了與假設(shè)的矛盾,因為(10)(11)式的解是一個絕對的數(shù)目(即(12)式),他是由孫子定理得出的。與孫子定理矛盾顯然是錯誤的,所以假設(shè)59與61是最大的孿生素數(shù)是不對的。

  這個方法的優(yōu)越性十分明顯,可以避免循環(huán)論證,每一步都與前面一步有著十分清晰而明確的關(guān)系。并且可以直接導(dǎo)回原來的公式。(六)黎曼假設(shè)中的素數(shù)公式來自埃拉托塞尼篩法  有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì),例如,2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱為素數(shù);它們在純數(shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中,這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式;然而,德國數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到,素數(shù)的頻率緊密相關(guān)于一個精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s)的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言,方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數(shù)分布的許多奧秘帶來光明?! ?730年,歐拉在研究調(diào)和級數(shù):  Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(13)  時,發(fā)現(xiàn):  Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。(14)  其中,n過所有正整數(shù),p過所有素數(shù),但稍加改動便可以使其收斂,將n寫成n^s(s>1),即可。如果黎曼假設(shè)正確:  Π(x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(15)  證明了上式,即證明了黎曼猜想。  為什么:  π1/(1-1/P)={1/(1-1/2)}×{1/(1-1/3)}×{1/(1-1/5)}×.......=Σ1/n=1+1/2+1/3+1/4+,,,,。(16)  因為:  1/(1-r)=1+r+r^2+r^3+r^4+......。(17)  所以:  1/(1-1/2)=1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+......  1/(1-1/3)=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+......  1/(1-1/5)=1+1/5+(1/5)^2+(1/5)^3+(1/5)^4+.......  .......................................  右端所有第一項的“1”相乘得到:“1”;  右端第一行1/2與其它行第一項的“1”相乘得到“1/2";  ...................  把所有加起來就是:1+1/2+1/3+1/4+........  在證明素數(shù)定理的過程中,黎曼提出了一個論斷:Zeta函數(shù)的零點都在直線Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了,因為這對他證明素數(shù)定理影響不大。但這一問題至今仍然未能解決,甚至于比此假設(shè)簡單的猜想也未能獲證。而函數(shù)論和解析數(shù)論中的很多問題都依賴于黎曼假設(shè)。在代數(shù)數(shù)論中的廣義黎曼假設(shè)更是影響深遠(yuǎn)。若能證明黎曼假設(shè),則可帶動許多問題的解決?!  ∮腥税l(fā)現(xiàn)埃拉托塞尼篩法的公式【即(1)(2)式】反過來可以推出黎曼猜想的猜想。因為只要把兩個式子連接起來,就可以研究?,F(xiàn)在還沒有找到這個紐帶,但是已經(jīng)有共同的內(nèi)容聯(lián)系起來:  以下內(nèi)容可以參見任何一本有關(guān)黎曼猜想的書籍,下面內(nèi)容摘自《素數(shù)之戀》第100頁?! ±杪孪氲幕緛碓词前@腥岷Y法。埃氏篩大家都熟悉,我們就省略了,下面是某個大于1的*函數(shù)。(原文章用s,由于s不好表示右上標(biāo),所有這里我們用“*”表示)  ζ(*)=1+1/2*+1/3*+1/4*+1/5*+1/6*+.....。(18) ?。ㄗ⒁?,這里“*”表示右上角標(biāo))。  在等號兩邊乘以1/2*由冪運算規(guī)則得到:  1/2* ζ(*)=1/2*+1/4*+1/6*+1/8*+1/10*+1/12*+.....。(19)  我們從第(8)式子減去第二個式子,在左邊我有一個ζ(*),又有它的1/2*,做減法得:  (1-1/2*)ζ(*)=1+1/3*+1/5*+1/7*+1/9*+1/11*+1/13*+1/15*+....。(20)  這個減法從那個無窮和中去掉了所有偶數(shù)項。  現(xiàn)在我們在等號兩邊乘以1/3*,而3是右邊第一個還沒有去掉的數(shù):  1/3*(1-1/2*)ζ(*)=1/3*+1/9*+1/15*+1/21*+1/27*+1/33*+1/39*+....。(21)  我們再做減法得: ?。?-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/5*+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+....。(22)  3的所有倍數(shù)都從那個無窮和中消失了,右邊還有第一個沒有被去掉的數(shù)是5,如果我們兩邊都乘以1/5*,結(jié)果是:  1/5*(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1/5*+1/25*+1/35*+1/55*+1/65*+1/85*+1/95*+1/115*+...。(23)  現(xiàn)在從前面那個式子減去這個等式得: ?。?-/5*)(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+...。(24)  我們繼續(xù)下去,對于大于1的任意*,左邊對每一個帶括號的表達(dá)式,并向右邊一直繼續(xù)下去,對這個式子的兩邊都依次逐個除以這些括號,我們得到:  ζ(*)=[1/(1-1/2*)]×[1/(1-1/3*)]×[1/(1-1/5*)]×[1/(1-1/7*)]×[1/(1-1/11*)]×....。(25)  即: ?。?8)式=(25)式  這就是重復(fù)埃拉托塞尼篩法的過程?! ∮捎诶杪孪肱c(1)(2)式都是來自埃拉托塞尼篩法,有共同的來源,所有我們有理由相信,解決黎曼問題可以利用(1)(2)式,只是我們現(xiàn)在還差一個環(huán)節(jié)。(王曉明王蕊珂)

編輯本段素數(shù)普遍公式在認(rèn)識形成中的作用和意義

  埃拉托賽尼篩法是一個相對獨立的實踐活動,而埃拉托賽尼的素數(shù)普遍公式是一種理論。(實踐先于理論,實踐是理論的源泉)。如果實踐是對的,行之有效的,那么他可以作為論據(jù)支持公式。公式的對與錯,看他是否與方法吻合,(與經(jīng)驗事實相吻合)。方法是公式的內(nèi)容,公式是方法的理論。在理論的內(nèi)容是真的前提下,公式是可靠的,一個公式能夠產(chǎn)生出來,表明具有了相應(yīng)的三大條件:一,相應(yīng)的觀念和方法已經(jīng)產(chǎn)生;二,相應(yīng)的實踐條件和手段已經(jīng)具備;三,科學(xué)勞動者能夠正確無誤地進(jìn)行操作。

  方法只有借助公式才能獲得確定的含義,方法是構(gòu)成公式的成分。公式是具有一定結(jié)構(gòu)的整體,這是公式自身存在與發(fā)展的前提。公式是一種體系化和邏輯化了的認(rèn)識,而體系化規(guī)范化的方法是公式的靈魂。理論和公式的意義恰恰不在于他的形式,而在于他形成之后的運行。在于他作為某種因素而導(dǎo)出另外的結(jié)果。 

  公式是方法的收集,方法的反應(yīng)。僅有方法,無法拓展新的實踐和認(rèn)識,生命力受到局限,只有借助于公式才能向更深層次參透,因為方法是一個層次,他主要是描述性的,例如,埃拉托賽尼篩法是怎樣尋找素數(shù)。而公式是理論認(rèn)識,說明“為什么”,相對來說,他超過了個別。

  人以理論的方式,觀念地把握世界,人以“公式”的形式,觀念地把握方法。就公式產(chǎn)生和存在的意義和使命而言,就是要朝著實踐方向作認(rèn)識總過程的再認(rèn)識(再次飛躍),以創(chuàng)造還未知的外部世界。總之,只有在一切解釋皆真的公式,才能算普效的公式,或者邏輯真的公式。要判定一個公式是否可推演出,即是否可證,這是純形式的問題;要斷言一個公式是否真,必須依賴公式以外的解釋和模型------即這個公式和方法是否可以做等價轉(zhuǎn)換。

  下面談?wù)勊財?shù)普遍公式的一些具體作用:

 ?。ㄒ唬┧財?shù)普遍公式是素數(shù)定理(若N不能被不大于根號N的任何素數(shù)整除,則N是素數(shù))和埃拉托賽尼篩法的表現(xiàn)形式,表明在一定條件下和范圍內(nèi)[P(k+1)平方]主觀和客觀上的符合。因而是科學(xué)真理的一種表現(xiàn)形式。素數(shù)普遍公式提供了廣泛的概念框架,并且概括出其中普遍的不變關(guān)系。

 ?。ǘ┧財?shù)普遍公式有助于科學(xué)概念和素數(shù)理論的形成。素數(shù)普遍公式是明確其他科學(xué)概念(例如哥德巴赫猜想)的一種有效手段。將來許多科學(xué)概念的內(nèi)涵都會通過素數(shù)普遍概念公式表現(xiàn)出來,在素數(shù)理論中,素數(shù)普遍公式起著極大的作用,他是核心和靈魂。

 ?。ㄈ┧財?shù)普遍公式有解釋和預(yù)見功能,由于素數(shù)普遍公式是從整體上解釋素數(shù)性質(zhì)的,所以常常是演繹推理模型中的大前提(全稱),也是預(yù)見的先行條件。

 ?。ㄋ模跀?shù)學(xué)論證中,數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)是用有限駕馭無窮,必須首先找出無窮對象的規(guī)律,用公式概括起來,既正面刻畫后,才能去證明更深刻的問題??傊?,沒有素數(shù)普遍公式,就不能去催促新的思想。例如有些人用復(fù)變函數(shù)把簡單的素數(shù)理論弄的面目全非,違背了事物的真實性,造成了驚心動魄的場面卻解決不了實際問題。正如馮。諾伊曼指出的那樣:“當(dāng)一門數(shù)學(xué)離他的源泉越遠(yuǎn),他就變的愈加嬌柔造作。

  歐幾里德是第一個提出素數(shù)普遍公式的人,為此,人類這一步卻跨越了兩千年,這是值得深思的。

  希爾伯特對數(shù)學(xué)成果的評價,那些能把過去統(tǒng)一起來而同時又為未來的拓展開辟了廣闊的道路的概念和方法,應(yīng)該算是最為深刻的概念和方法。素數(shù)普遍公式就是一種承上啟下,繼往開來的思想。令人欣喜的是,自從素數(shù)普遍公式發(fā)表后,已經(jīng)有好幾篇相關(guān)論文發(fā)表,為最終解決黎曼猜想等難題做好了基礎(chǔ)。我們要想認(rèn)識素數(shù),就不得不向這個理論屈服。這個方法也許將直接導(dǎo)致大數(shù)密碼的崩潰,西方數(shù)學(xué)家在與軍方合作時時關(guān)注素數(shù)研究的進(jìn)展,我們也應(yīng)該引起注意。

  有網(wǎng)友說“這其實就是埃拉托賽篩法的延伸”,說的非常正確。200萬年前,人類中的一員,用手中的木枝,接燃了野火,去點燃預(yù)先準(zhǔn)備好的柴火,人類第一次主觀地利用了火,我們發(fā)生了質(zhì)變。埃氏篩就是野火,我們用(1)式接燃了它,去點燃(2)式。從此,數(shù)論將發(fā)生質(zhì)變。

  六。素數(shù)普遍公式的名稱來源

  素數(shù)普遍公式是美籍俄羅斯人喬治。伽莫夫,在1946年的著作《從一到無窮大》提出的,他還提出過“宇宙大爆咋”理論。

  這真是:

  兩千年期待,姍然遲來。 ----------------|------ 數(shù)百位豪杰,盡傾心血。

  仰天長嘆,空蕩蕩青春虛度。------------|-------低頭沉思,實在在光陰耗盡。

  看歐幾里德,一籌莫展。------------------|-------思費馬玄構(gòu),歐拉神算。

  艾拉托塞,搜遍骷腸,一聲感慨。-------|-------高斯雄才,黎曼假設(shè),無言等待。

  天之轎子,何必選此絕路。---------------|-------豐功偉業(yè),愚公豈能移山。

  想哈代力博,拉馬努賈英年逝。---------|-------絞無盡腦汁,勾不完質(zhì)數(shù)變換。

  更雄心勃發(fā),“充分大”忽悠天下,---|-------有幾路英雄,“殆素數(shù)”兵不厭炸。

  莫等閑富貴蒸發(fā)歲月流盡虛度年華。---|-------只贏得虛名假譽輕艷浮靡一枕黃梁。

編輯本段思考題

  1、為什么歐拉素數(shù)公式f(m)=㎡+m+41,, 當(dāng)m≥40時,就不靈了?。

  2、你能夠利用公式編出排列素數(shù)的程序嗎?

  3、你能夠證明㎡+1形式的素數(shù)有無窮多嗎?

擴展閱讀:

1.吳振奎【中等數(shù)學(xué)】1999.2 談?wù)勊財?shù)表達(dá)式。

2.陳志云【中等數(shù)學(xué)】2001.4 關(guān)于一個尋找素數(shù)方法的理論依據(jù)。

3.淑生 【自然】1991.11 有表示所有素數(shù)的公式嗎

4.王曉明【中等數(shù)學(xué)】2002.5 從臺爾曼公式談起

5.王曉明 [中等數(shù)學(xué)]2001.2 素數(shù)個數(shù)問題的三種新證法

6.《數(shù)學(xué)大師的創(chuàng)造與失誤》43頁,44頁。天津教育出版社2003年第一版,2007年第二版。

7.維基百科【素數(shù)公式】詞條。素數(shù)定理  素數(shù)定理描述素數(shù)素數(shù)的大致分布情況。 素數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直困惑著數(shù)學(xué)家。一個個地看,素數(shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒有什么規(guī)律??墒强傮w地看,素數(shù)的個數(shù)竟然有規(guī)可循。對正實數(shù)x,定義π(x)為不大于x的素數(shù)個數(shù)。數(shù)學(xué)家找到了一些函數(shù)來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。 π(x)≈x/ln x 其中l(wèi)n x為x的自然對數(shù)。上式的意思是當(dāng)x趨近∞,π(x) 和x/ln x的比趨 近1(注:該結(jié)果為高斯所發(fā)現(xiàn))。但這不表示它們的數(shù)值隨著x增大而接近。 下面是對π(x)更好的估計: π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15),當(dāng) x 趨近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x),而關(guān)系式右邊第二項是誤差估計,詳見大O符號。

  素數(shù)定理可以給出第n個素數(shù)p(n)的漸近估計: :p(n)~n/ln n. 它也給出從整數(shù)中抽到素數(shù)的概率。從不大于n的自然數(shù)隨機選一個,它是素數(shù)的概率大約是1/ln n。 這定理的式子於1798年法國數(shù)學(xué)家勒讓德提出。1896年法國數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪(Jacques Hadamard)和比利時數(shù)學(xué)家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了復(fù)分析,尤其是黎曼ζ函數(shù)。 因為黎曼ζ函數(shù)與π(x)關(guān)系密切,關(guān)于黎曼ζ函數(shù)的黎曼猜想對數(shù)論很重要。一旦猜想獲證,便能大大改進(jìn)素數(shù)定理誤差的估計。1901年瑞典數(shù)學(xué)家Helge von Koch證明出,假設(shè)黎曼猜想成立,以上關(guān)系式誤差項的估計可改進(jìn)為 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O項的常數(shù)則還未知道。

編輯本段素數(shù)公式比較

以前(x^2)處的的素數(shù)

  x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1

現(xiàn)在(Pn#)處的素數(shù)

  (Pn-1)# +n -1

兩者的誤差

  要想兩式

  x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1 == (Pn-1)# +n -1

  恒等于,質(zhì)數(shù)中x只有一個2的數(shù)沒有誤差:

  x^2=Pn#

  x=√ (Pn#)

  證明正確的都是化簡到了質(zhì)數(shù)=2上面了,其他的都有誤差,雖然通過化簡都正確,但是質(zhì)數(shù)分布是不對稱的!我們不能吧質(zhì)數(shù)分布當(dāng)作自然數(shù)方程去處理!所以后來用 ( x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1)去求質(zhì)數(shù)的值都出現(xiàn)了誤差,特別是經(jīng)過化簡的公式更是如此。

  質(zhì)數(shù)公式得出:(Pn#+4)/2,(Pn#-4)/2等一定是質(zhì)數(shù)!

生成圖表

  

(1,2,…,(P(n+1)-1)/2)
1 2 3 4 5
P=素數(shù)(prime number),

! (P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…)

Pn# 2 3
6
2*3 6_1 5 11
6+1 7 13
30
2*3*5 30-13 17 47 7*11= !(P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…)
30-11 19 7*7 79
30-7 23 53 83
30-1 29 59 89
30+1 31 61 7*13
30+7 37 67 97
30+11 41 71 101
30+13 43 73 103
210
2*3*5*7 210-103 107 317 527 737 947
210-101 109 319 529 739 949
...
210-11 199 409 619 829 1039
210-1 209 419 629 839 1049
210+1 211 421 631 841 1051
210+11 221 431 641 851 1061
... 223 433 643 853 1063
210+101 311 521 731 941 1151
210+103 313 523 733 943 1153
2310 ......

編輯本段初等證明

  素數(shù)定理有些初等證明只需用數(shù)論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數(shù)學(xué)家保羅·艾狄胥(“愛爾多斯”,或“愛爾多?!保┖团餐?shù)學(xué)家阿特利·西爾伯格合作得出。 在此之前一些數(shù)學(xué)家不相信能找出不需借助艱深數(shù)學(xué)的初等證明。像英國數(shù)學(xué)家哈代便說過素數(shù)定理必須以復(fù)分析證明,顯出定理結(jié)果的「深度」。他認(rèn)為只用到實數(shù)不足以解決某些問題,必須引進(jìn)復(fù)數(shù)來解決。這是憑感覺說出來的,覺得一些方法比別的更高等也更厲害,而素數(shù)定理的初等證明動搖了這論調(diào)。Selberg-艾狄胥的證明正好表示,看似初等的組合數(shù)學(xué),威力也可以很大。 但是,有必要指出的是,雖然該初等證明只用到初等的辦法,其難度甚至要比用到復(fù)分析的證明遠(yuǎn)為困難。

編輯本段素數(shù)簡介

個數(shù)

  質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的。最經(jīng)典的證明由歐幾里得證明在他的《幾何原本》中就有記載。它使用了現(xiàn)在證明常用的方法:反證法。具體的證明如下:假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個,從小到大依次排列為p1,p2,…,pn,設(shè) x = (p1·p2·...·pn)+1,如果x是合數(shù),那么它被從p1,p2,...,pn中的任何一個質(zhì)數(shù)整除都會余1,那么能夠整除x的質(zhì)數(shù)一定是大于pn的質(zhì)數(shù),和pn是最大的質(zhì)數(shù)前提矛盾,而如果說x是質(zhì)數(shù),因為x>pn,仍然和pn是最大的質(zhì)數(shù)前提矛盾。因此說如果質(zhì)數(shù)是有限個,那么一定可以證明存在另一個更大質(zhì)數(shù)在原來假設(shè)的質(zhì)數(shù)范圍之外,所以說質(zhì)數(shù)的個數(shù)無限。

費馬數(shù)2^(2^n)+1

  被稱為“17世紀(jì)最偉大的法國數(shù)學(xué)家”的費馬,也研究過質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。他發(fā)現(xiàn),設(shè)Fn=2^(2^n)+1,則當(dāng)n分別等于0、1、2、3、4時,F(xiàn)n分別給出3、5、17、257、65537,都是質(zhì)數(shù),由于F5太大(F5=4294967297),他沒有再往下檢測就直接猜測:對于一切自然數(shù),F(xiàn)n都是質(zhì)數(shù)。這便是費馬數(shù)。但是,就是在F5上出了問題!費馬死后67年,25歲的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明:

  F5=4294967297=641×6700417,它并非質(zhì)數(shù),而是一個合數(shù)!

  更加有趣的是,以后的Fn值,數(shù)學(xué)家再也沒有找到哪個Fn值是質(zhì)數(shù),全部都是合數(shù)。目前由于平方開得較大,因而能夠證明的也很少。現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們?nèi)〉肍n的最大值為:n=1495。這可是個超級天文數(shù)字,其位數(shù)多達(dá)10^10584位,當(dāng)然它盡管非常之大,但也不是個質(zhì)數(shù)。

梅森質(zhì)數(shù)

  17世紀(jì)還有位法國數(shù)學(xué)家叫梅森,他曾經(jīng)做過一個猜想:2^p-1 ,當(dāng)p是質(zhì)數(shù)時,2^p-1是質(zhì)數(shù)。他驗算出了:當(dāng)p=2、3、5、7、17、19時,所得代數(shù)式的值都是質(zhì)數(shù),后來,歐拉證明p=31時,2^p-1是質(zhì)數(shù)。 p=2,3,5,7時,2^p-1都是素數(shù),但p=11時,所得2047=23×89卻不是素數(shù)。

  還剩下p=67、127、257三個梅森數(shù),由于太大,長期沒有人去驗證。梅森去世250年后,美國數(shù)學(xué)家科勒證明,2^67-1=193707721×761838257287,是一個合數(shù)。這是第九個梅森數(shù)。20世紀(jì),人們先后證明:第10個梅森數(shù)是質(zhì)數(shù),第11個梅森數(shù)是合數(shù)。質(zhì)數(shù)排列得這樣雜亂無章,也給人們尋找質(zhì)數(shù)規(guī)律造成了困難。

  現(xiàn)在,數(shù)學(xué)家找到的最大的梅森質(zhì)數(shù)是一個有9808357位的數(shù):2^32582657-1。數(shù)學(xué)家雖然可以找到很大的質(zhì)數(shù),但質(zhì)數(shù)的規(guī)律還是無法循通。

相關(guān)猜想

  哥德巴赫猜想

  哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)大致可以分為兩個猜想(前者稱“強”或“二重哥德巴赫猜想”后者稱“弱”或“三重哥德巴赫猜想”):1、每個不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇素數(shù)之和;2、每個不小于9的奇數(shù)都可以表示為三個奇質(zhì)數(shù)之和。

  黎曼猜想

  黎曼猜想是一個困擾數(shù)學(xué)界多年的難題,最早由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼提出,迄今為止仍未有人給出一個令人完全信服的合理證明。即如何證明“關(guān)于質(zhì)數(shù)方程的所有意義的解都在一條直線”。

  此條質(zhì)數(shù)之規(guī)律內(nèi)的質(zhì)數(shù)經(jīng)過整形,“關(guān)于質(zhì)數(shù)的方程的所有意義的解都在一條直線上”化為球體質(zhì)數(shù)分布。

  孿生質(zhì)數(shù)猜想

  1849年,波林那克提出孿生質(zhì)數(shù)猜想(the conjecture of twin primes),即猜測存在無窮多對孿生質(zhì)數(shù)。

  猜想中的“孿生質(zhì)數(shù)”是指一對質(zhì)數(shù),它們之間相差2。例如3和5,5和7,11和13,10016957和10016959等等都是孿生質(zhì)數(shù)。

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