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您好！您的文章“立體幾何題型與方法”深受廣大館友的喜愛，于2012年8月14日進(jìn)入“閱覽室”頻道的“教育/學(xué)習(xí)”下“高中/高考”類別的精華區(qū)。360doc代表全體館友感謝您的辛勤勞動和慷慨分享！

1．平面
平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。
（1）證明點共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據(jù)：由點在線上，線在面內(nèi) ，推出點在面內(nèi)）， 這樣可根據(jù)公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。
（2）證明共點問題，一般是先證明兩條直線交于一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。
（3）證共面問題一般先根據(jù)一部分條件確定一個平面，然后再證明其余的也在這個平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合
2. 空間直線
（1）空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面. 相交直線：共面有且僅有一個公共點；平行直線：共面沒有公共點；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無公共點
注：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）
②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交
③若直線a、b異面，a平行于平面α，b與α 的關(guān)系是相交、平行、在平面α內(nèi).
④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.
⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）
⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（×）（并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）
⑦a、b是夾在兩平行平面間的線段，若a=b，則a、b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.
⑧異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）
（2）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
　　 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）.

（直線與直線所成角）（向量與向量所成角)
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.
（3）兩異面直線的距離：公垂線段的長度.
　　空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.
注：是異面直線，則過外一點P，過點P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內(nèi). （或在這個做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）
3. 直線與平面平行、直線與平面垂直.
（1）空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).
（2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行線面平行”）
注：①直線a與平面α內(nèi)一條直線平行，則a∥α. （×）（平面外一條直線）
②直線a與平面α內(nèi)一條直線相交，則a與平面α相交. （×）（平面外一條直線）
③若直線a與平面α平行，則α內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）
④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面. （×）（可能在此平面內(nèi)）
⑤平行于同一個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）
⑥直線l與平面α、β所成角相等，則α∥β.（×）（α、β可能相交）
直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行線線平行”）
（4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.
若PA⊥a，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理），三垂線定理的逆定理亦成立.

直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直線面垂直”）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.
性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.
（5）a.垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.
注：垂線在平面的射影為一個點. [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]
　　b.射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。
4. 平面平行與平面垂直.
（1）空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.
（2）平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（“線面平行面面平行”）
推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.
注：一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.
（3）兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行線線平行”）
（4）兩個平面垂直判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.
兩個平面垂直判定二：如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直面面垂直”）
注：如果兩個二面角的平面分別對應(yīng)互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.
（5）兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.
推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.
簡證：如圖，在平面內(nèi)過O作OA、OB分別垂直于，


（6）兩異面直線任意兩點間的距離公式：）
（7）a.最小角定理：
　　 b.最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）

簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長，一定有4條.
　　成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.
　　成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.
　　成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.
5. 棱柱. 棱錐
（1）棱柱.
a.①直棱柱側(cè)面積：S=Ch（C為底面周長，h是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.
②斜棱住側(cè)面積：（C1是斜棱柱直截面周長，l是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.

c.棱柱具有的性質(zhì)：
①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.
②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.
③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.
注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （×）（直棱柱不能保證底面是矩形,可如圖）

　?、冢ㄖ崩庵x）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.
d.平行六面體：
定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.
注：四棱柱的對角線不一定相交于一點.
定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.
推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為α,β, γ，則 .
推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為α,β, γ，則.
注：①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的兩個平行的平面可以為矩形）
　?、诟鱾?cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）
　?、蹖敲娑际侨鹊木匦蔚闹彼睦庵欢ㄊ情L方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）
　　④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）
（2）棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.
注：①一個三棱錐四個面可以都為直角三角形.
　　②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以
a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心.
注：i. 正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）
　　ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等
　　iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.
　?、谡忮F的側(cè)面積：（底面周長為，斜高為）
　?、劾忮F的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為α）
附：
注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個三角形面積和的方法）.
b.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.
　?、谡忮F的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.
c.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：
　?、倮忮F的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
　?、诶忮F的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
　?、劾忮F的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
　?、芾忮F的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
　?、萑忮F有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.
　　⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.
　?、呙總€四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；
　?、嗝總€四面體都有內(nèi)切球，球心I是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.
注：i. 各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）
　　ii. 若一個三棱錐，兩條相對棱互相垂直，則第三組相對棱必然垂直.

　　iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.

　　
6．球：
a.球的截面是一個圓面.

b.緯度、經(jīng)度：
①緯度：地球上一點P的緯度是指經(jīng)過P點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).
②經(jīng)度：地球上A,B兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是B點的經(jīng)度.
附：
①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時，設(shè)邊長為a，，得.
注：球內(nèi)切于四面體：。
②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.

7. 空間向量.
（1）a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
注：



b.共線向量定理：

c.共面向量：
d.
四點共面的充要條件。

注：①②是證明四點共面的常用方法.
（2）
推論：
注：
（3）a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱坐標(biāo)），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.
　　①令則





　 ②空間兩點的距離公式：.

c.向量的常用方法：
　?、倮梅ㄏ蛄壳簏c到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面α的法向量，AB是平面α的一條射線，其中，則點B到平面α的距離為
　?、诋惷嬷本€間的距離

　　③
　?、芾梅ㄏ蛄壳蠖娼堑钠矫娼嵌ɡ恚?BR style="FONT-FAMILY: ">
的法向量）.
d.證直線和平面平行定理：




8．知識網(wǎng)絡(luò)