點線面與空洞，與拓?fù)鋵W(xué)(1)

一

　　莫比烏斯帶(Mobius)與圓柱面，球面與平面，克萊恩(Klein)瓶，n維歐幾里德空間，閔可夫斯基空間，彎曲空間，七橋問題，四色問題，龐加萊（Poincare）猜想，想必大家都相當(dāng)熟悉這些名詞，尤其是Poincare猜想，還是由我們學(xué)校的朱熹平老師作最后的完善工作的。

體態(tài)婀娜的Klein瓶

Mobius帶，中國動畫電影魔比斯環(huán)的原概念拉。那部電影很多場景都借鑒《指環(huán)王》和《魔獸爭霸３》的CG……-____-

一個圓柱面

　　上面這些事物，都與拓?fù)鋵W(xué)有說不清的牽扯；世界上到處都有著拓?fù)鋵W(xué)的印痕。拓?fù)鋵W(xué)是干什么的？拓?fù)鋵W(xué)就是來分辨兩個幾何形體是否有本質(zhì)上的差異，有什么樣的本質(zhì)上的差異。研究拓?fù)鋵W(xué)，會發(fā)現(xiàn)如果兩個東西沒有本質(zhì)上的差異，那么他們身上的一些量應(yīng)當(dāng)是相等的——這些是拓?fù)淞?。拓?fù)鋵W(xué)就研究這些量的行為。比如高中熟知的V-E+F，對所有的正多面體表面都是２，但若這立體挖個洞，則此數(shù)必變。

　　還有一些看起來不跟拓?fù)溆腥魏侮P(guān)系的事物，比如大一下學(xué)期的多重積分、線積分之類的物體，會碰到一些原點沒定義（無窮大）的積分函數(shù)——這時就會算出積分有兩種結(jié)果，取決于積分曲線或曲面是否包圍原點；又如復(fù)變函數(shù)里頭的1/(z-a)的環(huán)路積分，一樣的情形。最后老師會講到什么樣的矢量場是一個函數(shù)的梯度——這時我們會碰到第一個拓?fù)湓~“單連通”?？梢钥吹?，高等數(shù)學(xué)憋了好久，慢慢吐出一個隱秘的事實——這些積分跟拓?fù)涫怯嘘P(guān)系的。

　　積分是搭通分析學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)的橋梁。拓?fù)涫菙?shù)學(xué)和物理學(xué)學(xué)習(xí)中不可避免的陰影，即使你只一心一意求積分。

　　下面我們來看一些好玩的事情，當(dāng)然是跟拓?fù)鋵W(xué)有關(guān)的。

二

　　為什么球面和平面是不同的呢？第一個直觀地印象就是球面是“閉合”的，平面不是；第二個印象是球面是有限的，而平面不是。

　　那么球面和環(huán)面呢？

　　球面是閉合的，環(huán)面是嗎？是的。球面是有限的，環(huán)面是嗎？很不幸也是的。那難道球面和環(huán)面是一樣的？

　　那顯然不可能。但不一樣在哪里卻并非顯然地說出?？破毡榈氐慕裉欤瑢W(xué)們當(dāng)然知道差異在哪里——球面上的任何一條閉合曲線能夠收縮起來成1點，但環(huán)面不能。如上圖三條紅線中，右側(cè)的不規(guī)則閉合曲線可以收縮成一點，而另外兩條則不能。這就指證了，球面和環(huán)面是不同的。

　　龐加萊猜想是很NB的猜想。說的是３維的、單連通的、閉合的空間，必為３維球面。前面３條紅線的光輝事跡說的就是單連通性——球面是單連通的而環(huán)面不是。

　　這種“可收縮性”在拓?fù)鋵W(xué)中應(yīng)用巨大、前程似錦，看看搞龐加萊猜想的數(shù)學(xué)家們。下面我們談?wù)撘幌慢嫾尤R猜想中提到的“單連通性”的代數(shù)拓?fù)鋵用娴母拍睢?/font>

 

三

同倫

 

 

　　我們觀測一下上倆圖，分別畫有兩條線，端點都是固定的。左圖：γ₁能夠連續(xù)地變化成γ₂，那些細(xì)點的線就是中間連續(xù)變化的過渡曲線；右圖，中間有一個“洞”（不一定是空的洞，可能實際上是一個圖釘、一個黑洞奇點、一根插地上的桿，或者一個函數(shù)的無窮大點，反正就是一個與眾不同的點，拓?fù)鋵W(xué)家把它統(tǒng)稱為“洞”，而我們所論的曲線們都不能從它身上經(jīng)過，只能在它旁邊溜達(dá)），這時γ₁就不能夠連續(xù)地變化成γ₂，原因是明顯的，那個洞stand in the way。

　　我們給這兩種情況一個專業(yè)點的描述，把倆共享端點的并且能夠互相連續(xù)變化的曲線稱為同倫曲線：于是左圖的倆線γ₁和γ₂是同倫的，而右邊倆線γ₁和γ₂是不同倫的。同倫是倆物體的相互關(guān)系，直接來說，是由二者的相對位置來確定的。比如右圖“洞”上方的曲線與γ₁依然是同倫的。于是，我們就可以把右圖的所有與γ₁和γ₂共享端點的曲線按照是否同倫分成兩個派別（等價類）：一個以γ₁為首（代表元），此派系以符號[γ₁]標(biāo)志；另一個以γ₂為首，此派系以[γ₂]標(biāo)志。明顯，任何與γ₁同倫的曲線相互同倫，這是一種傳遞性，就像熱平衡能夠傳遞一樣——與一物等溫的兩個物體彼此等溫。

　　這樣，我們就得到了右圖的兩個同倫等價類（派別），相同的方法，我們得到左圖的一個同倫等價類（只有一個派別，因為那兒的曲線都能互相連續(xù)變化）。前面說過，同不同倫是兩者之間的事，與別的事物無關(guān)；但是，有多少個等價類（派別），則不是其中兩三個成員能夠決定的了，而是由背景決定了，正如中國能有多少個黨派，是由北京決定的那樣。背景就是承載曲線的平面（左圖）和缺１點的平面（右圖）。這等價類的數(shù)量、類間關(guān)系，是與倆不同面的不同拓?fù)湫再|(zhì)決定的。

　　由同倫，可以引出一個代數(shù)結(jié)構(gòu)：同倫群。

　　為什么要添加代數(shù)結(jié)構(gòu)？因為代數(shù)允許我們?nèi)ァ八恪?，就像我們?yōu)榫匦我?strong>長寬高概念然后定義了一個代數(shù)量體積＝長＊寬＊高。幾何怎么添加代數(shù)結(jié)構(gòu)？難道定義倆曲線加在一起或者乘在一起？確實如此，加法我們將在同調(diào)中引入，在這里我們將定義倆曲線乘在一起。這種乘法，將會自然地產(chǎn)生一個群結(jié)構(gòu)。