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萊夫謝茨 胡作玄 (中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所) 萊夫謝茨，S．(Lefschetz，Solomon)，1884年9月3日生于俄國(guó)莫斯科；1972年10月5日卒于美國(guó)普林斯頓．?dāng)?shù)學(xué)． 萊夫謝茨出身于土耳其裔家庭，父親是商人，由于長(zhǎng)期在波斯(今伊朗)經(jīng)商，決定把他的家庭安置在巴黎，所以他的子女從小在巴黎長(zhǎng)大．萊夫謝茨的第一語(yǔ)言是法語(yǔ)，到十幾歲時(shí)才學(xué)會(huì)俄語(yǔ)．他也會(huì)波斯語(yǔ)等稀有語(yǔ)種，后來(lái)更精通英語(yǔ)及西班牙語(yǔ)．他的基礎(chǔ)教育都是在巴黎完成的．1902年進(jìn)入巴黎中心學(xué)校學(xué)習(xí)，1905年畢業(yè)，獲得“工藝制造工程師”學(xué)位．不久之后他移居美國(guó)，先在鮑爾溫機(jī)車工廠(Baldwin Locomotive Works)工作，后轉(zhuǎn)到匹茲堡的威思丁豪斯電力與制造公司(Westinghouse Electric andManufactnring Co．)工作，先任見(jiàn)習(xí)工程師，后任工程師．他在這家公司中工作很出色，但是1910年的一次事故，使他永遠(yuǎn)地失去了雙手，這使他很有前途的工程師生涯嘎然而止．在醫(yī)院治療期間，他認(rèn)識(shí)到“他的真正道路不是工程而是數(shù)學(xué)”．當(dāng)然，對(duì)于身殘的萊夫謝茨，從頭攻讀數(shù)學(xué)也不是輕而易舉的事，而要取得像他那種成就更需要超人的毅力克服一個(gè)又一個(gè)幾乎不可征服的困難．一開(kāi)始，他先復(fù)習(xí)在巴黎中央學(xué)校聽(tīng)過(guò)的數(shù)學(xué)課．當(dāng)時(shí)的兩位教授——教分析的E．皮卡(Picard)和教分析力學(xué)的P．阿佩爾(Appell)早已是法國(guó)科學(xué)院院士，世界著名的數(shù)學(xué)大家．于是，他就攻讀他們的著作，頭等重要的是皮卡三大卷的《分析教程》(Traite d’Analyse)．1910年5月，他到馬薩諸塞州沃爾斯特的克拉克大學(xué)去讀研究生，這是一所成立不久的大學(xué)，有幾位國(guó)外培養(yǎng)的數(shù)學(xué)家，據(jù)他講“有一位一流的館員L．N．威爾遜(Wilson)博士，以及管理完善的數(shù)學(xué)圖書館”．他正是利用這個(gè)條件完成他的數(shù)學(xué)進(jìn)修的．1911年6月，他在W．E．斯托利(Story)指導(dǎo)下獲得博士學(xué)位，論文題目為“具有給定奇點(diǎn)的軌跡的存在性”(Onthe existence of loci with given sinyularities)，后于1913年發(fā)表． 從1911年到1924年，萊夫謝茨在中西部?jī)伤髮W(xué)中任教．在完全孤立的情形下，獨(dú)立進(jìn)行數(shù)學(xué)研究．他先在內(nèi)布拉斯加大學(xué)任兩年講師，后轉(zhuǎn)到堪薩斯大學(xué)任教，先后任講師(1913—1916)，助理教授(1916—1919)，副教授(1919—1923)及教授(1923—1925)．這14年中他克服生理上的殘疾，充滿自信地鉆研代數(shù)幾何學(xué)，做出劃時(shí)代的貢獻(xiàn)． 1912年6月他獲得美國(guó)國(guó)籍，次年，他娶A．B．海斯(Hayes)小姐為妻，他是在殘廢后不久在克拉克大學(xué)結(jié)識(shí)她的，那時(shí)他還帶著他那粗糙的假肢．她是第一位在克拉克大學(xué)拿學(xué)位的女?dāng)?shù)學(xué)家，1911年6月，她獲得碩士學(xué)位．沒(méi)有她的幫助，他幾乎難以克服工作、生活和旅行的重重困難． 1924年他出版了《位置分析與代數(shù)幾何》(L’analyse situs etle géométrie algebrique)，收入著名的波萊爾(Borel)叢書．這個(gè)工作和他以前的成就給他帶來(lái)國(guó)際聲譽(yù)，他接到許多大學(xué)的訪問(wèn)邀請(qǐng)．1924年他接受普林斯頓大學(xué)的邀請(qǐng)，任一年的訪問(wèn)教授，年末他得到了大學(xué)的長(zhǎng)期聘用，任副教授，1928年升為正教授．1932年他接替O．維布侖(Veblen)任范因(Fine)研究教授，一直到1953年退休． 在普林斯頓大學(xué)工作的30年不僅使他脫離開(kāi)孤軍奮戰(zhàn)的境地，也使普林斯頓大學(xué)發(fā)展成一個(gè)國(guó)際性的數(shù)學(xué)中心，許多大數(shù)學(xué)家從這里畢業(yè)，或訪問(wèn)過(guò)這里，這里成了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的搖籃． 他到普林斯頓大學(xué)之后，他的研究方向逐步由代數(shù)幾何學(xué)轉(zhuǎn)向代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)．雖然他在代數(shù)幾何學(xué)方面還有一些研究，特別是代數(shù)曲線的對(duì)應(yīng)理論，并且在大學(xué)中不時(shí)開(kāi)出代數(shù)幾何學(xué)課程，還同代數(shù)幾何學(xué)界保持密切接觸，例如后來(lái)的代數(shù)幾何的領(lǐng)袖人物O．查瑞斯基(Zariski)在1929—1937年間不斷地往返于巴爾的摩[他當(dāng)時(shí)在約翰斯·霍普金斯(Johns Hopkins)大學(xué)任教]與普林斯頓之間，向萊夫謝茨求教并同他討論問(wèn)題，得到他的熱情鼓勵(lì)與幫助，但是萊夫謝茨這時(shí)的主要研究方向，已轉(zhuǎn)向代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)．在普林斯頓，兩位拓?fù)鋵W(xué)前輩同他過(guò)從密切，一是維布侖，一是J．W．亞歷山大(Alexander)．他特別佩服亞歷山大，在研究不動(dòng)點(diǎn)理論及對(duì)偶定理方面兩人有過(guò)頻繁的討論．不過(guò)亞歷山大后來(lái)脫離開(kāi)數(shù)學(xué)界深居簡(jiǎn)出，使得萊夫謝茨深為難過(guò)．實(shí)際上，從20年代末到40年代初，萊夫謝茨是美國(guó)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的主要傳人，許多后來(lái)的大家出自他的名下．他的兩本著作《拓?fù)鋵W(xué)》(Topology，1930)和《代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)》(Algebraic topology，1942)是英語(yǔ)拓?fù)鋵W(xué)文獻(xiàn)中最主要的參考書，特別是后者在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)期內(nèi)是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的標(biāo)準(zhǔn)著作，并且是第一本以“代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)”命名的書． 1945年，他被任命為普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系主任，從此開(kāi)始他的新的活動(dòng)．1945/1946年度以及1947年他作為交換教授到國(guó)立墨西哥大學(xué)工作，其后他多次訪問(wèn)這里，特別是從普林斯頓大學(xué)退休之后．他的熱情以及他的組織能力使得墨西哥從無(wú)到有建立起一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派．為了表彰他對(duì)墨西哥數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，墨西哥政府授予他阿茲臺(tái)克(Aztec)雄鷹獎(jiǎng)?wù)拢? 第二次世界大戰(zhàn)期間，他曾任美國(guó)海軍部的顧問(wèn)，這時(shí)，他接觸到蘇聯(lián)在非線性振動(dòng)以及穩(wěn)定性方面的研究工作，他馬上認(rèn)識(shí)到這些工作的重大意義．他知道J． H．龐加萊 (Poincaré)和A．M．李雅普諾夫工作在微分方程幾何理論的重要性，看出這門學(xué)科在美國(guó)“太長(zhǎng)時(shí)期受到忽視”．他不顧一些同事的勸阻(認(rèn)為聯(lián)邦政府的支持會(huì)危及學(xué)術(shù)研究的自由氣氛)，毅然接受海軍研究局的資助，于1946年在普林斯頓大學(xué)組織一個(gè)微分方程研究項(xiàng)目，它后來(lái)發(fā)展成為美國(guó)研究常微分方程的領(lǐng)導(dǎo)中心，他任這個(gè)項(xiàng)目的主任直到1953年退休．其后5年間，普林斯頓中心逐漸停止活動(dòng)．他多次試圖在另一所美國(guó)大學(xué)建立一個(gè)研究機(jī)構(gòu)，但沒(méi)有成功．他退休后，馬丁公司在巴爾的摩建立一個(gè)高等研究院 (Research Institute for Advanced Studies， RIAS)，作為工業(yè)對(duì)基礎(chǔ)研究的支持，他被任命為該院的顧問(wèn)．1957年11月馬丁公司總裁及董事會(huì)全權(quán)委托他在高等研究院建立一個(gè)微分方程研究中心，要求它成為“世界上這類中心的典范，”在萊夫謝茨的領(lǐng)導(dǎo)下，這個(gè)中心果然在微分方程及最優(yōu)控制和穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論的研究方面獲得國(guó)際聲譽(yù)．1964年高等研究院的微分方程研究中心的主體部分搬遷到羅德島普羅威登斯的布朗(Brown)大學(xué)，在其中應(yīng)用數(shù)學(xué)部建立起萊夫謝茨動(dòng)力系統(tǒng)中心．布朗大學(xué)聘請(qǐng)他為訪問(wèn)教授．從1964—1970年6年間，他每周乘飛機(jī)往返于普林斯頓及普洛威登斯，在布朗大學(xué)講課，指導(dǎo)研究，培養(yǎng)出許多后起之秀． 在這期間他以非凡的熱情和努力，集結(jié)一批年輕數(shù)學(xué)家研究和開(kāi)拓動(dòng)力系統(tǒng)、控制理論等新方向．他還組織翻譯蘇聯(lián)的著作，講課、寫綜述及評(píng)論并組織會(huì)議．雖然他的工作由于這些領(lǐng)域的飛速發(fā)展現(xiàn)在看來(lái)已經(jīng)落后，但正是他奠定了美國(guó)的研究基礎(chǔ)，使美國(guó)從60年代末在動(dòng)力系統(tǒng)理論以及從60年代初起在控制理論方面在世界居于領(lǐng)先地位． 由于他在數(shù)學(xué)創(chuàng)造以及教育、組織方面的工作，他在美國(guó)國(guó)內(nèi)外享有崇高的榮譽(yù)．早在1925年他就被選為美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士，1935—1936年被選為美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主席．1964年被美國(guó)總統(tǒng)約翰遜授予國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)?wù)拢皇谟璨祭翊髮W(xué)、巴黎大學(xué)、普林斯頓大學(xué)、布朗大學(xué)和克拉克大學(xué)的名譽(yù)博士學(xué)位，還被選為法國(guó)巴黎科學(xué)院、西班牙馬德里科學(xué)院、意大利米蘭的倫巴底科學(xué)院國(guó)外院士以及英國(guó)倫敦皇家學(xué)會(huì)國(guó)外會(huì)員和倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)榮譽(yù)會(huì)員，這些都是一位科學(xué)家所能取得的最高國(guó)際榮譽(yù)．為了表?yè)P(yáng)他的貢獻(xiàn)，1954年在普林斯頓大學(xué)召開(kāi)慶祝萊夫謝茨70壽辰代數(shù)幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)國(guó)際會(huì)議，1984年在墨西哥召開(kāi)紀(jì)念萊夫謝茨百年誕辰大會(huì)，世界上上百位數(shù)學(xué)家參加了大會(huì)． 萊夫謝茨的數(shù)學(xué)研究工作大致可分為多少重疊的三個(gè)時(shí)期：(1)代數(shù)幾何學(xué)，1911—1929年；(2)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，1923—1942年；(3)微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)及控制論，1943—1972年． 1．代數(shù)幾何學(xué) 代數(shù)幾何學(xué)主要研究一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式的零點(diǎn)——代數(shù)簇的性質(zhì)．早期主要是作為復(fù)變函數(shù)論的一部分——代數(shù)函數(shù)論來(lái)研究的． 近代代數(shù)幾何學(xué)來(lái)源于B．黎曼(Riemann)的工作，其后，沿著多個(gè)不同的方向，特別是分析(也稱超越)方向、幾何方向以及算術(shù)-代數(shù)方向發(fā)展．19，20世紀(jì)之交，兩個(gè)方向成為萊夫謝茨的代數(shù)幾何的思想來(lái)源：一個(gè)是皮卡為主的分析方向；另一個(gè)是以G．卡斯特努沃(Costelnuovo)、F．恩瑞克斯(Enriques)以及F．塞韋里(Severi)為首的意大利代數(shù)幾何學(xué)派所代表的幾何方向．皮卡在1883—1906年主要研究代數(shù)曲面上的單積分與二重積分，另外龐加萊也做出自己的貢獻(xiàn)，他們把黎曼的研究由復(fù)代數(shù)曲線f(x，y)=0推廣到復(fù)代數(shù)曲面f(x，y，z)=0及至更高維代數(shù)簇上(這里的f均表示多項(xiàng)式)．但是，黎曼深刻發(fā)現(xiàn)與復(fù)代數(shù)曲線相聯(lián)系的黎曼面及其基本的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而他們的工作卻很少相應(yīng)的拓?fù)?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的組合拓?fù)鋵W(xué)還處于萌芽階段．意大利幾何學(xué)家用的是較不嚴(yán)格的直觀方法，他們是用線性系及連續(xù)系(今稱代數(shù)系)的語(yǔ)言來(lái)表述的，塞韋里證明代數(shù)曲面的曲線的參模具有一個(gè)基，它由ρ個(gè)有效曲線C1，C2，…，Cρ構(gòu)成，其他任何曲線C都和它們代數(shù)相關(guān)，即 其中λ1，λ2，…，λρ為整數(shù)，λ≠0．這里的ρ后來(lái)稱為皮卡數(shù)． 萊夫謝茨對(duì)代數(shù)幾何學(xué)一開(kāi)始主要研究外在的幾何學(xué)，1915年以后，轉(zhuǎn)向內(nèi)在的幾何學(xué)，用拓?fù)浞椒ㄗC明并推廣了以前的結(jié)果．他的一系列著作的頂峰是1921年發(fā)表的論文“論代數(shù)簇的某些數(shù)值不變量及其在阿貝爾簇上的應(yīng)用，”(On certain numericalinvariants of algebraic varieties with applications to Abelianvarieties)后來(lái)擴(kuò)大成專著《位置分析及代數(shù)幾何學(xué)》[2]．由于其劃時(shí)代的重要性，1921年發(fā)表的論文榮獲巴黎科學(xué)院1919年度設(shè)立的波爾丁(Bordin)獎(jiǎng)以及1924年度美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)博歇獎(jiǎng)． 他所解決的主要問(wèn)題是決定n維非奇異代數(shù)簇Vn上的各種獨(dú)立的亞純p階微分形式的數(shù)目(這些一般是雙有理不變量)并得出這些數(shù)目與Vn的拓?fù)洳蛔兞?，特別是整數(shù)系數(shù)同調(diào)群的貝蒂(Betti)數(shù)的關(guān)系．據(jù)他后來(lái)回憶，當(dāng)時(shí)的n維代數(shù)簇是射影空間Sn+k中幾個(gè)復(fù)超曲面的不可約交截，其中Vn沒(méi)有奇點(diǎn)，因此Vn是緊的實(shí)2n維流形． 古典的代數(shù)幾何學(xué)討論代數(shù)曲線的黎曼曲面上的阿貝爾積分，其后，黎曼研究阿貝爾微分，并分成三類，他證明復(fù)域上線性獨(dú)立的全純微分(第一類阿貝爾微分)的數(shù)目等于曲線的虧格(拓?fù)洳蛔兞?．萊夫謝茨把這種亞純微分形式推廣到Vn上的p階微分形式，也分成三類，第一類在Vn上處處全純，第二類在Vn上有有限多極點(diǎn)，第三類有對(duì)數(shù)型極點(diǎn)．一個(gè)p階微分形式ωp稱為封閉的，如dωp=0；ωp稱為正合的，如果ωp=dw′p-1，這里ω′p-1是p-1階微分形式．兩個(gè)p-1階微分形式稱為等價(jià)，如它們相差一個(gè)正合微分形式．這樣，所有相互等價(jià)的p階封閉的微分形式構(gòu)成一個(gè)復(fù)向量空間W，問(wèn)題是求W的維數(shù)． 對(duì)于代數(shù)曲面V2上的微分形式，皮卡與龐加萊已證明第一類封閉微 則數(shù)．而萊夫謝茨不僅直接從拓?fù)浞椒ǔ霭l(fā)證明上述結(jié)果，還得出他在代數(shù)曲面上的主要結(jié)果——第二類封閉微分形式構(gòu)成ρ0維空間，且 ρ0=R2-ρ． 其中R2是2維貝蒂數(shù)，ρ為獨(dú)立的代數(shù)2-閉鏈的數(shù)目，即皮卡數(shù)． 萊夫謝茨不僅搞清楚代數(shù)曲面的雙有理不變量與拓?fù)洳蛔兞康年P(guān)系，還把結(jié)果推廣到一般代數(shù)簇．他得出：對(duì)于Vn中超曲面，在Vn中代數(shù)等價(jià)與同調(diào)是等價(jià)關(guān)系． 對(duì)于一般代數(shù)簇Vn的拓?fù)?，他得出一般結(jié)果：對(duì)于代數(shù)簇Vn，所有奇維貝蒂數(shù)均為偶數(shù)，且對(duì)于2≤p≤n，有Rp≥Rρ-2． 由此，他推出許多經(jīng)典的結(jié)果．例如，不是所有緊、可定向4維流形都是代數(shù)曲面．另外他還完整地證明了M．諾特(Noet-her)定理：三維復(fù)射影空間中d≥4次一般型代數(shù)曲面上每條代數(shù)曲線均為該曲面與另一曲面的完全交截． 萊夫謝茨對(duì)阿貝爾簇有許多研究，特別是提出決定黎曼矩陣的所有復(fù)數(shù)乘法的方案，這后來(lái)為A．A．阿爾伯特(Albert)用代數(shù)方法完全解決．但萊夫謝茨的一些結(jié)果很重要，如在一個(gè)阿貝爾簇上，一閉鏈可用代數(shù)曲線表示當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝活惗胤e分在其上具有零周期，這導(dǎo)致他對(duì)于皮卡的消沒(méi)閉漣(vanishing cyc- le)的推廣，設(shè)V是n維非奇異連通代數(shù)簇，W為V由一般超平面H構(gòu)成的截面，則有下列兩定理成立：(1)弱萊夫謝茨定理：對(duì)于0≤i≤n-2，自然同態(tài)H2n-i(V，C)→H2n-I-2(W，C)是同構(gòu)，且對(duì)于0≤i≤n<>-1，H2n-i(V，W，C)=0．(2)強(qiáng)萊夫謝茨定理：設(shè)ξ是對(duì)應(yīng)超平面截面W的H2n-I-2(V，Q)的上同調(diào)類，L是由ξ的上積所定義的同態(tài)，則對(duì)于i≤n，Ln-i：Hi(V，C)→H2n-i(V，C)是同構(gòu)．萊夫謝茨的證明是不完全的，完全的證明后來(lái)由W．V．D．浩治(Hodge)給出，把系數(shù)由通常上同調(diào)推廣到l-adic上同調(diào)對(duì)于魏伊(Well)猜想的證明是至關(guān)重要的． 最后，他對(duì)于代數(shù)簇的對(duì)應(yīng)理論有重大發(fā)展，他不僅證明A．胡爾維茨(Hurwitz)代數(shù)曲線的對(duì)應(yīng)的基本定理，而且推廣到高維．這個(gè)方向引導(dǎo)他到一般的交截理論，開(kāi)辟了他在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的研究方向． 2．代數(shù)拓?fù)鋵W(xué) 萊夫謝茨是通過(guò)代數(shù)簇的對(duì)應(yīng)理論經(jīng)由不動(dòng)點(diǎn)理論進(jìn)入純代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的．他的研究，除來(lái)自意大利幾何學(xué)家對(duì)代數(shù)對(duì)應(yīng)的研究之外，還有拓?fù)鋵W(xué)家的工作．不動(dòng)點(diǎn)定理首先是荷蘭數(shù)學(xué)家L．E．J．布勞威爾(Brouwer)提出的，他研究n維胞腔或n維球面到自身映射的不動(dòng)點(diǎn)，另外，美國(guó)拓?fù)鋵W(xué)家亞歷山大研究過(guò)2維流形的拓?fù)溆成?，他的工作就是?duì)這些結(jié)果進(jìn)行大規(guī)模的漂亮的推廣，推廣的重要一步是把代數(shù)的交截理論轉(zhuǎn)換成拓?fù)涞慕唤乩碚摚婚_(kāi)始他在定向封閉流形上考慮，1923年他已經(jīng)得到可定向封閉流形上連續(xù)自映射的不動(dòng)點(diǎn)定理，設(shè)f為定向封閉流形X到自身連續(xù)映射，對(duì)每一維n，f誘導(dǎo)X的有理系數(shù)R的同調(diào)群Hn(x)的自同態(tài)fn，由于這時(shí)Hn(x)是R上向量空間，如果fn的秩有限，可以算出fn的矩陣表示的跡Tr(fn)．定義f萊夫謝茨數(shù)L(f)為 萊夫謝茨證明，L(f)是整數(shù)，且如L(f)≠0，則f至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)． 其后萊夫謝茨對(duì)他的不動(dòng)點(diǎn)定理進(jìn)行一系列推廣，先是推廣到有邊界流形(1926)，在H．霍普夫(Hopf)推廣到n維復(fù)形的特殊情形(1928)之后，萊夫謝茨又在1930年推廣到具有有限貝蒂數(shù)的有限維緊度量空間，在1933年對(duì)有限維復(fù)形給出簡(jiǎn)單而漂亮的證明，最后他推廣到所謂廣義流形及局部連通空間． 以不動(dòng)點(diǎn)定理為中心，萊夫謝茨把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)推進(jìn)到一個(gè)新階段．對(duì)于交截、乘積和上同調(diào)，對(duì)于對(duì)偶定理、相對(duì)同調(diào)和奇異同調(diào)以及局部連通集都做出系統(tǒng)的發(fā)展． 原始的萊夫謝茨不動(dòng)點(diǎn)定理不能包括布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理．為了把不動(dòng)點(diǎn)定理推廣到有邊界流形(相對(duì)流形)，他引入了相對(duì)同調(diào)群，并把龐加萊對(duì)偶定理推廣到相對(duì)情形，得出萊夫謝茨對(duì)偶1374 定理．這不僅是一種推廣，而且把以前兩個(gè)互不相關(guān)的龐加萊對(duì)偶定理和亞力山大對(duì)偶定理統(tǒng)一在一起． 為了進(jìn)一步推廣到復(fù)合形，他在1930年引進(jìn)偽閉鏈(pseudo-cycle)，這是上閉鏈的一種形式，還得出偽同調(diào)群．這實(shí)際上是原始的上同調(diào)群．但他沒(méi)有進(jìn)一步考慮環(huán)結(jié)構(gòu)及其拓?fù)洳蛔冃裕?935—1939年，上同調(diào)環(huán)的概念成熟之后，他在《代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)》一書中把他的交截理論翻譯成上同調(diào)的語(yǔ)言． 萊夫謝茨在1925—1935年完成的從組合位置分析到代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)過(guò)渡的另一項(xiàng)工作是與其他人一起把數(shù)值的拓?fù)洳蛔兞繑U(kuò)展為同調(diào)群，以及引進(jìn)整系數(shù)，模p系數(shù)，有理系數(shù)的同調(diào)群，特別是在《拓?fù)鋵W(xué)》(1930)中首先正式定義奇異同調(diào)群的概念，它具有許多優(yōu)越性． 不動(dòng)點(diǎn)定理在數(shù)學(xué)中占有重要地位，它在無(wú)窮維空間被推廣成為分析的重要工具，M．F阿蒂亞(Atiyah)及R．鮑特(Bott)把萊夫謝茨不動(dòng)點(diǎn)定理推廣到橢圓復(fù)形．江澤涵和姜伯駒等對(duì)不動(dòng)點(diǎn)理論亦有重大發(fā)展． 3．微分方程與控制理論 萊夫謝茨的主要貢獻(xiàn)是運(yùn)用代數(shù)幾何學(xué)及拓?fù)鋵W(xué)思想于微分方程及控制理論方面．他研究在孤立奇點(diǎn)附近解析微分方程解的行為，運(yùn)用代數(shù)曲線論對(duì)于在孤立臨界點(diǎn)附近二維方程組的所有通過(guò)該臨界點(diǎn)的解曲線，給出完全的刻畫以及具體的構(gòu)造步驟，從而大大改進(jìn)了經(jīng)典的I．本迪克遜(Bendixson)的工作．對(duì)于二維解析方程組孤立奇點(diǎn)的線性變分方程的系數(shù)矩陣，如果兩特征根為0但不恒等于0，他證明最多只有一個(gè)卵形軌道套；對(duì)于n維方程組，當(dāng)孤立平衡點(diǎn)的線性變分方程組中系數(shù)矩陣的特征根有n個(gè)為0時(shí)，討論了穩(wěn)定性問(wèn)題；對(duì)于二階及高階非線性微分方程組，討論了周期解的存在性．他的重要專著《微分方程幾何理論》(Differential equations：Geometric theory)，是這方面的系統(tǒng)總結(jié)． |
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來(lái)自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
