相信很多讀者都會誤以為筆者是做泛函分析方向的,其實(shí)并非如此.筆者主要研究方向為偏微分方程中的雙曲守恒律,因此所要擁有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是泛函分析和實(shí)分析.泛函分析相對于實(shí)分析而言,屬于一種"軟分析",其與實(shí)分析這種"硬分析"有所不同,它的主要功能是為了建立一個"分析"框架.我們時常在泛函分析里面遇到的Banach空間和Hilbert空間均是一種體系框架.特別的,我們希望研究算子(泛函)在這些空間中所具有的特性.像絕大多數(shù)研究偏微分方程的人,都必須要學(xué)習(xí)Sobolev空間,它的樣子是:

其中是指標(biāo),而是一個給定的區(qū)域.要想明白這個符號所表示的意思,就不得不了解什么是空間,而這個是基本的泛函分析課程所必修的內(nèi)容.更為一般的是,當(dāng)我們的線性空間放在拓?fù)湟饬x下去考量時,自然就形成了所謂的拓?fù)渚€性空間,這時你就得了解一門重要的數(shù)學(xué)"新三高"課程——拓?fù)鋵W(xué).

拓?fù)鋵W(xué)其實(shí)是一種幾何學(xué),研究的是大范圍空間的概念,其對幾何圖形的形狀、大小等問題不太關(guān)心.實(shí)際上,它所關(guān)心的是圖形整體結(jié)構(gòu)上的特性.比如從直觀上看橢球面和球面是完全不同的幾何曲面,但是它們卻具有相同的拓?fù)?從這個角度出發(fā),可以想見拓?fù)鋵W(xué)描述空間的方式不夠精細(xì).正因為描述方式過于粗糙,才使得它的結(jié)果更具有普遍性和深刻性.此外,其與代數(shù)學(xué)聯(lián)系甚是密切,比如同調(diào)代數(shù)理論中的"復(fù)形"更是源于拓?fù)鋵W(xué).像早期的拓?fù)鋵W(xué)主要分為基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)拓?fù)鋵W(xué),后者恰恰是代數(shù)與拓?fù)涞哪撤N結(jié)合.

那么你要學(xué)習(xí)線性泛函分析會接觸到哪些概念呢?基本的拓?fù)鋵W(xué)入門知識肯定要掌握的,此外也還有其他一些你必須熟知的概念.

拓?fù)淇臻g的基本概念、Hausdorff空間的概念、網(wǎng)的概念(定向集概念)、連續(xù)映射概念與等價條件(兩個等價條件:其一，與網(wǎng)；其二，與開集閉集關(guān)系)、距離空間的完備性(疏朗集概念、第一綱概念)
網(wǎng)的概念引入是為了刻畫拓?fù)淇臻g的收斂性，點(diǎn)列的收斂性已經(jīng)不足以刻畫各種收斂概念。

二.拓?fù)渚€性空間

第一組：拓?fù)渚€性空間概念、半范數(shù)、上的均衡/吸收/凸子集概念、Minkowski泛函概念、局部凸的拓?fù)渚€性空間(局部凸空間)
Problem1:如何將Minkowski泛函構(gòu)造成半范數(shù)？需要對Minkowski泛函賦予怎樣的條件？
Problem2:局部凸空間的充要條件是什么？

第二組：范數(shù)、賦準(zhǔn)范線性空間、Frechet空間、賦范線性空間、Banach空間的基本概念.

結(jié)論1：當(dāng)是Banach空間，是的線性閉子空間，則商空間也是Banach空間.
結(jié)論2：,單位球映射到單位球上去.

第三組：內(nèi)積、內(nèi)積空間、平行四邊形公式、Hilbert空間、投影等概念
Problem3:內(nèi)積空間如何由內(nèi)積導(dǎo)出范數(shù)？方法是什么？
Problem4:范數(shù)可以由內(nèi)積導(dǎo)出的充要條件是什么？答曰:需要滿足平行四邊形公式！
結(jié)論3：平行四邊形公式成立時，內(nèi)積可以由范數(shù)按照"極化恒等式"給出！

第四組：一致凸空間的概念、嚴(yán)格凸空間的概念.
Problem5:一致凸的Banach空間有哪些良好的良好性質(zhì)?
Problem6:嚴(yán)格凸的賦范線性空間的等價條件是什么?
結(jié)論4：內(nèi)積空間必為一致凸空間，為什么(平行四邊形公式)？哪些空間是一致凸的？舉例說明。
結(jié)論5：一致凸空間必是嚴(yán)格凸的，但是反之不正確。

三.緊性

第一組:有限交性質(zhì)概念、緊集概念、同胚概念
結(jié)論6：是拓?fù)淇臻g中的緊集的等價條件是什么？
結(jié)論7：緊集的相關(guān)性質(zhì)

• 緊集的閉子集是緊集；
• Hausdorff空間中的緊集必是閉集；
• 連續(xù)映射將緊集映射為緊集.

第二組:距離空間的完全有界集與列緊集概念
列緊:如果任何點(diǎn)列{},均有收斂子列{}.
結(jié)論8：距離空間中的列緊集一定是完全有界的，但是反過來不成立，需要再對距離空間附加一個條件:完備。

四.Hahn-Banach定理及其幾何形式

自反空間：記,若,則稱為自反空間.
泛函分離和的概念、線性空間凸集的端點(diǎn)概念.

五.線性算子基本定理

開映射的基本概念(簡單地說,將開集映為開集),閉算子概念(是乘積空間中的閉集),范數(shù)強(qiáng)弱定義,賦范線性空間的Schauder基,點(diǎn)列的強(qiáng)/弱收斂,泛函的強(qiáng)/弱收斂,強(qiáng)/弱算子拓?fù)涫諗?
結(jié)論9：閉算子的充要條件是什么?