圓周率π是客觀存在的,π的值其實就是給定的一個圓的圓周長P與其直徑D的比值。

我們知道，無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù).有些無理數(shù)因為它很重要而對它追根究底！在遠古時期，人們就知道圓周長P與直徑D的比值是不變的，即不論圓多大，比值P/D不變(叫圓周率).英國語言學家威廉·瓊斯(William Jones，1675—1794)于1706年第一個采用π表示圓周率.π在很多數(shù)學公式中出現(xiàn)，如圓周長、圓面積、球體積、橢圓面積A=πab等.

π究竟是多少？因生活的需要，這個問題曾經(jīng)吸引過不少數(shù)學家的研究.起初，人們常用圓周率的一些近似值代替它進行計算.但隨著精確度要求的提高，尋找更接近圓周率的近似值成了很重要的事情.

古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家和物理學家阿基米德出生于西西里島的敘拉古. 阿基米德到過亞歷山大里亞，才智高超，興趣廣泛，并且享有“力學之父”的美稱.他在《圓的度量》中采用窮竭法求圓的面積并計算π值.

【探索】如圖4.4.1，阿基米德作圓內(nèi)接正k邊形和外切正k邊形(k≥3，k∈N)，計算它們的周長與直徑的比值，利用

對π值進行估計(分別稱p1與p2為π的不足近似值與過剩近似值).

他先從圓內(nèi)接正6邊形和外切正6邊形開始，然后考察正12邊形，正24邊形，……，正

邊形(n∈N)，如此逐步逼近π值.你能獲得這些近似值嗎？

不妨設圓O的半徑R=1，D=2.如圖4.4.1，圓O的內(nèi)接正6邊形和外切正6邊形的邊長分別是a6=AB和b6=A′B′，其圓心角為∠AOB=∠A′OB′=α6，α6=(360°6)=60°.由式(4.4.1)，得

作OM⊥AB于M，交A′B′于點M′.在直角三角形OMA中

所以，

在直角三角形OM′A′中

由式(4.4.3)知，3是π的一個不足近似值，3.464 1…是π的一個過剩近似值.

如此，通過對n取值來逐步逼近π的真值.如：

我國古代著名數(shù)學家，三國時魏國人劉徽，在263年左右注解《九章算術(shù)》時，闡述了“割圓術(shù)”，利用圓內(nèi)接正多邊形的面積去接近圓的面積來計算圓周率.他等分圓周越細，內(nèi)接正多邊形的面積與圓面積就越接近，只要這種分割無限進行下去，就可以獲得圓面積的值.顯然，這里隱含著今天的極限概念.

劉徽割圓術(shù)求圓面積的具體步驟如下：

設AC是圓O的內(nèi)接正n邊形的一邊，記作an，AB和BC是該圓內(nèi)接正2n邊形的兩條邊，記作a2n.如圖4.4.2所示，設正n邊形的面積為Sn，分點倍增后的正2n邊形面積為S2n，圓O的面積為S.

這就是劉徽的圓面積不等式，是用割圓術(shù)計算π的理論基礎(chǔ).劉徽推出：當半徑為10寸時，正96邊形面積

平方寸，擴大一倍后所得的正192邊形的面積

平方寸.利用不等式(4.4.7)，得

若將劉徽與阿基米德關(guān)于圓周率π的計算結(jié)果對照，可以發(fā)現(xiàn)，劉徽的上下界都比阿基米德的精確.更重要的是，劉徽只取圓內(nèi)接正多邊形而不用外切正多邊形，起到了事半功倍的效果.

南北朝時期，我國有一位杰出的數(shù)學家、科學家，名叫祖沖之(429—500).祖沖之是漢族人，其祖籍是范陽郡遒縣(今河北淶水縣).為避戰(zhàn)亂，祖沖之的祖父祖昌由河北遷至江南.祖昌曾任劉宋的“大匠卿”，掌管土木工程.祖沖之的父親也在朝中做官.祖沖之從小接受家傳的科學知識.青年時進入華林學省，從事學術(shù)活動.他一生先后任過南徐州(今鎮(zhèn)江市)從事史、公府參軍、婁縣(今昆山市東北)令、長水校尉等官職.其主要貢獻在數(shù)學、天文歷法和機械三方面.

祖沖之算出π的真值在3.141 592 61和3.141 592 71之間，簡化成3.141 592 6，成為當時世界上最先進的成就. 祖沖之還給出π的兩個分數(shù)形式：(22/7)(約率)和(355/113)(密率)，其中密率精確到小數(shù)第7位，在西方直到16世紀才由荷蘭數(shù)學家奧托重新發(fā)現(xiàn).

1500年左右，法國數(shù)學家韋達(Vieta，1540—1603)考察了單位圓的內(nèi)接正4邊形，正8邊形，正16邊形，……得到求出π的式子

1794年，法國數(shù)學家勒讓德(Legendre，1752—1833)證明了π不能用兩個整數(shù)的比來表示，即它是一個無理數(shù).

1882年，德國數(shù)學家林德曼(Lindemann，1852—1939)證明了π是一個超越數(shù).

雖然那時人們對于用無理數(shù)進行計算已經(jīng)是很隨便的了，但對于無理數(shù)是否確實是數(shù)卻仍不放心.如，德國數(shù)學家斯蒂菲爾(Stifel，1487—1567)在他的《整數(shù)算術(shù)》中，討論用十進制小數(shù)的記號表達無理數(shù)的問題時說：當我們想把它們用十進制數(shù)表示出來時，就發(fā)現(xiàn)它們無止境地往遠跑，因而沒有一個無理數(shù)實質(zhì)上是能被我們準確掌握住的.而本身缺乏準確性的東西就不能稱其為真正的.所以，正如無窮大的數(shù)并非數(shù)一樣，無理數(shù)也不是一個真正的數(shù)，而是隱藏在一種無窮迷霧后面的東西.

然而，有些人則肯定說無理數(shù)是獨立存在的東西.如，文藝復興時期的荷蘭數(shù)學家、力學家斯蒂文(Stevin，1548—1620)承認無理數(shù)是數(shù)，并能用有理數(shù)來不斷逼近它們.

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