|
引 言 1904 年，在一篇名為《對位相分析學(xué)的第五次補(bǔ)充》的論文中，亨利·龐加萊(Henri Poincaré)提出了一個(gè)猜想： 在一個(gè)三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點(diǎn)，那么這個(gè)空間一定是一個(gè)三維的圓球。 這個(gè)猜想所表達(dá)的意思到底應(yīng)該如何理解？難道這就是高深莫測的龐加萊猜想嗎？為什么一個(gè)連數(shù)學(xué)符號語言都沒有的、完全用自然語言描述的看似“顯然”的猜想能困擾歷代整整九十九年的數(shù)學(xué)家？ 今天這篇文章就著重來解決這些問題。 正 文 這句話的意思并不難理解。我們先反過來，從一個(gè)三維球體 D3 內(nèi)部的一條封閉曲線開始考慮。下面我們通過數(shù)學(xué)軟件模擬出來這個(gè)情形：  其結(jié)果為：   現(xiàn)在我們讓球內(nèi)的曲線任意收縮，如圖：  最終能收縮成一個(gè)點(diǎn)(1)。 不難看出對于球內(nèi)的任意一條閉合曲線都是這樣。也就是說，我們可以觀察出來，在 D3中，每一條封閉的曲線都能收縮到一點(diǎn)。而龐加萊猜想，則是把這條看起來顯然的定理逆過來，他認(rèn)為利用每一條能收縮到一點(diǎn)的曲線，能夠推導(dǎo)出這些曲線所在的空間的性質(zhì)。當(dāng)然，到這里你可能有個(gè)問題：就算能夠利用曲線的性質(zhì)推導(dǎo)出它所在空間的性質(zhì)，但為什么偏偏是球體？為什么不能是其它形體？ （討論環(huán)節(jié)。） 其實(shí)不一定是球體，也可以是正方體、長方體，甚至可以是(2)：   好吧。 我承認(rèn)心形體確實(shí)不大可能，除非設(shè)計(jì)這個(gè)空間的人是個(gè)可愛的女孩子。 撇開這些不談，實(shí)際上，上面說到的這些形狀，專業(yè)名詞稱之為流形(manifold)，通俗地來說被定義為： 局部具有歐幾里得空間(Euclidean Space)性質(zhì)的空間。 什么叫做歐幾里得空間？ 這樣講吧，一維的歐幾里得空間就是（實(shí)）(3)直線，二維的就是平面，三維的就是立體， 跟我們?nèi)粘Ｉ钪兴J(rèn)識(shí)的一樣。 在此基礎(chǔ)上我們來理解流形。先來一個(gè)最貼近我們的例子：現(xiàn)在人類基本上都知道地球近似是一個(gè)球體，也就是說它的表面是一個(gè)球面，那我們平常生活中出行能感受到這個(gè)球面的曲率嗎？ 
顯然不能，這是因?yàn)樵诰植可?，球面是等價(jià)于平面的。這也是為什么古人認(rèn)為地球是一個(gè)大圓盤，因?yàn)樵诓挥^察月食現(xiàn)象、做環(huán)球旅行或是其他實(shí)驗(yàn)的情況下，如果不能上太空，人類又無法直接從宇宙中直接觀察到地球的整體，只能看到局部，那么自然無法判斷地球的真實(shí)形體。這就叫做局部具有歐幾里得空間性質(zhì)，也因此我們認(rèn)為地球的表面是一個(gè)二維流形，因?yàn)樗植烤哂衅矫娴男再|(zhì)。 更“數(shù)學(xué)”一點(diǎn)來說，如果一個(gè)空間能夠以某種方式投影成 n 維歐幾里得空間，那么這個(gè)空間就被稱作 n 維流形。真正的數(shù)學(xué)定義其實(shí)是這樣的：  （還想進(jìn)一步理解？下課來我辦公室?。ú皇牵?。） 而我們前面提到的球體、正方體或是心形體，它們都是三維流形。這里我們要說，它們在點(diǎn)集拓?fù)渖?General Topology)都是等價(jià)的。這里的等價(jià)有兩種概念，第一是同倫(Homotopy) 等價(jià)，第二是同胚(Homeomorphism)。也就是說，在拓?fù)鋵W(xué)家(topologist)的世界觀中，球體和你所說的正方體、長方體其實(shí)都是一樣的，沒有任何區(qū)別(4)。這就是為什么我們說“不一 定是球體”但卻用球體來描述該猜想，因?yàn)樗鼈冊谕負(fù)鋵W(xué)里都是一樣的。（這里沒有壓迫， 人人平等?。?/p> 先來說說什么是拓?fù)鋵W(xué)，在這里我們引用北大尤承業(yè)教授在《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)講義》的引言中所寫的內(nèi)容： “什么是拓?fù)鋵W(xué)？”這是許多初學(xué)者都會(huì)提出的問題。拓?fù)鋵W(xué)是一種幾何學(xué)，它是研究幾何圖形的。但是拓?fù)鋵W(xué)所研究的并不是大家熟悉的普通的幾何性質(zhì)，而是圖形的一類特殊性質(zhì)，即所謂“拓?fù)湫再|(zhì)”。于是，要了解拓?fù)鋵W(xué)就要知道什么是圖形的拓?fù)湫再|(zhì)。然而，盡管拓?fù)湫再|(zhì)是圖形的一種很基本的性質(zhì)，它也具有很強(qiáng)的幾何直觀，卻很難用簡單通俗的語言來準(zhǔn)確地描述。它的確切定義是用抽象的語言敘述的，這里還不能給出?！陨蠋讉€(gè)問題顯示出幾何圖形的一類特別的幾何性質(zhì)，它們涉及到圖形在整體結(jié)構(gòu)上的特性，這就是“拓?fù)湫再|(zhì)”。顯然，它們與幾何圖形的大小、形狀，以及所含線段的曲直等等都無關(guān)，也就不能用普通的幾何方法來處理，需要有一種新的幾何學(xué)來研究它們，這個(gè)新學(xué)科就是拓?fù)鋵W(xué)。也有人形象地稱它為橡皮幾何學(xué)，因?yàn)樗芯康男再|(zhì)在圖形作彈性形變時(shí)是不會(huì)改變的。 由于篇幅有限，在該書提到的“幾個(gè)問題”中我們僅選取 Euler 多面體定理進(jìn)行詳細(xì)的敘述，另外的兩個(gè)問題分別是“七橋問題”和“地圖著色問題（四色問題）(5)”，感興趣的讀者可以在網(wǎng)上查一查。 對于 Euler 多面體定理，相信大多數(shù)人在學(xué)習(xí)立體幾何的時(shí)候一定早有耳聞。它說的是：  然而，既然我們需要的是在彈性形變時(shí)不會(huì)變化的性質(zhì)，我們就得拋開多面體來考慮?，F(xiàn)在把凸多面體放進(jìn)一個(gè)大球體，并使球心在多面體內(nèi)部。接著從球心做中心投影，把凸多面體的頂點(diǎn)映射成球面上的節(jié)點(diǎn)，棱映射成球面上的曲線（被稱為枝）。這些節(jié)點(diǎn)和枝構(gòu)成球面上的一個(gè)圖，它把球面分割成 f 個(gè)面塊，有 l 條枝和 v 個(gè)節(jié)點(diǎn)。如圖：  這個(gè)圖滿足： (1) 每條枝的端點(diǎn)是兩個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)； (2) 不同的枝不會(huì)相交于內(nèi)點(diǎn)； (3) 每條枝不會(huì)自交。在這個(gè)意義上，歐拉定理可以推廣為：  當(dāng)球面變形時(shí)，可以看出 f , l 和 v 這三個(gè)數(shù)并不會(huì)變化，所以對變形的球面比如橢球面， 或是任何閉的單連通二維流形（這里的閉表示封閉）這個(gè)定理仍然成立。要注意，我們這里說的變形，是一種連續(xù)的過程，是不發(fā)生粘連或者撕裂的變形。在這 種變形下，你不可能把一個(gè)球面變成一個(gè)環(huán)面(6)： 否則你必須撕裂這個(gè)球面然后再以其他的形式粘連，或者直接把球面的兩極下壓至粘連再撕裂。這也就意味著，球面和環(huán)面之間的一些拓?fù)湫再|(zhì)是不同的。比如上文提到的歐拉定理，如果在環(huán)面上存在一個(gè)連通的圖，那么它必然滿足： 不僅是 f - l + v 的得數(shù)，還有其他許多不同的性質(zhì)。比如，我們不難看出，環(huán)面比球面在中心多了一個(gè)洞，這意味著如果我們像開頭那樣在環(huán)面的內(nèi)部（我們一般把它叫成甜甜圈）任意畫一條閉合的曲線，這條曲線不一定能收縮成一個(gè)點(diǎn)(7)： 對于上面這種情況，不難看出這條曲線在收縮的時(shí)候會(huì)被中間的孔洞擋住，從而變成孔洞的形狀而無法收縮成一個(gè)點(diǎn)。我們把這種情況叫做一維多連通（非一維單連通），把孔洞的個(gè)數(shù)叫做虧格(genus)。虧格也是一種拓?fù)湫再|(zhì)。 球面顯然是一個(gè)零虧格曲面，而環(huán)面則是一虧格。而對于虧格更大的曲面，比如(8)： 它們的 f - l + v 是一個(gè)負(fù)數(shù)，我們把這個(gè)由曲面本身的性質(zhì)決定的數(shù)叫做 Euler 數(shù)。 注意到，我們在上文對拓?fù)鋵W(xué)的介紹中多次提到了一種連續(xù)的變形，這種連續(xù)的變形就是我們在開始介紹拓?fù)鋵W(xué)之前就已經(jīng)提到的兩種等價(jià)：同倫和同胚。這兩種等價(jià)關(guān)系都不會(huì) 改變在上文提到的兩個(gè)性質(zhì)，因?yàn)樘澑窈?Euler 數(shù)（Euler 示性數(shù)）都是同倫不變量，而同倫 不變量一定是拓?fù)洌ㄍ撸┎蛔兞俊?/p> （討論環(huán)節(jié)。） 中日關(guān)系是同倫不同胚的，中美關(guān)系是不同倫也不同胚的。 了解了這些概念之后，我們再來看龐加萊最初提出的猜想： 在一個(gè)三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點(diǎn)，那么這個(gè)空間一定是一個(gè)三維的圓球。 那么大家再來看看這句話，是否真正的符合龐加萊猜想呢？我們將會(huì)在下一節(jié)給大家做出解釋。 作 者：Delta APC編輯部科普組 未經(jīng)作者或編輯部授權(quán)，禁止進(jìn)行摘抄、轉(zhuǎn)載、篡改或引用，否則將追究版權(quán)責(zé)任。 |
|
|
