關(guān)于圓周率的定義有兩種，一種是周長的定義，即

或者，

一種是面積的定義，即

從古希臘、古中國、古印度等古代文明留下的文獻可以推斷出，這些古代文明都認(rèn)為兩者是同樣的定義，即可以認(rèn)為它們都知道這樣一個公式：

在古代文明中，隨著對數(shù)學(xué)研究的深入，出現(xiàn)了要求得到圓周率的精確值或近似值的問題。如古希臘的三大幾何作圖問題中，圓化方問題是用尺規(guī)作圖作出一個與已知圓面積相等的正方形，實際上就是求的精確值的問題。

最早研究圓化方問題的是安納薩格拉斯（約前500-前428），公元前5世紀(jì)下半葉，開奧斯的希波克拉底解決了化圓為方（最初只有等腰直角三角形的圖形，通過勾股定理/畢達哥拉斯定理可以推廣到任意兩個月牙的情況）。

化圓為方

如圖，由勾股定理

故以AB為直徑的半圓面積等于分別以AC、CB為直徑的兩個半圓的面積之和。去掉公共部分后，即得到兩塊綠色的月牙型圖形面積之和等于三角形ABC的面積。

詭辯學(xué)派的代表人物安提豐（約公元前480-前411）首先提出了用圓內(nèi)接正多邊形的面積來逼近圓面積的方法，用正4，8，16，……邊形來逼近圓，而正多邊形化方是可以通過尺規(guī)作圖來實現(xiàn)的。雖然這實際上并沒有解決圓化方問題，但是他使用的這一“窮竭法”后來被阿基米德（公元前287-前212）等人發(fā)揚光大，解決了求球體體積等一系列問題。安提豐也因此成為窮竭法的始祖。

考慮一個半徑為r的圓，我們需要找到一個與這個圓面積相同的矩形，即需要找到a使得

這里可以把a看成r和πr的比例中項，當(dāng)然也可以直接想法求π的開平方。事實上，古希臘人早就掌握了求比例中項（或開平方）的幾何做法，具體方法是考慮直角三角形即可。

如下圖所示

用幾何法求π的開平方值

如果AD=πr，BD=r，先作AB中點O，然后以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，與過D且垂直于AB的直線交于點C，由射影定理即得

如果π是一個有理數(shù)，那么能夠通過作圖做出πr，那么得到a也是沒有問題的了。即便π是無理數(shù)，假如π形如

或者

也是可以作出的。不過，1882年德國數(shù)學(xué)家林德爾曼證明了π是超越數(shù)（即不是任何整系數(shù)代數(shù)方程的根），而另一方面，前人已經(jīng)證明尺規(guī)作圖能得到的所有長度之間的比值都必須是代數(shù)數(shù)（即是某個整系數(shù)代數(shù)方程的根），這樣就對圓化方問題給出了否定的答案。

古印度的《繩法經(jīng)》中，遇到將圓轉(zhuǎn)化為等面積的正方形時，使用的數(shù)據(jù)是正方形的邊長為圓直徑的8/9或者

即認(rèn)為

或者

在中國古代，從《九章算術(shù)》開始就有了對圓周率的近似值。

術(shù)曰：半周半徑相乘得積步。

又術(shù)曰：周徑相乘，四而一。

又術(shù)曰：徑自相乘，三之，四而一。

又術(shù)曰：周自相乘，十二而一。

劉徽注《九章算術(shù)》寫到“方五斜七，圓三徑一”，即《九章算術(shù)》里的圓周率近似值為3。從西漢末年開始，新率陸續(xù)出現(xiàn)，但仍然不精確，且沒有推算方法。

劉徽同樣以圓內(nèi)接正多邊形的面積來近似圓的面積，但與安提豐的思路不同，他思考的是求出圓面積的盡量精確的值。

若半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的邊長是ln，那么

證明：

如下圖所示

劉徽的方法

設(shè)AB是以O(shè)為圓心的圓內(nèi)接正n邊形的一條邊，M是AB中點，延長OM交圓于C，則AC,CB都是圓內(nèi)接正2n邊形的一條邊。因此

故

設(shè)該圓的面積為S0，內(nèi)接正n邊形的面積為Sn，內(nèi)接正2n邊形的面積為S2n。由于

且

因此只要求出圓內(nèi)接正n邊形的邊長，就能輕松求出正2n邊形的面積。

正常情況下，要估計S0，除了求內(nèi)接正2n邊形的面積，還要求外切正2n邊形的面積，但是劉徽注意到

即

這是因為如果僅看扇形OAB的話，S2n比Sn多的是三角形ACB的面積，而S0比S2n多的是兩個弓形的面積，兩個弓形的面積要小于三角形ACB的面積。這樣，劉徽就不需要求外切多邊形的面積了。

劉徽從正6邊形開始算到正192邊形，得出“徽率”3.14。

后來祖沖之沿用這個算法算到24576邊形（即12288邊形邊長），得到

（朒nv4數(shù)）3.1415926<π<3.1415927（盈數(shù)）

按現(xiàn)在的角度來看，圓內(nèi)接正n邊形的邊長即為

上面的等式恰好是一個三角恒等式。

在半角公式中，余弦的半角更加簡單，即

用此迭代可以得到很小的角的余弦值，例如

然后計算正弦值也可以得到同樣的估計結(jié)果。

從微積分的萌芽階段開始，由于三角函數(shù)的運算更加靈活，數(shù)學(xué)家們得到了更多關(guān)于圓周率的逼近方式。

 首先是Wallis公式。由于

故

因此

推論：

也就是說

這個結(jié)論在概率和數(shù)論中都有一些應(yīng)用。

Wallis公式的壞處是收斂得太慢了，可以看到不等式的左右兩邊的比例是2n:（2n+1），因此即便n取n=500，誤差也在千分之一左右。

由arctanx的展開可以得到如下的Leibniz級數(shù)：

這個級數(shù)也有同樣的問題，收斂得太慢了。例如，寫到1/1001那一項，誤差仍然是千分之一。

由上可知

故可以寫成級數(shù)的形式，并且收斂速度很快。因此如果能先把π寫成較小的x的反正切，收斂速度就會變快很多。馬青公式（Machin’s Formula）就是在此基礎(chǔ)上得到的一個收斂速度較快的公式。

設(shè)

那么

故

容易知道4α，β+（π/4）均在（0，π）中，因此有4α=β+（π/4），故

這就是馬青公式，再根據(jù)

可以得到較快收斂到圓周率的級數(shù)。

除了普通的級數(shù)之外，圓周率也在其它的領(lǐng)域里有出現(xiàn)，這里舉兩個例子。

第一個例子是自然數(shù)平方和的倒數(shù)求和。歐拉求自然數(shù)平方和的倒數(shù)時，使用的是下面的方法。

考慮

即

它的根為±π，±2π，±3π......

因此它應(yīng)與另一個無限乘積

的展開應(yīng)該相等。比較兩邊項x平方項的系數(shù)即得

故

當(dāng)然，上面的證明是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，使用Fourier級數(shù)可以給出一個較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，這里略。

自然數(shù)平方和的倒數(shù)有如下的應(yīng)用。由于整數(shù)環(huán)上有唯一分解，也就是說任何一個正整數(shù)可以以唯一的方式分解成素數(shù)的乘積（不計順序），因此如果假設(shè)p1,p2,...,pm,...是所有的素數(shù)，那么

另一方面，由級數(shù)求和公式易知

因此

故

現(xiàn)在，我們選擇一個非常大的正整數(shù)N，然后在1,2,...,N中隨機選擇兩個數(shù)a,b（允許相同），那么a,b互素的概率是多少呢？

注意a,b互素當(dāng)且僅當(dāng)它們不同時是任何一個素數(shù)p的倍數(shù)。當(dāng)N相對于pm非常大時，可以認(rèn)為a,b是pm倍數(shù)的概率均為1/pm，因此a,b不同時是pm倍數(shù)的概率為

又由于N當(dāng)相對于pm,p1非常大時，1,2,...,N中隨機選擇一個數(shù)，是否為pm的倍數(shù)與是否為p1的倍數(shù)是相互獨立事件。因此，當(dāng)N趨近于無窮時，a,b互素的概率是

也就是在足夠大的范圍內(nèi)任取兩個自然數(shù)，它們互素的概率趨近于6/(π^2)。

第二個例子是Buffon投針實驗?？紤]一組平行線，兩兩間距為d，如果將直徑為d的圓形鐵絲扔到平行線上，不論何種情況，圓都應(yīng)該與這組平行線恰有2個交點。

現(xiàn)在我們將鐵絲拉直再隨機拋擲到平行線上，直觀來看，鐵絲的“長度”沒有變化，故交點的期望數(shù)不變。但是，現(xiàn)在鐵絲的長度是πd，含有圓周率π，就可以利用它。由于現(xiàn)在鐵絲的長度超過d，記錄交點的數(shù)目不容易。

我們可以將鐵絲變短一些，假設(shè)鐵絲的長度是l<d，那么交點的期望值應(yīng)當(dāng)是

且交點至多有一個，故鐵絲與平行線相交的概率為2l/πd。

由此看出，如果令l=d/2，那么鐵絲與平行線相交的概率恰為1/π。

當(dāng)然，上述的推理也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，我們可以用積分的方法再推理一遍。

假設(shè)鐵絲與平行線的夾角為φ，那么鐵絲在垂直于平行線的方向的投影長度為lsinφ。當(dāng)l<d時，鐵絲與平行線相交的概率為lsinφ/d。

由于鐵絲是隨機拋擲到平行線上的，故可以認(rèn)為φ是均勻分布在【0，π/2】上，故鐵絲與平行線相交的概率為

親愛的小伙伴

你學(xué)會了嗎？