立體幾何復(fù)習(xí)：空間向量與立體幾何

二. 教學(xué)目的

1、掌握空間向量的概念、運(yùn)算及其應(yīng)用；

2、掌握利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法

三. 考點(diǎn)分析

本講的主要內(nèi)容有：空間向量及其運(yùn)算和空間向量的應(yīng)用兩部分．

1、空間向量及其運(yùn)算

    重點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算及其應(yīng)用。

難點(diǎn)：空間向量的共線條件、共面條件和空間向量的分解定理。理解了這些定理就能很好地掌握向量的各種知識(shí)及其關(guān)系．

    （1）空間向量的線性運(yùn)算

    重點(diǎn)：空間向量的運(yùn)算和運(yùn)算律

難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何中的問(wèn)題．平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間內(nèi)的平移，空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，因此空間向量加法、減法、數(shù)乘向量的意義及運(yùn)算律與平面向量類似．

  （2）空間向量基本定理

   重點(diǎn)：空間向量共線和共面的條件，空間向量分解定理．

   難點(diǎn)：對(duì)這些定理?xiàng)l件的理解與運(yùn)用、空間向量分解定理的作圖

  （3）兩個(gè)向量的數(shù)量積

   重點(diǎn)：兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法及其應(yīng)用．

難點(diǎn)：兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義以及把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量計(jì)算問(wèn)題．

   由于空間任意兩個(gè)向量都可轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義、取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表示符號(hào)及向量的模的概念和表示符號(hào)等，都與平面向量相同．

  （4）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

   重點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算、夾角公式、距離公式、空間向量平行和垂直的條件．

難點(diǎn)：向量坐標(biāo)的確定、公式的應(yīng)用．

2、空間向量的應(yīng)用

   重點(diǎn)：直線的方向向量與直線的向量方程；平面的法向量與平面的向量表示；直線與平面的夾角；二面角及其度量；距離．

   難點(diǎn)：利用平面的法向量求直線與平面的夾角以及二面角、點(diǎn)到平面的距離．

  （1）直線的方向向量與直線的向量方程

   重點(diǎn)：直線的方向向量，平行關(guān)系的論證，用向量運(yùn)算求證兩條直線垂直或求兩條直線所成的角．

   難點(diǎn)：直線的方向向量，平面α的共面向量的選取及其表示．

  （2）直線與平面的夾角

   重點(diǎn)：斜線和平面所成的角（或夾角）的求法．

   難點(diǎn)：斜線與平面所成的角的求解，公式的靈活運(yùn)用．

四. 知識(shí)梳理

【基本概念】

1、共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量（），的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．

推論：如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)于任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，滿足等式，其中向量叫做直線l的方向向量．

    在l上取，則或．

    O是空間任一點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是，其中x + y = 1．

    特別地，當(dāng)時(shí)，P為AB的中點(diǎn)，稱為線段AB的中點(diǎn)公式．

2、共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使。   

推論：空間一點(diǎn)位于平面MBA內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使．

    對(duì)于空間任一定點(diǎn)O，有．對(duì)于空間任一定點(diǎn)O，P、M、A、B四點(diǎn)共面的充分必要條件是，其中。

3、如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)于空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使，其中{}叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向量。

推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。

4、空間向量的數(shù)量積：

空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

①                  ②

③                           ④

空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

① （結(jié)合律）      ② （交換律）

③ （分配律）

5、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)，則

設(shè)，則

【基本方法】

1、平面法向量的求法

    設(shè)與平面的一個(gè)法向量，其坐標(biāo)為，利用與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量垂直，其數(shù)量積為0列出兩個(gè)關(guān)于的三元一次方程組，取這個(gè)方程組的一組非零解即得平面的一個(gè)法向量。

2、線面角的求法

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，是平面的斜線l的一個(gè)方向向量，則直線與平面所成角為arc

3、二面角的求法

① AB、CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小為；

② 設(shè)分別是二面角的兩個(gè)面的法向量，則，這就是二面角（或其補(bǔ)角）的大小。

4、點(diǎn)、面距離的求法

設(shè)是平面的法向量，AB是平面的斜線段，則點(diǎn)B到平面的距離。

【典型例題】

  例1. 如圖所示，在平行六面體中，設(shè)，M、N、P分別是、BC、的中點(diǎn)，試用a、b、c表示以下各向量：

（1）；（2）；（3）。

分析：根據(jù)空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的法則和運(yùn)算律即可。

解析：（1）∵P是的中點(diǎn)，

∴

（2）∵N是BC的中點(diǎn)，

∴

（3）∵M是的中點(diǎn)，

∴

又

∴。

點(diǎn)評(píng)：用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則，在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則；向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立．

【共線、共面向量問(wèn)題】

  例2. 已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外一點(diǎn)O，在下列條件下，點(diǎn)P是否一定與A、B、C共面？

（1）；

（2）

分析：先化簡(jiǎn)已知等式，觀察它能否轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共面的充要條件。

解析：（1）原式變形為

∴由共面向量定理的推論知P與A、B、C共面。

（2）原式變形為

∴P與A、B、C三點(diǎn)不共面。

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)共面問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題，要證明P、A、B、C四點(diǎn)共面，只要能證明，或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有或即可，以上結(jié)論是判定空間四點(diǎn)共面的一個(gè)充要條件，共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的必要條件。

【空間向量基本定理】

  例3. 已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且M分成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實(shí)數(shù)x、y、z的值。

分析：結(jié)合圖形，從向量出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都用、、表示出來(lái)，即可求出x、y、z的值。

解法1：如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則。

∵

，

連接AC，則

解法2：如圖所示，在PD上取一點(diǎn)F，使F分所成比為2，連接MF，則，

而

∴

∴

解法3：

∴

點(diǎn)評(píng)：選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的一項(xiàng)基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量。再對(duì)照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式。空間向量基本定理恰好說(shuō)明，用空間三個(gè)不共面的向量組可以表示出空間任意一個(gè)向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的。

【空間向量數(shù)量積】

  例4. 在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB和CD成60°角（見(jiàn)下圖）。求B、D間的距離。

解析：∵∠ACD=90°，∴

同理

    ∵AB和CD成60°角，

    ∴60°或120°

    ∴，即B、D間的距離為2或

點(diǎn)評(píng)：用向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)可解決立體幾何中求異面直線所成的角，求兩點(diǎn)距離或線段長(zhǎng)度以及證明線線垂直，線面垂直等典型問(wèn)題。   

（1）求向量和所成的角，首先應(yīng)選擇合適的基底，將目標(biāo)向量和用該組基底表示出來(lái)，再求其自身的數(shù)量積及長(zhǎng)度．最后利用公式。

（2）由于線段的長(zhǎng)度是實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與向量之間如何轉(zhuǎn)化，是思維中的常見(jiàn)障礙，在向量性質(zhì)中提供了向量與實(shí)數(shù)相互轉(zhuǎn)化的工具，運(yùn)用此公式，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)相等向量的數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題。

【利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題】

  例5. 如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)DC=a。

（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG。

依題意得。

∵底面ABCD是正方形。

∴G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，

∴

則

而，

∴PA//平面EDB。

（2）依題意得B（a，a，0），

又，

故

∴PB⊥DE

由已知EF⊥PB，且，

所以PB⊥平面EFD。

（3）解析：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，

則

從而

所以

由條件EF⊥PB知，，即

，解得

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且

∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴

∴∠EFD=60°

所以，二面角C—PB—D的大小為60°。

點(diǎn)評(píng)：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

    （2）證明線面平行的方法：

    ①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

    ②證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線；

    ③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量．

    （3）證明面面平行的方法：

    ①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；

    ②證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量．

    （4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

    （5）證明線面垂直的方法：

    ①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；

    ②證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直．

    （6）證明面面垂直的方法：

    ①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；

    ②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．

【用空間向量求空間角】

  例6. 正方形ABCD—中，E、F分別是，的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；

（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，分別以DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）

（1）由，得

又，

∴，即所求值為。

（2）∵

∴

∴，過(guò)C作CM⊥AE于M，

則二面角C—AE—F的大小等于，

∵M在AE上，

∴設(shè)

則，

∵

∴

又

∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小為

點(diǎn)評(píng)：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角求得，即。

（2）直線與平面所成的角主要可以通過(guò)直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過(guò)該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。

【用空間向量求距離】

  例7. 長(zhǎng)方體ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A₁C₁的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD₁的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；

（2）M到直線PQ的距離；

（3）M到平面AB₁P的距離。

解析：（1）方法一：

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B—xyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），

∴，

故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

方法二：

，

∴

故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

（2）∵，

∴上的射影的模

故M到PQ的距離為

（3）設(shè)是平面的某一法向量，則，

∵

∴

因此可取，由于，

那么點(diǎn)M到平面的距離為

，

故M到平面的距離為。

點(diǎn)評(píng)：本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來(lái)解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長(zhǎng)和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來(lái)求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問(wèn)題必將成為高考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)?，F(xiàn)列出幾類問(wèn)題的解決方法，供大家參考。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。

（2）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面所成角的正弦值為。

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。

（4）異面直線間距離的求法：是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是上的任意兩點(diǎn)，則。

（5）點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到平面的距離為。

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。

【模擬試題】

  1. 在平行六面體ABCD—中，設(shè)，則x+y+z=（    ）

A.                   B.                     C.                    D.

  2. 如圖，長(zhǎng)方體ABCD—中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)

，則下列向量中與相等的向量是（    ）

A.                             B.

C.                                D.

  3. 在正方體ABCD—中，M是棱DD₁的中點(diǎn)，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，P為棱A₁B₁上任意一點(diǎn)，則異面直線OP與AM所成角的大小為（    ）

A.                           B.                           C.                    D. 與P點(diǎn)位置無(wú)關(guān)

  4. 如圖，正方體ABCD—中，E、F分別是AB、CC₁的中點(diǎn)，則異面直線A₁C與EF所成角的余弦值為（    ）

A.                         B.                         C.                    D.

  5. 正方體ABCD—中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC₁B₁及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持AP⊥BD₁，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（    ）

A. 線段

B. 過(guò)和C兩點(diǎn)的拋物線的一部分

C. BC中點(diǎn)與CC₁中點(diǎn)連成的線段

D. BC中點(diǎn)與B₁C₁中點(diǎn)連成的線段

  6. 如圖，在正方體ABCD—中，棱長(zhǎng)為a，M、N分別為A₁B和AC上的點(diǎn)，A₁M=AN=，則MN與平面的位置關(guān)系是（    ）

A. 相交                B. 平行                C. 垂直                D. 不能確定

  7. 已知矩形ABCD，PA⊥面ABCD，M、N分別是AB，PC的中點(diǎn)，平面PDC和面ABCD所成的角為，則當(dāng)__________時(shí)，MN是AB和PC的公垂線段。

  8. 已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)。若由向量確定的點(diǎn)P與A、B、C共面，則____________。

  9. 將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①AC⊥BD；②AB、CD所成角為60°；③△ADC為等邊三角形；④AB與平面BCD所成角為60°。

其中真命題是____________（請(qǐng)將你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上）。

  10. 如圖所示，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE。

（1）求證：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B－AC－E的大??；

（3）求點(diǎn)D到平面ACE的距離。

  11. 如圖所示，在五棱錐S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°。

（1）求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數(shù)值表示）；

（2）證明：BC⊥平面SAB；

（3）用反三角函數(shù)值表示二面角B—SC—D的大小。

（本小問(wèn)不必寫(xiě)出解答過(guò)程）

  12、如圖1所示，正△ABC的邊長(zhǎng)為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)?，F(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B（如圖2所示）。

（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）求二面角B—AC—D的大??；

（3）求點(diǎn)C到平面DEF的距離。

【試題答案】

1、A          2、A              3、C       4、B       5、A       6、B       7、45°

8、       9、①②③ 

10、（1）略              （2）                （3）  

11、（1）                     （2）略                       （3）  

12、（1）AB // 平面DEF      （2）     （3）